Problème - Suite de Fibonacci

Suite de Fibonacci
On considère la suite (un ) définie par : u 0 = 0 , u1 = 1 et ∀n ∈ ℕ, un +2 = un +1 + un .
Cette suite est appelée suite de Fibonacci.
Partie I
1.
Montrer que ∀n ∈ ℕ, un ≥ n −1 . Déterminer la limite de la suite (un ) .
2.a
Etablir que ∀n ∈ ℕ ∗ , un +1un −1 − un2 = (−1)n (appelée relation de Simson).
2.b
En déduire que ∀n ∈ ℕ ∗ , un et un −1 sont premiers entre eux.
3.a
Montrer que ∀n ∈ ℕ, ∀p ∈ ℕ∗ , un +p = un u p−1 + un +1u p .
3.b
En déduire que ∀n ∈ ℕ,∀p ∈ ℕ ∗ ,pgcd(un +p , u p ) = pgcd(un , u p ) .
3.c
Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a ∈ ℕ par b ∈ ℕ ∗ alors
pgcd(ua , ub ) = pgcd(ub , ur ) .
3.d
En s’inspirant de l’algorithme d’Euclide, établir ∀n , p ∈ ℕ ∗ , pgcd(un , u p ) = u pgcd(n ,p ) .
Partie II
On note E le sous-ensemble de ℝ ℕ formé des suites réelles (an ) telles que ∀n ∈ ℕ,an +2 = an +1 + an .
1.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝ ℕ .
2.
On considère l’application ϕ : E → ℝ 2 définie par ϕ ((an )) = (a 0 ,a1 ) .
Montrer que ϕ est un isomorphisme de ℝ - espace vectoriel .
En déduire dimE .
3.a
Pour quels q ∈ ℝ les suites (q n ) appartiennent-elles à E ?
On notera q1 et q 2 les deux solutions trouvées.
3.b
Montrer que les suites (q1n ) et (q 2n ) forment une base de E .
3.c
En déduire l’expression du terme général de la suite de Fibonacci.