exercices vecteurs coplanaires TS

Chapitre 2
terminale S
Géométrie et vecteurs de l’espace
Exercice 1 :
ABCD est un tétraèdre. M, N, P et Q sont les points définis par :
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1
1
AM = AB ,
AN = AC ,
CP = − CD
et AQ = AD .
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2
3
a) Exprimer les vecteurs MN , MP et MQ en fonction de AB , AC et AD .
b) Déterminer deux réels x et y tels que : MQ = xMN + yMP .
c) Que peut-on en déduire pour M, N, P et Q ?
Exercice 2 :
Dans cet exercice, les tracés seront effectués sur la figure 1 ci-dessous :
Soit un cube ABCDEFGH.
1) a) Les vecteurs AG , EC et BF sont-ils coplanaires ? Pourquoi ?
b) Les vecteurs BD , BF et AB sont-ils coplanaires ? Pourquoi ?
1
1
2
2) a) Construire le point M tel que AM = AB + AD + AE
3
3
3
b) Exprimer les vecteurs EM et EC en fonction de AB , AD et AE .
c) Montrer que les points E, M et C sont alignés.
2
2
3) a) Construire le point P tel que AP = AB + BF + FG .
3
3
b) Démontrer que le point P appartient au plan (EFH ).
Figure 1 :
exercice 3 :
Dans un repère de l’espace, on donne les points A (2;1;5) , B ( 4; 2; 4) , C (3;3;5) , D (0;3;7) .
1) Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ?
2) Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
3) Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
Exercice 4 :
Un cube d’arête 8 cm est traversé par deux épées suivant les droites ( I I ′) et (JJ ′) . (Voir figure fournie)
I et J sont situés sur la face EFGH.
I est à 1 cm de (EH) et de (EF).
J est à 4 cm de (HG) et de (FG).
I ′ est un point de la face BCGF situé à 1 cm de (BC) et à 5 cm de (CG).
J ′ est un point de la face ABFE situé à 1 cm de (AB) et à 4 cm de (BF).
Le but de l’exercice est de savoir si les épées se touchent.
(
)
On considère le repère A; i , j, k avec AB = 8i ; AD = 8 j et AE = 8k .
1) Déterminer les coordonnées de I, J, I ′ et J ′ .
2) Les vecteurs II ′ , IJ et IJ ′ sont-il coplanaires ?
3) Les épées se touchent-elles ?
Chapitre 2
terminale S
Géométrie et vecteurs de l’espace
Exercice 1 :
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a) MN = MA + AN = − AB + AC ; MQ = MA + AQ = − AB + AD
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MP = MA + AC + CP = − AB + AC − CD = − AB + AC − CA − AD = − AB + AC − AD
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2
2




2
1
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2
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1
b) MQ = xMN + yMP ssi − AB + AD = x − AB + AC + y − AB + AC − AD ssi
 3
 3


3
2
4
2
2
2
2
 2
− = − x − y
3
3
3

−2 = −2x − 2y






3
3
2
1
2
2
3
3
1

− AB + AD = − x − y AB +  x + y AC − yAD ssi  0 = x + y ssi 
 0 = 3x + 6y ssi


 3
 4
4
2
3
2
3 
2 
2

y = −1

1
1

=
−
y

2
2

−2 = −2x − 2y −2x − 2y = −4 + 2 = −2


 x = 2
 3x = −6y = 6 ssi 
x=2
. Donc 
.

 y = −1



y = −1
y = −1

Alors MQ = 2MN − MP
c) Alors les vecteurs MQ , MN et MP sont coplanaires. Comme ils ont M en commun alors les points M, N, P et Q sont
coplanaires.
Exercice 2 :
1)a) (AG) et(EC) sont les diagonales du rectangle AEGC donc AG et EC sont dans le plan (AEGC). BF = AE or AE est dans
le plan (AEGC). BF a un représentant dans (AEGC). Donc les vecteurs AG , EC et BF sont coplanaires.
b) Les vecteurs BD et BF sont dans le plan (BDF). Or B est dans (BDF) et A n’est pas dans (BDF) donc le vecteur AB n’est pas
dans (BDF) alors les vecteurs BD , BF et AB ne sont pas coplanaires.
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1
2
2) a) On construit le point M tel que AM = AB + AD + AE . Attention rien ne prouve que M est sur [DH]. (D’ailleurs il
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n’y est pas).
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1
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1
1
1
b) EM = EA + AM = −AE + AB + AD + AE = AB + AD − AE ; EC = EF + FG + GC = AB + AD − AE .
3
3
3
3
3
3
c) On constate que EC = 3EM donc EC et EM sont colinéaires et ont un point commun donc les points E, M et C sont alignés.
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2
2
3) a) On construit le point P tel que AP = AB + BF + FG = AB + AE + AD .
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3
3
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2
2
2
2
2
b) EP = EA + AP = −AE + AB + AE + AD = AB + AD . Or AB = EF et AD = EH donc EP = EF + EH . Alors
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3
les vecteurs EP , EF et EH sont coplanaires et possèdent un point commun donc les points E, F, H et P sont coplanaires. Alors
le point P appartient au plan (EFH ).
exercice 3 :
0 − 2 = −2
3 − 4 = −1
1) AD 3 −1 = 2 et BC 3 − 2 = 1 . On remarque que AD = 2BC . Ces deux vecteurs sont colinéaires donc les droites (AD)
7−5 = 2
5− 4 =1
et (BC) sont parallèles.
0 − 2 = −2
4−2 = 2
3− 2 = 1
2) AD 3 −1 = 2 , AB 2 −1 = 1 , AC 3 −1 = 2 . Vérifions qu’il existe des réels k et k’ tels que AD = kAB + k ′AC .
7−5 = 2
−2 = 2k + k ′

 2 = k + 2k ′

 2 = −k
4 − 5 = −1
5−5 = 0
k ′ = −2 − 2k = −2 + 4 = 2

 k + 2k ′ = −2 + 4 = 2 . La deuxième ligne est vraie. Donc AD = −2AB + 2AC . Alors les vecteurs AD ,

k = −2

AB et AC sont coplanaires. De plus ils ont le point A en commun donc les points A, B, C et D sont coplanaires.
3) Comme A, B, C et D sont coplanaires alors les droites (AB) et (CD) sont coplanaires.
4−2 = 2
0 − 3 = −3
2 = −3k

AB 2 −1 = 1 et CD 3 − 3 = 0 . Supposons qu’il existe un réel k tel que AB = kCD alors  1 = 0 . La deuxième ligne est

4 − 5 = −1
7−5 = 2
−
 1 = 2k
impossible donc il n’existe pas de réel k tel que AB = kCD . Les vecteurs AB et CD ne sont pas colinéaires donc les droites
(AB) et (CD) ne sont pas parallèles. Comme elles sont coplanaires alors les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
Exercice 4 :
1) On a I (1 ; 1 ; 8) ; J (4 ; 4 ; 8) ; I’ (8 ; 3 ; 1) et J’ (4 ; 0 ; 1)
2) Déterminons les coordonnées des vecteurs II ′ , IJ et IJ ′ .
x I ′ − x I = 8 −1 = 7
′
II y I ′ − y I = 3 −1 = 2
x J − x I = 4 −1 = 3
IJ y J − y I = 4 −1 = 3
x J ′ − x I = 4 −1 = 3
′
IJ y J ′ − y I = 0 −1 = −1
z I ′ − z I = 1 − 8 = −7
zJ − zI = 8 − 8 = 0
z J ′ − z I = 1 − 8 = −7
Les vecteurs II ′ , IJ et IJ ′ sont coplanaires s’il existe deux réels k et k’ tels que II ′ = kIJ + k ′ IJ ′ . On applique cette égalité
vectorielle au niveau des coordonnées et on obtient le système :
7 = 3k + 3k ′

 2 = 3k − k ′ d’où

 −7 = −7k ′
7 = 3k + 3

 2 = 3k −1 alors

 1 = k ′
4 = 3k

3 = 3k donc

 1 = k ′
 43 = k

 1 = k impossible on obtient deux valeurs pour k.

1 = k ′
Donc il n’existe pas de nombres k et k’ tels que II ′ = kIJ + k ′ IJ ′ alors les vecteurs II ′ , IJ et IJ ′ ne sont pas coplanaires.
3) Si les vecteurs II ′ , IJ et IJ ′ ne sont pas coplanaires alors les points I, J, I’ et J’ ne sont pas coplanaires donc les droites (II’)
et (JJ’) ne sont pas coplanaires. Comme deux droites sécantes sont toujours coplanaires alors (II’) et (JJ’) ne peuvent pas être
sécantes.
Donc les deux épées ne se touchent pas.