Seminarankündigung und

Seminar zur Klassenkörpertheorie
Chr. Deninger, J. Scholbach
WWU Münster, Wintersemester 2016/2017
Dieses Seminar ist eine Einführung in die Klassenkörpertheorie, einem Höhepunkt der algebraischen Zahlentheorie. Die von dieser Theorie geleistete Beschreibung der abelsch gemachten Galoisgruppe lokaler und globaler
Körper ist einerseits eine umfassende Verallgemeinerung z.B. der quadratischen oder kubischen Reziprozität. Andererseits ist die Klassenkörpertheorie auch die Eintrittskarte für moderne Themen der Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie, wie etwa dem Langlandsprogramm oder der geometrischen Klassenkörpertheorie.
Interessentenkreis / Vorkenntnisse: Bachelor- und Master-Studierende mit Grundkenntnissen der algebraischen Zahlentheorie. Etwaige noch nicht bekannte Begriffe der Zahlentheorie können im Laufe des Seminars wiederholt werden.
Zeit und Ort: nach Vereinbarung
Vorbesprechung: Do., 14.7. 16:15 im Lichthof 4. Etage
Literatur: Wir werden hauptsächlich das Buch [Neu11] verwenden
(Download siehe https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~schmidt/Neukirch-en/index-de.html).
Kontakt: [email protected], Tel. 83-33735.
Literatur
[AT09] Emil Artin and John Tate. Class field theory. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2009. Reprinted
with corrections from the 1967 original.
[Bro94] Kenneth S. Brown. Cohomology of groups, volume 87 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag,
New York, 1994. Corrected reprint of the 1982 original.
[Mil08] James S. Milne. Class field theory. 2008. http://jmilne.org/math/index.html.
[Neu11] Jürgen Neukirch. Class field theory. (Klassenkörpertheorie. Neu herausgegeben von Alexander Schmidt.)
2nd ed. Springer-Lehrbuch. Berlin: Springer. xii, 204 p., 2011.
[Ser68] Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. Deuxième édition, Publications de l’Université
de Nancago, No. VIII.
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Vortragsthemen
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G-Moduln und Tate-Kohomologie
• Definiere G-Moduln (die Darstellung wird am klarsten, wenn man sie als Moduln über dem Gruppenring
Z[G] definiert). Beispiele: L und L× sind GL/K -Moduln.
• Beweise den wichtigen Satz 1.6.; konstatiere Lemma 1.7-1.9 ohne Beweis
• Definiere vollständige freie Auflösungen und konstruiere die Standardauflösung (der Beweis der Exaktheit
sollte nur skizziert werden). Definiere die Tate-Kohomologiegruppen.
• Falls Zeit bleibt: Konstatiere die Unabhängigkeit von der Wahl der Auflösung [Bro94, VI.3.3, Anfang von
§VI.4]
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Gruppenkohomologie in niedrigen Graden
• Beschreibe H n (G, A) für n = −1, 0, 1 (H 2 sparen wir uns für später auf). Führe hierzu die noch benötigten
Begriffe aus §1 ein.
• Zeige H ∗ (G, L) = 0 und H 1 (G, L× ) = 0 (Satz II.2.1, 2.2).
• Skizziere die lange exakte Kohomologiesequenz (I.3.2)
• Definiere induzierte G-Moduln, ihre Kohomologie ist trivial.
• Skizziere die Dimensionsverschiebung, folgere H2 (G, Z) und H−2 (G, Z).
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Das Theorem von Tate
• Zeige dass H∗ (Z/n, A) periodisch ist (Satz I.6.1)
• Definiere den Herbrand-Quotienten, zeige seine Multiplikativität
• Bestimme den Herbrand-Quotienten für G = Z/p (Satz I.6.9)
• Zeige ein Kriterium für H∗ (G, A) = 0 (Satz I.7.1)
• Zeige den Satz von Tate (I.7.3) (inklusive der dazu nötigen Vorbereitungen soweit es die Zeit gestattet)
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Klassenformationen
• Definiere Klassenformationen (II.1.3), führe hierzu die noch benötigten Begriffe aus Kapitel I (insb. InflationsRestriktions-Sequenz)
• Greife ganz kurz vor auf Satz II.4.6, d.h. die Klassenformation für unverzweigte Erweiterungen lokaler Körper
• Definiere die Fundamentalklasse
• Skizziere das Cup-Produkt auf der Kohomologie, um dann den Hauptsatz II.1.7 zu formulieren, folgere den
Reziprozitätsisomorphismus
• Zeige die Bijektion zwischen den abelschen Erweiterungen von K und den Normengruppen von AK (Satz
II.1.14); beschreibe den Kern des Normenrestsymbols (II.1.15)
5
Unverzweigte Erweiterungen lokaler Körper
• Zeige H∗ (GL/K , UL ) = 1 (Satz II.4.3; siehe auch [Mil08, Prop. III.1.1])
• Definiere die lokale Invariantenabbildung (II.4.5), und zeige dass sie eine Klassenformation bildet
• Gib das Normrestsymbol an (II.4.8) und Folgerungen (II.4.9-10)
2
6
Lokale Reziprozität
• Zeige den Hauptsatz der lokalen Klassenkörpertheorie (II.5.7) inklusive der nötigen Vorbetrachtungen, insbesondere die zweite fundamentale Ungleichung (II.5.1)
• Erläutere, wie die Filtrierung von GL/K durch die Verzweigungsgruppen und die Filtrierung auf UL zusammenhängen (Satz II.5.12; falls Zeit bleibt, deute die höheren Verzweigungsgruppen an [Ser68, Kap. XV, §2,
Cor. 3])
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Der lokale Existenzsatz und Lubin-Tate-Theorie
• Beschreibe die Normengruppen von K × (II.6.2)
• Bestimme das Normrestsymbol für Qp (ζ)/Qp (II.7.16); skizziere hierzu Lubin-Tate-Erweiterungen wie in
§II.7
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Die Idelklassengruppe
• Definiere Idele und die Idelklassengruppe, zeige Satz III.2.4
• Beschreibe den Fixmodul auf CL (III.2.7) inklusive der nötigen Vorbetrachtungen
• Zerlege die Kohomologie der Idelgruppe in ihre lokalen Komponenten (III.3.2)
• Zeige, dass die Brauergruppe durch die Kohomologie der zyklischen Erweiterungen gegeben ist (III.3.6)
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Kohomologie der Idelklassengruppe
• Berechne den Herbrand-Quotienten von CL (III.4.1)
• Folgere die erste fundamentale Ungleichung (III.4.2). Formuliere die zweite fundamentale Ungleichung (III.4.5)
ohne Beweis
• Folgere das Klassenkörperaxiom (III.4.7) und den Hasseschen Normensatz (III.4.8)
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Kohomologie der Idelklassengruppe 2
• Beweise die zweite fundamentale Ungleichung (III.4.5)
• Definiere die Invariantenabbildung auf Idelen (III.5.1, III.5.3) und Idelklassen (III.5.5; bei Zeitnot betone im
Beweis nur die wesentlichen Ideen gemäß der Bemerkung vor dem Beweis)
• Zeige die exakte Sequenz für Brauergruppen (III.5.8) inklusive der Vorbereitungen
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Globale Klassenkörpertheorie
• Zeige, dass die Idelklassengruppe eine Klassenformation liefert (III.6.9; inklusive der Vorbereitungen, hierbei
ist III.6.4 besonders relevant)
• Folgere den Artinschen Reziprozitätssatz (III.6.12)
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Der Existenzsatz
• Zeige den Existenzsatz (III.7.8)
• Folgere den Satz von Kronecker (III.7.11)
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