T5. Correction du devoir maison no 8 Exercice 1 (Sujet B p 259) On

T5. Correction du devoir maison no 8
Exercice 1 (Sujet B p 259)
On se place dans un repère orthonormé de l’espace. On donne A(−1; 0; 2),
B(3; 2; −4), C(1; −4; 2), et D(5; −2; 4).
On note I le milieu de [AB], K le milieu de [CD], et J le point défini par
−→ 1 −−→
BJ = BC.
4
1. (a) Déterminer les coordonnées de I, J et K.
De même, K est le milieu
I est le milieu de [AB].
de [CD],
xA + xB
xC + xD
xI =
= 1.
= 3.
xK =
2
2
yA + yB
yC + yD
= 1.
yI =
yK =
= −3.
2
2
zA + zB
zC + zD
= −1.
zI =
zK =
= 3.
2
2
Donc I(1; 1; −1).
Donc K(3; −3; 3).
−→ 1 −−→
J est le point défini par BJ = BC.

4 

−2
xC − xB
−−→ 
−−→ 


BC  yC − yB , donc BC  −6 .
zC − zB
6

1
 x − 3 = × (−2)


J



4

 xJ = 2, 5
−→ 1 −−→
1
,
donc
.
BJ = BC ssi
yJ = 0, 5
yJ − 2 = × (−6)


4
4



zJ + 4 = −2, 5

 zJ + 4 = 1 × 6
4
Donc J(2, 5; 0, 5; −2, 5).
(b) Justifier
que
 un plan.
I, J K définissent


2
1, 5
−→ 
−
→


IJ  −0, 5 , et IK  −4 .
4
−1, 5
−
→ −→
1, 5
−0, 5
Comme
6=
, les vecteurs IJ et IK ne sont pas colinéaires.
2
−4
Donc les points I, J et K ne sont pas alignés et définissent un unique
plan.
2. Montrer que (IJK) et (AD) sont sécants.
−−→ −
→
−→
(AD)//(IJK) ssi AD, IJ, et IK sont coplanaires.
−−→ −
→
−→
(AD)
sont sécants ssi AD, IJ, et IK ne sont pas coplanaires.

et (IJK)
6
−−→ 

AD  −2 .
2
−−→ −
→
−→
AD, IJ, et IK sont coplanaires ssi il existe des réels x et y tels que
−−→
−
→
−→
AD = xIJ + y IK, ssi 

 6 = 1, 5x + 2y


 y = 3 − 0, 75x
−2 = −0, 5x − 4y ,
−2 = −0, 5x − 4y ,




2 = −1, 5x + 4y
2 = −1, 5x + 4y




 y = 3 − 0, 75x
 y = 3 − 0, 75x
, impossible. Ce
−2 = −0, 5x − 12 + 3x ,
x=4




2 = −1, 5x + 12 − 3x
4, 5x = 10
−−→ −
→
−→
système n’a pas de solution, donc les vecteurs AD, IJ et IK ne sont
pas coplanaires.
La droite (AD) et le plan (IJK) sont sécants.
−
→
−
→ 1 −→
3. Soit L défini par IL = −IJ + IK.
2
Déterminer les coordonnées de L et vérifier que L est le point d’intersection de la droite

 (IJK).
 (AD)avec le plan
2
1, 5
−
→
−→ 


On a vu que IJ  −0, 5 , et IK  −4 .
4
−1, 5
−
→
−
→ 1 −→
IL = −IJ + IK.
2



 xL − 1 = −1, 5 + 1 
 xL = 0, 5
Donc
yL − 1 = 0, 5 − 2 ,
yL = −0, 5




zL + 1 = 1, 5 + 2
zL = 2, 5
Donc L(0, 5; −0, 5; 2, 5).
−
→
−
→ 1 −→
Par définition de L, IL = −IJ + IK.
2
−
→ −
→
−→
Les vecteurs IL, IJ et IK sont donc coplanaires.
Donc les points I, J, K et L sont coplanaires. L ∈ (IJK).
Montrons que L ∈ (AD).
A(−1;
et L(0, 5; −0, 5; 2, 5). 

 0; 2), 
6
1, 5
−−→ 
−→ 


AL  −0, 5 , et on a vu que AD  −2 .
2
0, 5
−−→
−→
Il est clair que AD = 4AL.
−−→ −→
Les vecteurs AD et AL sont colinéaires, et donc A, D et L sont alignés.
Donc L ∈ (AD).
On peut conclure que L(0, 5; −0, 5; 2, 5) est le point d’intersection de la
droite (AD) avec le plan (IJK).