y. S est l`ensemble des couples (x

Spécialité Terminale S
Bac blanc 2ème trimestre
2011-2012
Exercice pour les spécialistes !
Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x ; y) = y −x.
1) a) Calculer le PGCD(363 ; 484).
b) Le couple (363 ; 484) appartient-il à S ?
2) Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n ; n + 1) appartient-il à S ?
Justifier votre réponse.
3) a) Montrer que (x ; y) appartient à S si et seulement si il existe un entier
naturel k non nul tel que x = k(y −x) et y = (k +1)(y −x).
b) En déduire que pour tout couple (x ; y) de S on a :
PPCM(x ; y) = k(k +1)(y −x).
4) a) Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b) En déduire l’ensemble des couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) = 228.
Démonstration du cours
Enoncer et démontrer le lemme d'Euclide.
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Spécialité Terminale S
Bac blanc 2ème trimestre
CORRECTION
2011-2012
Exercice pour les spécialistes !
1) a)
b)
En utilisant l’algorithme d’Euclide, on obtient :
484 = 363×1 + 121
363 = 121×1 + 0
Le dernier reste non nul est 121.
Donc PGCD(363 ; 484) = 121
PGCD(363 ; 484) = 484 – 363 ; donc le couple (363 ;484) appartient bien à l’ensemble S.
2) Montrons que PGCD(n ; n + 1) = 1
Soit d = PGCD(n ; n + 1).
d divise n et d divise n + 1.
Donc d divise (n + 1) – n = 1
Donc d = 1.
PGCD(n ; n + 1) = n + 1 – n ; donc le couple (n ; n + 1) appartient bien à S.
3) a)
Si (x ;y) appartient à S alors PGCD(x ; y) = y – x
Donc y – x divise x et y – x divise y.
Il existe donc un entier k tel que x = k(y – x) et un entier k’ tel que y –= k’(y – x).
On en déduit que : y – x = k’(y – x) – k(y – x)
Soit : y – x = (k’ – k)×(y – x)
Soit k’ – k = 1 (car y ≠ x).
D’où k’ = k + 1
Il existe donc bien un entier k tel que x = k(y – x) et y = (k + 1)(y – x)
Réciproquement, si x = k(y – x) et y = k(k + 1)(y – x), alors :
PGCD(x ;y) = PGCD(k(y – x) ;(k + 1)(y – x)) = (y – x)PGCD(k ; k + 1) = y – x
Donc le couple (x ; y) appartient bien à l’ensemble S.
b)
De la relation PPCM(x ;y)×PGCD(x ;y) = xy , on déduit que :
PPCM(x ;y)×(y – x) = k(y – x)×(k + 1)(y – x)
Soit : PPCM(x ; y) = k(k + 1)(y – x)
4) a)
On a : 228 = 1×228
228 = 2×114
228 = 3×76
228 = 4×57
228 = 6×38
228 = 12×19
La liste des diviseurs de 228 est donc : 1-2-3-4-6-12-19-38-57-76-114-228.
b)
Si PPCM(x ; y) = 228 alors il existe un entier k tel que k×(k + 1)×(y – x) = 228
Les diviseurs de 228 qui sont deux entiers consécutifs sont 1 et 2 ; 2 et 3 ou bien 3 et 4.
1er cas : k = 1
228
Alors y – x =
= 114
1×2
Et x = k(y – x) = 114 et y = 2×114 = 228
2ème cas : k = 2
228
Alors y – x =
= 38
2×3
Et x = k(y – x) = 2×38 = 76 et y = 3×38 = 114
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Bac blanc 2ème trimestre
CORRECTION
2011-2012
3ème cas : k = 3
228
Alors y – x =
= 19
3×4
Et x = k(y – x) = 3×19 = 57 et y = 4×19 = 76
Conclusion :
Les couples solution de S tels que PPCM(x ; y) = 228 sont (57 ; 76), (38 ; 114) et (114 ; 228).
On peut vérifier pour les 3 couples que PPCM(x ;y) = 228 et PGCD(x ; y) = y – x.
Démonstration du cours
Lemme d’Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
•
Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
•
Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r ont
les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
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