Numerik

P ROF. D R . B ERND S IMEON
C HRISTIAN G OBERT
T HOMAS M ÄRZ
Numerik
SS 2009
Lösungsvorschlag zu Übungsblatt 4
Aufgabe 1: (Rücktransformation von Eigenvektoren)
Die symmetrische Matrix A ∈ IRn×n wurde durch n − 2 Householder-Transformationen in
Tridiagonalgestalt C überführt, d.h.
C
Hi
ui
= Hn−2 · . . . · H1 AH1 · . . . · Hn−2
2
:= I − χi ui uiT , χi = T 6= 0,
ui ui
= (0, . . . , 0, ui+1,i , . . . , uni )T ,
i = 1, . . . , n − 2.
z sei ein Eigenvektor der Tridiagonalmatrix C zum Eigenwert λk .
Man formuliere einen effizienten Algorithmus, der zu gegebenen Größen z, χi , ui für i =
1, . . . , n − 2 den Eigenvektor y von A zum Eigenwert λk berechnet.
Lösungsvorschlag zu Aufgabe 1:
Ist z ein Eigenvektor der durch n − 2 Householdertransformationen erzeugten Tridiagonalmatrix C zum Eigenwert λk , dann bedeutet das
Cz = Hn−2 · . . . · H1 AH1 · . . . · Hn−2 z = λk z
⇒ A H1 · . . . · Hn−2 z = λk H1 · . . . · Hn−2 z,
|
{z
}
|
{z
}
=:y
=y
d.h. y = H1 · . . . · Hn−2 z ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λk , denn die Matrizen A und
C haben dieselben Eigenwerte.
Algorithmisch ergäbe sich für die Berechnung des Eigenvektors der Ablauf
für i = n − 2, n − 3, . . . , 2, 1
z := Hi z
y := z
wobei alle Matrizen H1 , . . . , Hn−2 gespeichert werden müssten, wenn man den Eigenvektor
y aus z gewinnen will.
Es bedeutet aber jedes Produkt Hi · z ausgeschrieben
Hi · z = ( I − χi ui uiT )z = z − ui · χi uiT z.
Nun sind die ui = (0, . . . , 0, ui+1,i , . . . , uni ) T nur in den Komponenten j = i + 1, . . . , n ungleich Null. Daher besteht das Skalarprodukt uiT z nur aus der Summe über die letzten n − i
Einzelprodukte der beiden Vektorkomponenten. Es sei
n
α : = χi ·
∑
u ji z j .
j = i +1
Weil sich auch nur die letzten n − i Komponenten des Vektors z bei Addition mit −(χi uiT z)ui
ändern, erhalten wir den Algorithmus
für i = n − 2, n − 3, . . . , 2, 1
α := χi · ∑nj=i+1 u ji z j
für j = i + 1, . . . , n
z j := z j − αu ji
y := z
Da i abwärts zählt, hat man erst im n − 2-ten Schritt jede Komponente des Eigenvektors y
von A. Mit dem zweiten Algorithmus braucht man statt n − 2 Householdermatrizen nur
eine untere Dreiecksmatrix U = (uij ) zu speichern mit den Vektoren ui als Spalten und den
Werten χi zum Beispiel als Diagonalelementen.
Aufgabe 2: (Eigenwertabschätzungen)
Es sei A eine diagonalisierbare n × n-Matrix, d.h. es existiert eine reguläre Matrix T mit
T −1 AT = diag(λi ) =: D ,
wobei λi die (nicht notwendig verschiedenen) Eigenwerte von A sind. F sei eine n × nMatrix, die die Störungen der Matrix A beschreibt.
a) Zeigen Sie: Ist λ ein Eigenwert der gestörten Matrix ( A + F ), so gilt die Abschätzung
min |λ − λi | ≤ κ2 ( T )k F k2 ,
i
wobei κ2 ( T ) die Konditionszahl obiger Transformationsmatrix T in der k · k2 -Norm ist.
b) Wie vereinfacht bzw. verändert sich die Abschätzung in a), falls A hermitesch ist?
Lösungsvorschlag zu Aufgabe 2:
a) Sei λ Eigenwert zu ( A + F ) ⇒ ∃ Eigenvekor x 6= 0 : ( A + F ) x = λx ⇔ (λI − A) x =
Fx, wobei I die Einheitsmatrix sei.
1. Fall: Ist λ auch Eigenwert von A, so ist mini |λ − λi | = 0 und die Abschätzung trivial.
2. Fall: Ist λ kein Eigenwert von A, dann gilt
(λI − A) x = Fx ⇔ (λI − A) TT −1 x = FTT −1 x
⇔ ( T −1 (λI − A) T ) T −1 x = ( T −1 FT ) T −1 x
⇔ diag(λ − λi )( T −1 x ) = ( T −1 FT )( T −1 x ).
Da λ kein Eigenwert von A ist die Matrix diag(λ − λi ) nicht singulär, d.h. es existiert
diag(λ − λi )−1 ⇒
T −1 x = diag(λ − λi )−1 ( T −1 FT ) T −1 x.
Nun ist die k · k2 -Norm submultiplikativ, d.h. es gilt
k T −1 x k2 ≤ kdiag(λ − λi )−1 k2 k T −1 FT k2 k T −1 x k2
⇔
1 ≤ kdiag(λ − λi )−1 k2 k T −1 FT k2 .
(∗)
Die Matrix diag(λ − λi )−1 ist symmetrisch und hat die Eigenwerte
die k · k2 -Norm dieser Matrix:
max
i
Kehrwert
⇔
1
λ − λi ,
damit gilt für
(∗)
1
1
= kdiag(λ − λi )−1 k2 ≥
−
1
| λ − λi |
k T FT k2
min |λ − λi | ≤ k T −1 FT k2 ≤ k T −1 k2 k F k2 k T k2 = κ2 ( T )k F k2 .
i
b) Ist A hermitesch, so ist T unitär wählbar, d.h. κ2 ( T ) = 1. Damit gilt:
min |λ − λi k ≤ k F k2 .
i
Fazit: Der absolute Fehler zwischen den Eigenwerten der originalen Matrix A und denen
der gestörten Matrix ( A + F ) ist im wesentlichen durch die k · k2 -Norm der Störung F und
der k · k2 -Kondition der Transformationsmatrix T beschränkt.