WS 08/09 ¨Ubung 13 - Institut für Geometrie und Praktische

Rheinisch Westfälische Technische Hochschule
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Numerische Analysis I — WS 08/09
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen — Dr. Ralf Massjung
Übung 13
Abgabe bis Mittwoch, 28.1., 12:00
in den Einwurfkasten
vor Raum 149, Hauptgebäude
am Mi. 28.1.
bzw. Mo. 2.2.
Aufgabe 41: (Komplexe Schur–Faktorisierung)
Seien A ∈ Cn×n und λ1 , ..., λn die Eigenwerte von A. Die komplexe Schur–Faktorisierung von A hat
die Form Q∗ A Q = R , wobei Q eine unitäre Matrix ist und R ∈ Cn×n eine obere Dreiecksmatrix
ist, welche genau λ1 , ..., λn als Diagonaleinträge besitzt. Leite die Existenz der komplexen Schur–
Faktorisierung von A aus der Jordan–Normalform her.
Hinweis: Komplexe QR–Zerlegungen B = Q R existieren für komplexe Matrizen B genauso wie für
reelle, allerdings ist nun Q unitär, R eine komplexe obere Dreiecksmatrix. Weiter bilden invertierbare
komplexe obere Dreiecksmatrizen eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation, analog zum reellen
Fall.
Punkte: 3
Aufgabe 42: (Eigenvektoren aus reeller Schur–Faktorisierung)
Man habe die reelle Schur–Faktorisierung QT A Q = R von A ∈ IRn×n bestimmt und sieht, daß alle
Eigenwerte reell und einfach sind. Zeige, daß es nun für die Bestimmung des Eigenvektors zu Rii
genügt, die folgenden Matrix–Vektor–Operationen durchzuführen: Einmal Rückwärtseinsetzen mit
einer oberen Dreiecksmatrix aus IR(i−1)×(i−1) und eine Multiplikation mit Q.
Punkte: 4
Aufgabe 43: (Störung der Eigenwerte durch Störung der Matrix)
Sei A ∈ IRn×n diagonalisierbar mit Eigenwerten λ1 , ..., λn , also V −1 AV = diag(λ1 , ..., λn ) ≡ Λ . Es
sei A gestört um ∆A und µ ein Eigenwert von A+ ∆A. Teil c.) liefert eine Abschätzung des Abstandes
d := min1≤i≤n |λi − µ| von µ zu den Eigenwerten von A.
a.) Sei d > 0 . Zeige, daß dann ein x ∈ IRn \ {0} existiert mit (Λ − µ I)−1 V −1 ∆A V x = −x . Dabei
ist I ∈ IRn×n die Einheitsmatrix.
Hinweis: Zeige, dass I + (Λ − µ I)−1 V −1 ∆A V nicht invertierbar ist.
b.) Sei d > 0 . Zeige, daß bei Verwendung einer beliebigen Vektornorm und der von ihr induzierten
Matrixnorm die Abschätzung 1/||(Λ − µ I)−1 || ≤ κ(V ) ||∆A|| gilt.
c.) Zeige, daß für p = 1, 2, ∞ die folgende Abschätzung gilt:
min |λi − µ| ≤ κp (V ) ||∆A||p
1≤i≤n
Punkte: 2+2+2
Aufgabe 44: (Kondition des Eigenwertproblems)
Seien A, E ∈ IRn×n gegeben, wobei ||E||2 = 1. Weiter sei λ(ε), ε ∈ IR, eine in einer Umgebung von
0 stetige Funktion, so daß λ(ε) ein Eigenwert von A(ε) ≡ A + ε E und λ(0) ein einfacher Eigenwert
von A ist. Offensichtlich gibt λ′ (0) an, wie sehr sich kleine Störungen von A in Richtung E auf
Störungen im Eigenwert λ(0) auswirken.
a.) Seien x, y bzgl. || · ||2 normierte Rechts– bzw. Linkseigenvektoren von A zum Eigenwert λ(0).
Zeige, daß dann |λ′ (0)| ≤ 1/|x∗ y| gilt.
Hinweis: v 6= 0 ist Linkseigenvektor der Matrix B, wenn v ∗ B = λ v ∗ für ein λ ∈ C. Rechtseigenvektoren, sind die Vektoren, die gewöhnlich einfach als Eigenvektoren bezeichnet werden.
Es kann verwendet werden, daß in einer Umgebung von 0 der Eigenwert λ(ε) differenzierbar
ist und ebenso zugehörige normierte Rechts– bzw. Linkseigenvektoren x(ε), y(ε) existieren, die
differenzierbar sind.
b.) Zeige, daß für
A ≡
1 a
0 1
,
a > 0,
E ≡
0
1
0
0
,
die Ableitungen λ′ (0) der Eigenwerte nicht existieren.
c.) Zeige, daß für einen Eigenwert von
1

A = 0
0

2
3
4
5 
0 4.001

die Abschätzung aus a.) eine viel bessere Kondition des Eigenwertproblems vorhersagt als die
Abschätzung von Aufgabe 43 c.) mit p = 2. Verwende dazu Matlab/Maple.
d.) Zeige, daß wenn A symmetrisch ist, die Abschätzung aus a.) eine ähnliche Konditionsabschätzung
wie die in Aufgabe 43 c.) mit p = 2 liefert.
Punkte: 2+2+3+2
Gesamtpunktzahl: 22 Punkte