Vecteurs et repérage dans l`espace

VECTEURS ET REPERAGE DANS L’ESPACE
I) Vecteurs de l'espace
1) Extension de la notion de vecteur
uuur uuur
• L'égalité AB = CD signifie que ABDC est un parallélogramme.
uuur uuur uuur
• Relation de Chasles : Pour tous points A, B et C de l’espace, AC = AB + BC .
uuur
uuur
• la longueur ou norme du vecteur AB se note AB et est égale à la distance AB.
2) Opérations sur les vecteurs
L'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un réel se définissent comme pour les vecteurs du plan.
Ces deux opérations possèdent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane.
II) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
1) Vecteurs colinéaires
r
r
Définition : Deux vecteurs de l’espace u et v sont colinéaires s’il existe deux nombres réels a et b tels que
r
r
r
(a ;b) ' (0 ;0) et α u + β v = 0 .
r
r
r
r
Remarque : Si u et v sont colinéaires, alors on peut écrire l’un en fonction de l’autre sous la forme u = kv où k est un
nombre réel.
Théorème :
uuur
uuur
• Les points A, B et C sont alignés , les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
uuur
uuur
• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles , les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
2) Vecteurs coplanaires
r r
r
Définition : Trois vecteurs de l’espace u , v et w sont coplanaires s’il existe trois nombres réels a, b et c tels que
r
r
r r
(a ; b ; c) ' (0 ; 0 ; 0) et α u + βv + γw = 0 .
r r
r
Remarque : Si u , v et w sont coplanaires alors on peut écrire l’un des trois en fonction des deux autres sous la forme
r
r
r
u = kv + k ′w où k et k’ sont des nombres réels.
Théorème :
uuur uuur
uuur
• Les points A, B, C et D sont coplanaires , les vecteurs AB , AC et AD sont coplanaires.
uuur uuur
uuur
• La droite (ED) est parallèle au plan (ABC) , les vecteurs AB , AC et ED sont coplanaires.
III) Repères et coordonnées dans l’espace
1) Repères de l’espace
r r r
r r
Définition : Soit O un point de l’espace. On dit que ( O, i , j ,k ) est un repère de l’espace, lorsque les vecteurs i , j et
r
k ne sont pas coplanaires.
Vecteurs et repérage dans l'espace 1/3
r r r
Définition : Soit ( O, i , j ,k ) un repère de l’espace.
• Pour tout point M, il existe trois nombres réels
uuuur
r
r
r
x, y et z tels que : OM = x i + y j + z k ;
r r r
(x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère ( O, i , j ,k ) .
x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote du point M dans ce repère.
r
r
r
r
r
r
• Tout vecteur u de l’espace peut s'écrire : u = x i + y j + z k ; (x ; y ; z) sont les coordonnées de u .
m'''(0 ; 0 ; z)
M'(x ; 0 ; z)
r
k
r
i O
r
M'''(0 ; y ; z)
zk
r
r
r
x i + y j + zk
M(x ; y ; z)
r
j
r
yj
m''(0 ; y ; 0)
r
xi
m'(x ; 0 ; 0)
M''(x ; y ; 0)
r r r
2) Propriétés : On considère un repère orthonormé ( O, i , j ,k ) de l’espace.
Propriétés :
r
r
• Soit u (x ; y ; z) et v (x’ ; y’ ; z’).
 x = x'
r r

• u = v ⇔  y = y' ;
 z = z'

r
r
• u + v a pour coordonnées (x + x’ ; y + y’ ; z + z’) ;
r
• k u a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).
r r
• u =0 ⇔x= y= z =0 ;
‚ Soit A (xA ; y A ; zA ) et B (xB ; y B ; zB).
uuur
• AB a pour coordonnées (xB − xA ; y B − y A ; zB − zA ).
 x + xB yA + yB zA + zB 
• Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées  A
;
;
.
2
2
2 

uuur
• Si de plus, le repère est orthonormé, on a : AB = AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2 .
IV) Equations d’objets de l’espace
1) Plans parallèles aux plans de base
Théorème :
r r
• Tout plan parallèle au plan (O, i , j ) d’équation z = 0 a une équation du type z = z0 .
r r
• Tout plan parallèle au plan (O, j , k ) d’équation x = 0 a une équation du type x = x0 .
r r
• Tout plan parallèle au plan (O, i , k ) d’équation y = 0 a une équation du type y = y 0 .
2) Sphère centrée sur l’origine O
Théorème : la sphère de centre O et de rayon R a pour équation x 2 + y 2 + z 2 = R 2.
Vecteurs et repérage dans l'espace 2/3
3) Cylindres
r
Théorème : Le cylindre de révolution d’axe (O, k ), compris entre les plans d’équations z = a et z = b et dont les bases
 a ≤ z ≤b
sont des cercles de rayon R est défini analytiquement par le système  2
.
2
2
x + y = R
Remarques :
• On peut aussi s’intéresser au cylindre illimité dont l’équation est x 2 + y 2 = R 2 .
‚ Pour les deux autres axes, onrobtient des équations de cylindre analogues :
r
• cylindre d’axe (O, i ) : y 2 + z2 = R2
• cylindre d’axe (O, j ) : x 2 + z2 = R2 .
4) Cônes
r
Théorème : Le cône de révolution, de sommet O, d’axe (O, k ), de hauteur h et dont le cercle de base a pour rayon R est
0≤z≤h


2
défini par le système  2
R 2.
2
x
+
y
=

  z
H 

Remarques :
2
R
R
• On peut s’intéresser à la surface illimitée d’équation x 2 + y2 =   z 2 qu’on appellera bi-cône, le rapport
h
H 
donnant la tangente du demi -angle au sommet.
‚ Pour les deux autres axes, on obtient des équations de cône analogues :
2
2
r
r
R
 R
• cône d’axe (O, i ) : y 2 + z 2 =   x 2
• cône d’axe (O, j ) : x 2 + z 2 =   y 2 .
h
h
Vecteurs et repérage dans l'espace 3/3