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Ś́ ́ ́ ́ C ́ 2008 Exercice 1 (5 points) Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité On rappelle que 2003 est un nombre premier. 1. (a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u + 2003v = 1. On effectue l’algorithme d’Euclide : 2003 = 16 × 123 + 35 123 = 3 × 35 + 18 35 = 1 × 18 + 17 18 = 1 × 17 + 1 En remontant cet algorithme, on trouve u = 114 et v = −7. (b) En déduire un entier relatif k0 tel que : 123k0 ≡ 1 [2003]. D’après le a, on a 123 × 114 = 2003v + 1 donc 123 × 114 ≡ 1[2003]. Donc k0 = 114 convient. (c) Montrer que, pour tout entier relatif x, 123x ≡ 456 [2003]si et seulement si x ≡ 456k0 [2003]. 123x ≡ 456[2003] ⇔ 123 × k0 × x ≡ 456k0 [2003] x ≡ 456k0 [2003] ⇔ |{z} c f.b) et transitivite (d) Déterminer l’ensemble des entiers relatifs x tels que : 123x ≡ 456 [2003]. D’aptrès la question c), on en déduit que x = 2003k + 51984 avec k ∈ Z. (e) Montrer qu’il existe un unique entier n tel que : 1 6 n 6 2002 et 123n ≡ 456 [2003]. Il y a içi de nombreuses méthodes possibles mais l’important est de montrer l’unicité de n. n = 2003k + 51984 avec k ∈ Z. De plus on nous impose 1 6 n 6 2002 c’est à dire : −51983 −49982 1 6 2003k + 51984 6 2002 ⇔ ≤k≤ . 2003 2003 1 Ś́ ́ Or −51983 ≈ −25.95 2003 ́ ́ et −49982 ≈ −24.95. 2003 Donc le seul entier compris entre −51983 −49982 et est −25. 2003 2003 On en déduit que n est unique : n = 1909. 2. Soit a un entier tel que : 1 6 a 6 2002. (a) Déterminer : PGCD(a, 2003). 2003 étant un nombre premier. Ses seuls diviseur sont 1 et 2003. Donc PGCD(a, 2003) = 1 En déduire qu’il existe un entier m tel que : am ≡ 1 [2003]. D’après le théorème de Bézout, il existe des entiers m et v tels que am + 2003v = 1. Donc am ≡ 1[2003]. (b) Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que : 0 6 x 6 2002 et ax ≡ b [2003]. Soit b un entier. On sait qu’il existe un entier m tel que am ≡ 1[2003] donc am × b ≡ b[2003]. Soit x le reste de la division euclidienne de mb par 2003. On a alors x ≡ mb[2003] et 0 6 x 6 2002. En multipliant par a et par transitivité on a ax ≡ b [2003] Il faut maintenant montrer que x est unique tel que ax ≡ b [2003] (∗) Soit x0 un entier inférieur à 2002 tel que ax0 ≡ b [2003] (∗∗). En faisant la soustraction de (*) et (**) on a : a(x − x0 ) ≡ 0[2003]. 2003 disise a(x − x0 ) et PGCD(a, 2003) = 1. Donc d’après le théorème de Gauss, 2003 divise x − x0 donc x − x0 ≥ 2003 ou x − x0 = 0 Or x et x0 sont des entiers naturels inférieurs ou égaux à 2002 donc 0 ≤ x − x0 < 2003. Donc on a forcément x − x0 = 0, c’est à dire x = x0 . L’entier x recherché est donc le reste de la division euclidienne de mb par 2003. A : Prenons a = 1669 et b = 2001. Résolvons l’équation 1669x ≡ 2001[2003]. On cherche d’abord m. Avec l’algorithme d’Euclide on trouve 1669 × −6 ≡ 1[2003]. Donc m = −6 Donc x est le reste de la division euclidienne de −6 × 2001 par 2003 c’est à dire x = 12 . 1669 × 12 − 2001 est divisible par 2003. 2