Exercice B5 - XMaths

Exercice B5
Pour tout entier naturel
non nul, les nombres
4 x 10
1°) a)
1
;
,
et
2 x 10
sont définis par :
1
;
2 x 10
1
4 x 10
1
39
2 x 10
1
19
2 x 10
1
21
4 x 10
1
399
2 x 10
1
199
2 x 10
1
201
4 x 10
1
3999
2 x 10
1
1999
2 x 10
1
2001
39 ;
19 ;
b) On sait que 10
Donc 4 x 10
21 ;
199 ;
1 (3) donc 10 1
1 (3) donc 4 x 10
De même 2 x 10
Donc :
399 ;
donc
∈ N*,
pour tout
3999 ;
1999 ;
2001
1 (3) pour tout ∈ IN
1 0 (3) donc
0 (3)
2 x 10
et
201 ;
1
3
0 (3)
donc
0 (3)
sont divisibles par 3 .
1999. Pour démontrer que
est un nombre premier, il suffit de démontrer qu'il n'a pas de
c) On a
diviseur premier inférieur ou égal à sa racine carrée.
On constate, en écrivant les divisions euclidiennes que 1999 n'est divisible par aucun des nombres
premiers inférieurs ou égaux à 43. Comme 47
d) Pour tout entier naturel non nul ,
On obtient donc :
2209 > 1999
(2 x 10
x
pour tout entier naturel non nul ,
1)(2 x 10
en facteurs premiers est :
1)
(2 x 10 )
1
est premier
4 x 10
1
x
x
1999 x 2001
On peut donc écrire
La décomposition de 2001 en facteurs premiers est : 2001
Comme 1999 est un nombre premier, on en déduit que
la décomposition de
, on en déduit que
3 x 23 x 29
3 x 23 x 29 x 1999
e) Pour tout ∈ IN on peut écrire
2 x 10
1 2 x 10
Il est alors immédiat que si est un diviseur commun à et , alors est un diviseur de 2
,
donc est un divisieur commun à et 2.
Réciproquement si est un diviseur commun à et 2, alors est un diviseur de
2,
donc est un divisieur commun à et ..
L'ensemble des diviseurs communs à et est donc l'ensemble des diviseurs communs à et 2.
On en déduit que
PGCD(
On a
1
2 x 10
2
;
)
PGCD(
1 avec
On peut alors en déduire que PGCD(
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; 2) .
∈ IN, donc
;
)
est un nombre impair, donc
1 , c'est-à-dire que
TS − Arithmétique − Exercices
et
PGCD(
; 2)
1
sont premiers entre eux .
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2°) (E) est l'équation
1 c'est-à-dire 1999
2001
1.
a) D'après la question précédente, et sont premiers entre eux.
Le théorème de Bézout permet alors d'affirmer qu'il existe deux entiers relatifs
1. Le couple ( ; ) est alors une solution de l'équation (E).
et tels que
L'équation (E) possède donc au moins une solution .
b) On peut écrire
2001 1999 2 et 1999 999 x 2 1
Donc 1 1999 999 x 2 1999 999 x (2001 1999) 1999
c'est-à-dire 1 1000 x 1999 999 x 2001 donc 1 1000 x
999 x 2001
999 x
999 x 1999
On en déduit que le couple (1000 ; 999) est une solution particulière de (E) .
c) Soit ( ; ) une solution de (E).
On peut écrire 1999
2001
1 donc 1999
2001
1000 x 1999 999 x 2001
Par conséquent 2001(
999) 1999(1000
)
étant un entier relatif, alors 2001 divise 2001(
999), donc 2001 divise 1999(1000
).
Comme 2001 est premier avec 1999, on en déduit que 2001 divise (1000
) (théorème de Gauss)
On peut donc écrire 1000
2001 avec ∈ ZZ , c'est-à-dire
1000 2001
∈ ZZ .
En reportant cette expression dans l'égalité 2001(
999) 1999(1000
),
on obtient 2001(
999) 1999 x 2001 c'est-à-dire
999 1999
donc
1999
999.
On a donc obtenu
1000 2001 et
1999
999 avec ∈ ZZ .
Donc tous les couples ( ; ) solutions de (E) sont de la forme (1000 2001 ; 1999
999) ; ∈ ZZ .
Réciproquement considérons un couple de la forme ( ; ) (1000 2001 ; 1999
999) ; ∈ ZZ .
On a 1999 + 2001 = 1999(1000 2001 ) 2001(1999
999) 1999000 1998999 1
Donc le couple ( ; ) est solution de l'équation (E).
Donc tous les couples ( ; ) de la forme (1000 2001 ; 1999
999) ; ∈ ZZ , sont solutions de (E).
L'ensemble des solutions de (E) est donc
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(1000
2001 ; 1999
TS − Arithmétique − Exercices
999) avec
∈ ZZ
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