Méthodes à deux phases pour le problème de tournées de véhicule

Méthodes à deux phases pour le problème de
tournées de véhicule avec contraintes d’accessibilité
MAHDI SOUID, SAÏD HANAFI ET FREDERIC SEMET
Laboratoire d’Automatique, de Mécanique et d’Informatique Industrielles et Humaines UMR 8530
UNIVERSITE DE VALENCIENNES ET DU HAINAUT CAMBRESIS LE MONT HOUY 59313, VALENCIENNES CEDEX 9, FRANCE
é
é— Le problème de tournées de véhicules possède de
nombreuses applications dans des domaines tels que la logistique,
la planification des réseaux de distribution et leur gestion. Dans
cet article, on traite le problème de tournées de véhicules avec
contraintes d'accessibilité. On propose une stratégie de résolution
heuristique à deux phases. La première phase correspond à la
résolution d'un problème de localisation à l'aide d'une méthode de
séparation-évaluation. La seconde phase correspond à la
résolution de problèmes de routage. Des tests sont faits afin de
comparer trois approches basées sur des modélisations différentes
du problème de localisation.
é — Tournées de véhicules, localisation, heuristique,
relaxation Lagrangienne, Séparation-évaluation.
Les Problèmes de Tournées de Véhicules (PTV) consistent à
affecter des commandes de clients à des véhicules et à
construire la tournée de chaque véhicule à travers les sites de
livraison de ces commandes en satisfaisant certaines
contraintes et en optimisant un objectif donné. La version de
base des PTV est le problème de tournées de véhicules avec
contraintes de capacité (PTVC). Dans ce cas, tous les clients
sont connus à l’avance et chaque client est desservi en un seul
passage. Les véhicules sont identiques et basés dans un seul
dépôt, et seules les contraintes de capacité pour les véhicules
sont imposées. L’objectif consiste à minimiser le coût total de
la desserte des clients. Le PTVC est un problème NP-difficile
[11]. La résolution exacte se restreint à des instances de taille
relativement réduite. Vu que les problèmes de transport posés
dans la pratique sont, en général, de taille importante
différentes heuristiques ont été développées pour la résolution
du PTVC permettant une résolution approchée en un temps
raisonnable. Le cas particulier d’une seule tournée nous ramène
au problème du voyageur de commerce (PVC) [15].
Dans cet article, nous nous intéressons à un problème de
localisation et transport appelé problème de tournées de
véhicule avec des contraintes d’accessibilité (PTVA). Le
PTVA est défini sur un graphe G=(V,E) où V est l’ensemble
des sommets représentant le dépôt et les clients : V={0,1,…,n}
et E l’ensemble des arêtes. Pour toute arête (i,j) ∈ E, on définit
également un coût cij. L’ensemble de clients est desservi à
l’aide d’un camion et d’une remorque qui forment un trainroutier. L’ensemble V est partitionné en deux sous-ensembles :
l’ensemble des sommets {1,…,p} correspond aux clientsremorque qui sont accessibles par le train-routier et le camion
seul. L’ensemble des sommets {p+1,…,n} correspond aux
clients-camion qui ne sont accessibles que par le camion seul.
On suppose que les quantités contenues dans le train-routier
suffisent pour desservir tous les clients. L’existence de la
contrainte d’accessibilité a comme conséquence que la tournée
du véhicule n’est pas un simple cycle ou circuit, comme c’est
le cas pour le PVC. La tournée du train-routier (Figure 1) est
composée d’un tour principal réalisé par le train-routier et de
sous-tours effectués par le camion seul [13][14]. Le trainroutier débute son tour principal en partant du dépôt en
direction d’un premier client accessible qui est donc
nécessairement un client-remorque. Une fois la marchandise
livrée, deux cas de figures se présentent : soit on décroche la
remorque pour effectuer un ou plusieurs sous-tours avec le
camion seul, soit on se déplace vers un autre client accessible
par le train routier. Plusieurs sous-tours peuvent donc être
accomplis à partir d’un client-remorque situé sur le tour
principal. Un tel client est appelé racine. Un sous-tour peut
inclure des clients-camion et des clients-remorque. La quantité
totale livrée sur un sous-tour ne peut dépasser la capacité du
camion. La multiplicité des sous-tours correspond à des
chargements successifs, dans le camion, de marchandises
stockées dans la remorque. Suite à la réalisation de sous-tours,
la remorque est raccrochée au camion et le train-routier se
dirige vers le client suivant du tour principal qui s’achève au
dépôt.
Client-camion
Sous-Tour
Client-remorque racine
Client-Remorque
Tour principal
Dépôt
Figure 1. Schéma d’une solution du PTVA
L'
objectif du PTVA consiste à minimiser le coût total de la
tournée du train-routier. Le coût total est la somme des coûts
du tour principal et des sous-tours.
De nombreuses heuristiques utilisées pour le PTVC font partie
d’une classe appelée par Christofides [3] : méthodes à deux
phases. La résolution du PTVC avec une méthode à deux
phases consiste à décomposer la résolution en deux étapes :
une étape de groupement de clients en routes réalisables et une
étape de construction des routes. L’ordre d’exécution de ceux
deux étapes, permet de distinguer deux types de méthodes à
deux phases : routage d’abord groupement en second [1][12],
groupement d’abord routage en second [6].
d’insertion du client j entre la racine i et le point germe gik.
Il s’exprime par : c ij3 k = cij + c j , g ik − ci , g ik
La méthode de résolution à deux phases adaptée dans cet
article est de type groupement d’abord routage en second. Elle
consiste à résoudre, en premier, un problème de localisation et
un problème d’élaboration de tournées ensuite. La première
phase consiste à déterminer les clients présents sur le tour
principal et à grouper les clients restant en classes. Trois
modèles de localisation sont proposés suivant le type de
groupement effectué. On distingue un premier modèle avec
groupement de clients en sous-tours. Les groupes obtenus
correspondent alors à des sous-tours réalisables respectant la
contrainte de capacité du camion. Un second modèle,
agrégation du premier par relaxation des contraintes de
capacité, et un troisième modèle, agrégation du second modèle
par relaxation des coûts d’ouverture des sous tours, consistent
à effectuer des groupements autour des clients-remorques. La
deuxième phase consiste à résoudre un problème de routage
pour chaque classe. Une heuristique de post-optimisation est
ensuite appliquée. Elle consiste à procéder à des déplacements
ou à des échanges de clients entre sous-tours [14].
Dans la suite, notons par m le nombre maximal de sous-tours
ouverts. Les variables binaires utilisées dans le premier modèle
de localisation (L1) sont définies pour i=1,…,p ; j=1,…,n et
k=1,…,m :
• xijk = 1 si j est desservi depuis i lors du parcours du
kème sous-tour, 0 sinon.
• yi = 1 si i est sur le tour principal, 0 sinon.
• zik = 1 si le kème sous-tours issu du client-remorque i
est ouvert, 0 sinon.
La suite de cet article s’organise comme suit. Dans la section
2, nous détaillons la première phase de résolution du PTVA à
travers la description des trois modèles de localisation et de
leurs résolutions. Dans la section 3, nous présentons les
résolutions des problèmes de routage associés à chaque
modèle. Dans la section 4, nos approches sont comparées sur
la base des résultats obtenus sur différentes instances tests.
Enfin, les conclusions sont formulées dans la section 5.
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(
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$ '
"' #"
La première phase de résolution du PTVA consiste à localiser
les clients-remorque présents sur le tour principal et à
partitionner les clients restant en groupes.
A. Modèles de localisation
1) Modèle de localisation avec regroupement en sous-tour
Dans cette première modélisation, les groupes formés
respectent la contrainte de capacité du camion, c'
est-à-dire que
le volume distribué dans chaque groupement ne dépasse pas la
charge du camion.
La fonction objectif du modèle de localisation fait intervenir
les coûts suivants :
• Le coût ci1 de placement d’un client-remorque i sur le tour
principal est estimé par le coût d’un aller-retour du dépôt
au client-remorque, c’est-à-dire ci1 = ci0 + c0 i .
•
•
Le coût cik2 d’ouverture du kème sous-tour à partir de la
racine i est approximé par le coût d’un aller retour de la
racine i à un point germe gik déterminé suite à l’application
d’une
heuristique
de
balayage
[8],
c'
est-àdire cik2 = ci , gik + c g ik ,i .
Le coût c ij3 k d’insertion d’un client j dans le kème soustour issu de la racine i est approximé comme le coût
On obtient le modèle suivant (L1) :
p
Min
i =1
c i1 y i +
m
p
k =1 i =1
c ik2 z ik +
m
p
n
k =1 i =1 j =1
j ≠i
c ij3 k x ijk
Sous les contraintes :
yi +
m
m
k =1 j =1
j ≠i
p
k =1 i=1
i≠ j
n
j =1
j ≠i
p
x kji = 1
x ijk = 1
q j x ijk ≤ Q z ik
i = 1,..., p
(1)
j = p + 1,..., n
(2)
i = 1,...,p; k = 1,...,m
(3)
z ik ≤ y i
i = 1,...,p; k = 1,...,m
(4)
x ijk
i = 1,...,p; j = 1,..., n; k = 1,..., m
(5)
y i = 0 ou 1
i = 1,..., p
(6)
z ik = 0 ou 1
i = 1,...,p; k = 1,...,m
(7)
= 0 ou 1
La contrainte (1) signifie que chaque client-remorque est
affecté soit au tour principal soit à exactement un des sous
tours. La contrainte (2) spécifie que chaque client-camion est
affecté à exactement un seul sous tour. La contrainte (3)
indique que la quantité des biens livrée, lors du parcours d’un
sous tour, ne doit pas dépasser la charge du camion. La
contrainte (4) traduit qu’un sous tour n’existe que si le client
remorque duquel il est issu est racine.
2) Modèle de localisation avec distinction de sous-tours
D’un point de vue modélisation, la différence entre ce
deuxième modèle de localisation (L2) et le modèle (L1) se
situe au niveau de la contrainte de capacité (3) qui devient
[14] :
m
n
k =1 j =1
j ≠i
q j xijk ≤
m
k =1
Q zik
i = 1,..., p
(8)
Dans le modèle (L1), chaque groupement correspond à un
sous-tour, le groupement des clients est fait autour des points
germes alors que pour le second modèle (L2) le groupement est
fait autour des clients-remorque racines. Algébriquement, cela
correspond à une agrégation des contraintes (3) pour chaque
client-remorque. En deuxième phase, on résout un PVC au
niveau de chaque groupe de clients pour le premier modèle
alors qu’on résout un PTV pour le deuxième modèle.
3) Modèle de localisation sans distinction de sous-tours
Pour ce troisième modèle (L3) le regroupement de clients est
fait, comme pour le modèle précédent, autour des clientsremorque, la seule différence est que l’on ne distingue pas les
sous-tours. Pour le modèle sans distinction de sous-tours on
obtient des groupements autour des clients-remorque pour
lesquels on résout un PTV en seconde phase de résolution du
PTVA. L’avantage de ce modèle par rapport au précédent est
qu’il ne requiert pas la définition de coût pour chaque soustour potentiel, ces coûts pouvant être difficiles à estimer.
B. Résolution exacte des modèles de localisation
Pour résoudre de façon exacte le problème de localisation on
utilise une méthode de séparation-évaluation [4][10]. Le calcul
des bornes inférieures est fait par relaxation Lagrangienne des
contraintes de capacité. Les bornes supérieures sont calculées
par des heuristiques Lagrangiennes.
1) Relaxation Lagrangienne
Soit λ ∈ Rn un vecteur de multiplicateurs de Lagrange. En
dualisant les contraintes (1) et (2) dans la fonction objectif on
obtient :
m
p
n
k =1 i =1 j =1
j ≠i
p
+
i =1
(c i1
(c ij3 k − λ j ) x ijk +
− λi ) y i +
n
j =1
m
p
k =1 i =1
c ik2 z ik
n
λj)
k =1 j =1
j ≠i
(c ij3 k − λ j ) x ijk +
sous les contraintes :
z ik ≤ y i
xijk
(9)
k = 1,...,m
j = 1,...,n; k = 1,...,m
= 0 ou 1
y i = 0 ou 1
(10)
(11)
(12)
k = 1,...,m
z ik = 0 ou 1
(13)
Dans le cas où yi = 0, on a Li (λ ) = 0. Dans le cas où yi = 1, ce
qui correspond à l’affectation du client i sur le tour principal,
on obtient le problème de sac à dos binaire suivant :
Lik (λ ) = Min(
n
j =1
j ≠i
(c ij3 k − λ j ) x ijk + c ik2 z ik )
sous les contraintes :
n
j =1
j ≠i
q j xijk ≤ Q zik
(14)
j = 1,..., n
(15)
(16)
z ik = 0 ou 1
ˆ
En notant Li (λ ) comme la valeur optimale du problème Li (λ ) ,
la valeur optimale de la relaxation Lagrangienne est donc :
L (λ ) =
p
i =1
(min( Lˆ i (λ ),0)) +
n
j =1
λj .
Le dual Lagrangien (D) consiste à trouver la meilleure borne
fournie par les différentes relaxations :
(D) max λ∈R n ( L(λ ))
Le problème (D) est résolu par une méthode de sous-gradient
modifié [2]. A chaque itération h, la direction de recherche dh
est calculée en fonction du sous-gradient courant gh de L(λ h )
et la direction dh-1. Plus formellement,
d1 = g1
d h = g h + θ h d h −1
où g est un sous-gradient de la fonction Lagrangienne L au
Pour λ fixé, la relaxation Lagrangienne L(λ ) est séparable en
p sous-problèmes, un par client-remorque. Ainsi pour un
client-remorque i donné on a le problème suivant :
m
k = 1,...,m
h
sous les contraintes (3), (4), (5), (6) et (7).
Li (λ ) = Min(
j =1
j ≠i
q j xijk ≤ Q zik
x ijk = 0 ou 1
La relaxation Lagrangienne [5] permet de déterminer pour
chaque sous-problème (au niveau de chaque nœud) une borne
inférieure. La structure du problème de localisation (L1)
permet différentes relaxations. On distingue, en particulier,
deux possibilités de relaxation. Une première consiste à
dualiser les contraintes d’affectation (1) et (2). Une deuxième
consiste à dualiser les contraintes de capacité (3). On a choisi
la première possibilité de relaxation vu que pour la seconde la
propriété d’intégrité est satisfaite. On détaille la relaxation
retenue dans ce qui suit.
L(λ ) = Min(
n
m
k =1
c ik2 z ik + (c i1 − λ i ) y i )
gh
point λh et θ h =
d h −1
0
si g h d h −1 < 0
sinon
Rappelons que le sous-gradient est calculé à partir d’une
solution optimale de la relaxation Lagrangienne [9]. Plus
précisément, pour le modèle L1, à l’itération h, un sousgradient gh de L(λ h ) est calculé comme suit :
1− y j −
g hj
=
m
p
k =1 i =1
m p
1−
x ijk
k =1 i =1
x ijk
j = 1,..., p
j = p + 1,..., n
où (y, x) est une solution optimale de la relaxation
Lagrangienne L(λ h ) .
Le multiplicateur initial est calculé comme suit :
λ0j =
c 1j
min
{c
3
ij , i
}
= 1,..., p
j = 1,..., p
j = p + 1,..., n
A chaque itération h, le multiplicateur courant λh est déterminé
par la relation de récurrence suivante : λ h = λ h −1 − t h d h
où th est le pas de déplacement calculé comme suit :
Z − L( h )
th = β
gh
où Z est une borne supérieure de la valeur optimale de (D) et
β est un paramètre initialisé à 2 et est divisé par 2 lorsque la
valeur de la solution n’a pas évolué après un certain nombre
d’itérations.
2) Heuristiques Lagrangiennes
Une borne supérieure de la valeur optimale du problème de
localisation est utilisée dans la recherche arborescente afin de
permettre l’élagage des branches non prometteuses. Cette
borne supérieure est calculée par une heuristique Lagrangienne
spécifique au modèle utilisé. L’algorithme suivant décrit
l’heuristique utilisée par le modèle de localisation (L2) :
Algorithme. Heuristique Lagrangienne pour le modèle (L2)
Soit (x,y,z) une solution optimale de la relaxation Lagrangienne
L(λ). La solution n’étant pas primale réalisable (donc certaines
contraintes relaxées dans la fonction objectif sont violées).
Posons δ ijk = c ij3 k + (q j / Q )c ik2 .
Nous distinguons deux cas d’irréalisabilité :
•
Cas d’ un client-remorque j∈{1,…,p}
Si yj = 1 alors
xijk = 0 pour tout i=1,…,p ; k=1,…,m ;
Sinon
Si
m
p
k =1 i =1
x ijk = 0 alors yj = 1 ;
Sinon
{
*
Les heuristiques Lagrangiennes utilisées pour les modèles de
localisation (L1) et (L3) utilisent la même stratégie que celle
utilisée pour le modèle (L2) [14]. Les trois heuristiques sont
basées sur le même principe de " réparation " de la solution
obtenue. Il s’agit de déterminer pour chaque client non affecté,
l’affectation la moins coûteuse et de supprimer pour un client
trop affecté toutes les affectations sauf celle qui coûte le moins
cher. On utilise le terme δ ijk = c ij3 k + (q j / Q )c ik2 pour évaluer
l’insertion du client j dans le kème sous-tour issu de la racine i.
!"#$
*
x ik* j
•
pour
}
tout
i=1,…,p ;k=1,…,m
=1 ;
Cas d’ un client-camion j∈{p+1,…,n}
Si
m
p
k =1 i = 1
x ijk = 0 alors
*
{
}
δ ik* j = min δ ijk : i = 1,..., p; k = 1,..., m
xijk = 0
*
x ik* j = 1 ;
pour
tout
i=1,…,p ;
k=1,…,m
$
) '$ * $ #
$
$$#
La première phase de la méthode à deux phases a permis de
constituer les groupes de clients et de les affecter aux clientsremorque présents sur le tour principal. La seconde phase
consiste à résoudre un problème de routage pour chaque
groupe. On distingue, suivant la manière de groupement, deux
types de problèmes de routage. Dans le cas où la répartition de
clients permet de former des sous-tours ce qui est le cas pour le
modèle de localisation (L1). Dans ce cas on résout un PVC
pour chaque groupe. Dans le cas où, les groupes ont été formés
autour de clients-remorque (L2) et (L3), on résout un PTVC
pour chaque groupe. Pour la résolution du PTVC on utilise
également une méthode à deux phases de type groupement
d’abord routage en second. La première phase consiste en une
méthode de balayage [8]. Pour chaque sous-tour, l’heuristique
GENIUS [7] est appliquée pour résoudre le PVC associé.
L’heuristique GENIUS consiste en deux phases : une première
phase de construction de tournée par insertion des clients un
par un dans une tournée comportant initialement trois clients,
et une seconde phase de post-optimisation de la tournée
construite.
La solution obtenue avec la méthode à deux phases peut être
améliorée par une série de transformations locales. On
applique une procédure de post-optimisation qui consiste en
l’application d’une descente qui utilise deux structures de
voisinages. Un premier voisinage V1 consiste en des
mouvements de déplacements de clients entre sous-tours issus
d’une même racine. Un deuxième voisinage V2 est utilisé suite
à la descente avec le premier voisinage. Il consiste à effectuer
des échanges de clients entre sous-tours issus d’une même
racine.
,
δ ik* j = min δ ijk : i = 1,..., p; k = 1,..., m
xijk = 0
+& $# '
$# ' " #
* $
-
$#
Les expériences numériques sont réalisées dans un
environnement UNIX, sous une plateforme Sun OS 5.9. Les
programmes sont écrits en langage C en utilisant le compilateur
gcc. L’évaluation de la performance des méthodes à deux
phases est effectuée sur un ensemble d’instances générées
aléatoirement. Chaque instance est caractérisée par trois
paramètres : n le nombre de clients, p le nombre de clientsremorques et α un paramètre pour modifier la charge de
camion. La capacité de chaque camion est calculée comme
suit :
Q = α .(
n
q i / p) . Les quantités desservies qj, pour
i = p +1
j=1,…,n, sont générées suivant une distribution uniforme dans
l’intervalle [1,100].
L’ensemble des jeux de données est constitué de 120 instances
du PTVA. Ces instances sont obtenues en faisant varier
n=100,300, p=10%,30% de n et α=1,2 ; 1,0 et 0,8. Pour
chaque problème 10 instances aléatoires sont générées.
D’abord on présente les résultats numériques obtenus pour les
modèles de localisation (L2) et (L3). Ensuite, on présente une
étude comparative des solutions données par les deux
approches basées sur les modèles (L2) et (L3).
A. Résolution des modèles de localisation
Les tableaux 1 et 2 présentent les résultats obtenus pour la
résolution des deux modèles de localisation (L2) et L3). La
résolution implémentée est une méthode de séparationévaluation utilisant la méthode de sous-gradient et l’heuristique
Lagrangienne décrits dans la section 2. Chaque ligne des
tableaux 1 et 2 correspond à une moyenne sur 10 instances
résolues. La colonne Zh/Z* représente le ratio entre la valeur de
la meilleure solution réalisable trouvée à la racine de
l’arborescence et la valeur de la solution optimale. La colonne
Noeud représente le nombre de nœuds de l’arborescence
explorés. La colonne t représente le temps de calcul en
secondes.
n
p
100 10
30
300 30
90
Zh/Z*
Noeud
t
1,2 1,209
124,2
28,1
1,0 1,189
316,8
94,4
0,8 1,195
188,3
38,0
1,2 1,382
129,7
71,8
1,0 1,194
88,3
43,9
0,8 1,065
53,2
67,0
1,2 1,176
225,9
81,7
1,0 1,110
33,6
111,9
0,8 1,012
176,6
78,8
1,2 1,115
133,2
128,5
a
1,0 1,019
86,7
233,1
0,8 1,017
123,7
300,2
Tableau 1. Modèle de localisation (L2)
n
p
α
Zh/Z* Noeud
t
100 10 1,2 1,005
1,0 1,002
0,8 1,000
17,8
5,2
18,0
2,1
1,7
2,3
30 1,2 1,012
1,0 1,006
0,8 1,004
53,9
31,6
38,2
9,4
9,5
9,2
300 30 1,2 1,007
1,0 1,001
0,8 1,003
47,9
48,6
52,6
32,4
22,2
19,8
90 1,2 1,010 127,6 28,5
1,0 1,012 171,2 134,1
0,8 1,011 134,7 129,0
Tableau 2. Modèle de localisation (L3)
Ces résultats nous conduisent à faire les observations suivantes.
Pour les deux modèles les solutions sur les 10 instances
générées ont pu être obtenues. Les solutions ne peuvent
toutefois pas être comparées à ce stade. Par contre il apparaît
que le modèle sans distinction de sous-tours (L3) requiert pour
sa résolution des temps de calcul plus faibles que le modèle
avec distinction de sous-tours (L2). Le temps de calcul varie
dans les deux cas selon le nombre total de clients mais
également selon le nombre de clients-remorques présents. Les
problèmes plus contraints en termes de capacité (α petit) sont
également plus difficiles à résoudre. Dans le cas du modèle
(L3), la solution générée à la racine avec l’heuristique
Lagrangienne est de bonne qualité. Ceci n’est pas le cas avec
l’heuristique Lagrangienne associée au modèle (L2) qui génère
des résultats de qualité moyenne variant entre 1,2% et 38,2%
par rapport à la valeur optimale.
B. Méthodes à deux phases
Le tableau 3 décrit les résultats obtenus par la méthode à deux
phases en utilisant les deux modèles de localisation (L2) et
(L3). Chaque ligne de ce tableau correspond, également, à une
moyenne sur 10 instances résolues. La colonne H2 (resp. H3)
rapporte les résultats obtenus par la méthode à deux phases
pour laquelle la première phase résout le modèle L2 (resp. L3).
La colonne HP2 (resp. HP3) correspond aux résultats fournis
par la méthode à deux phases avec le modèle L2 (resp. L3)
suivi d’une phase de post-optimisation. Pour toutes les
colonnes la valeur du rapport entre la valeur obtenue et la
meilleure solution connue, est rapportée.
n
p
100 10
30
300 30
90
α
1,2
1,0
0,8
1,2
1,0
0,8
1,2
1,0
0,8
1,2
1,0
0,8
H2
1,170
1,166
1,080
1,429
1,217
1,059
1,095
1,077
1,097
1,070
1,059
1,028
HP2
1,062
1,038
1,000
1,000
1,028
1,000
1,025
1,000
1,039
1,030
1,000
1,000
H3
1,059
1,059
1,073
1,186
1,094
1,062
1,061
1,090
1,075
1,044
1,068
1,007
HP3
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,022
1,000
1,010
1,000
1,000
1,005
1,007
Tableau 3. Comparaison des méthodes à deux phases
Les résultats présentés dans le tableau 3 nous permettent de
faire les observations suivantes. La résolution du PTVA à
l’aide de l’heuristique H3 basée sur la modélisation sans
distinction de sous-tours (L3) fournit des meilleurs résultats
que celles trouvées par l’heuristique H2 basée sur la
modélisation avec distinction de sous-tours (L2). Une
justification de ce fait est que pour le modèle sans distinction
de sous-tours (L3) la composition des sous-tours est faite en
seconde phase donc elle est moins affectée par les
approximations faites lors de la première phase de résolution.
On note aussi l’amélioration apportée par la procédure de postoptimisation aux solutions obtenues par les deux heuristiques
H2, H3. Notons que la phase de post-optimisation appliquée
après H2 et H3 permet de réduire l’écart entre les heuristiques
H2 et H3. Les heuristiques HP2 et HP3 fournissent donc des
résultats homogènes. Les temps d’exécution de la deuxième
phase de routage et de la phases de post-optimisation sont
relativement petit (1 à 4 secondes) comparé au temps total de
résolution.
,
' #
Nous avons proposé des méthodes approchées à deux phases
(localisation et routage) pour résoudre le problème de tournées
de véhicule avec contraintes d’accessibilité. Trois modèles de
localisation ont été proposés. Ils se distinguent par le type de
groupement de clients. Un groupement conduit à la résolution
d’une série de problèmes de voyageurs de commerce en phase
de routage. Un autre groupement conduit à la résolution d’une
série de problèmes de tournées de véhicules en seconde phase.
Les problèmes de localisation, de la première phase, sont
résolus par une méthode de séparation-évaluation. Les
problèmes de routage, PVC et PTVC, sont résolus d’une
manière approchée par des méthodes de recherche locale. Une
phase de post-optimisation est appliquée pour améliorer la
solution trouvée. D’autres méthodes approchées telles que des
métaheuristiques peuvent être utilisées pour la résolution du
problème de tournées de véhicules avec contraintes
d’accessibilité [14].
,
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