Correction du devoir `a la maison n˚2

Correction du devoir à la maison n˚2
Exercice 1 (3 points)
On commence par convertir toutes les dimensions en cm pour manipuler des nombres entiers !
Les dimensions du couvre-lit sont donc 216 cm sur 252 cm.
On veut que le couvre-lit soit entièrement remplis de carrés tous identiques. La longueur du côté
d’un carré doit donc être un diviseur de la longueur du couvre-lit, et un diviseur de la largeur du
couvre-lit : on cherche donc un diviseur commun à 216 et à 252. Comme on veut que la longueur
du côté d’un carré soit la plus grande possible, cela revient à calculer le PGCD de 216 et 252.
Calcul du PGCD de 216 et 252 par l’algorithme d’Euclide :
252 = 1 × 216 + 36
216 = 6 × 36 + 0
Le PGCD cherché est le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide.
Donc PDCD (252 ;216) = 36 Amélie doit choisir des carrés de 36 cm de côté.
Exercice 2 (3,5 points)
1. On remarque facilement que 682 et 496 sont des nombres pairs. Ils sont donc tous les deux
divisibles par 2.1 n’est donc pas leur seul diviseur commun. Par conséquent, ils ne sont
pas premiers entre eux.
2. Calcul du PGCD de 682 et 496 par l’algorithme d’Euclide.
682 = 1 × 496 + 186
496 = 2 × 186 + 124
186 = 1 × 124 + 62
124 = 2 × 62 + 0
Le PGCD cherché est le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide
donc PGCD (682 ; 496) = 62
3. Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur de
682
, on va diviser 682 et 496 par leur PGCD.
la fraction par leur PGCD. Donc, pour
496
682
682 ÷ 62
11
=
=
496
496 ÷ 62
8
Exercice 3 (3,5 points)
Le pépiniériste veut vendre tous ses arbres, et veut des lots identiques. Le nombre de lots
cherché doit donc être un diviseur du nombre de noisetiers et un diviseur du nombre de noyers.
On cherche donc un diviseur commun à 135 et à 36.
Recherche des diviseurs de 36 : 36 = 36 × 1 = 18 × 2 = 12 × 3 = 9 × 4 = 6 × 6
Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
Recherche des diviseurs de 135 : 135 = 135 × 1 = 45 × 3 = 27 × 5 = 15 × 9
Les diviseurs de 135 sont 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45 et 135.
Les diviseurs communs à 36 et à 135 sont donc : 1, 3 et 9.
Voici donc toutes les possibilités : soit 1 seul lot, soit 3 lots soit 9 lots. Dans le cas d’1 lot : il
serait composé de 135 noisetiers et 36 noyers.
Dans le cas de 3 lots, ils seraient composés de 45 noisetiers et 12 noyers.
Dans le cas de 9 lots, ils seraient composés de 15 noisetiers et 4 noyers