TS spécialité - Applications du PGCD et du PPCM

2ème séance
II) THÉORÈME DE BÉZOUT
Propriété ( identité de Bézout )
Soient a et b deux relatifs non nuls . Il existe toujours deux relatifs u et v tels que
au + bv = PGCD ( a ; b )
Supposons, pour commencer, b > 0 et procédons à la division euclidienne de
l’entier relatif a par l’entier naturel b :
a = bq0 + r0
b = r0 q1 + r1
0 ≤ r0 < b
0 ≤ r1 < r0
r0 = r1q 2 + r2
…
rk −1 = rk q k +1 + rk +1
…
rn − 2 = rn −1qn + rn
rn −1 = rn qn +1 + rn +1
0 ≤ r2 < r1
…
0 ≤ rk +1 < rk
…
0 ≤ rn < rn −1
rn +1 = 0
En combinant ses égalités, il est possible d’exprimer tous les restes rk en
fonction de a et b : rk = au k + bv k où u k et vk sont des entiers relatifs qui
s’expriment en fonction de q 0 , q1 , … , qk . En particulier aussi, le dernier reste
non nul rn qui est le PGCD de a et b .
Si b < 0 , on procède à la division euclidienne de a par −b . Il existe ( d’après ce
qui précède ) deux relatifs u ' et v ' tels que au '+ ( −b ) v ' = PGCD ( a ; −b ) .
Puisque PGCD ( a ; −b ) = PGCD ( a ; b ) , on peut choisir u = u ' et v = − v ' .
Remarque . La réciproque de cette propriété est fausse : pour a = 4 et b = 5 , on a
3 × 4 − 2 × 5 = 2 et pourtant PGCD ( 4;5 ) ≠ 2 .
Le couple ( u ; v ) n’est pas nécessairement unique : pour a = 3 et b = 2 , on peut
écrire 1× 3 − 1× 2 = PGCD ( 3; 2 ) = −1× 3 + 2 × 2 .
Théorème ( de Bézout )
Deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il
existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 .
Si a et b sont premiers entre eux, alors PGCD ( a ; b ) = 1 . D’après l’identité de
Bézout, il existe deux relatifs u et v tels que au + bv = 1 .
Réciproquement, supposons l’existence de deux relatifs u et v tels que
au + bv = 1 Tout diviseur commun à a et b divise au et bv , donc aussi leur
somme au + bv , c'est-à-dire 1 . Le PGCD de a et b est donc un entier positif
diviseur de 1 . On a nécessairement PGCD ( a ; b ) = 1 . CQFD
1er exemple ( u = 1 et v = − 1 )
n et n + 1 sont premiers entre eux car 1× ( n + 1) − 1× n = 1
2ème exemple ( u = 2 et v = − 1 )
n + 2 et 2 n + 3 sont premiers entre eux car 2 × ( n + 2 ) − 1× ( 2n + 3) = 1
Programmation sur TI / CASIO
EXERCICE → déterminer les coefficients de Bézout par l’algorithme d’Euclide
EXERCICE ANALOGUE AU PRÉCÉDENT
On pose a = 145 et b = 55 . Trouver PGCD ( a ; b ) par l’algorithme d’Euclide .
Les lettres a et b désignent deux entiers naturels premiers entre eux avec a > b .
a) Démontrer que a + b et a − b ne sont pas nécessairement premiers entre eux .
En déduire un couple ( u ; v ) d’entiers relatifs tels que au + bv = PGCD ( a ; b ) .
On détermine le PGCD de a et b par divisions successives : 145 = 55 × 2 + 35 ;
55 = 35 × 1 + 20 ; 35 = 20 × 1 + 15 ; 20 = 15 × 1 + 5 et 15 = 5 × 3 + 0 . Le nombre
cherché est le dernier reste non nul : PGCD ( a ; b ) = 5
On « remonte » ensuite l’algorithme d’Euclide en isolant les différents restes :
5 = 20 − 15 × 1 ; 15 = 35 − 20 × 1 ; 20 = 55 − 35 × 1 ; 35 = 145 − 55 × 2 . Il ne
reste alors plus qu’à combiner ces égalités . On obtient :
5 = 20 − ( 35 − 20 ×1) ×1 = −35 + 20 × 2
5 = −35 + ( 55 − 35 ×1) × 2 = 55 × 2 − 35 × 3
5 = 55 × 2 − (145 − 55 × 2 ) × 3 = 55 × 8 − 145 × 3
De 5 = 145 × ( −3) + 55 × 8 , on déduit que 5 = au + bv avec u = − 3 et v = 8 .
b) Vérifier que, pour tout couple ( u ; v ) d’entiers relatifs, on a :
u ( a + b ) + ( v − u ) b = au + bv
c) En déduire que les entiers naturels a + b et b sont premiers entre eux .
d) Démontrer de même que les entiers a + b et a sont premiers entre eux .
e) Que peut-on dire des entiers naturels a + b et ab ?
a) On construit un contre-exemple . Si a = 7 et b = 5 , on constate que a et b sont
deux entiers naturels premiers entre eux tels que a > b . Pourtant a + b = 12 et
a − b = 2 ne sont pas premiers entre eux ( car tous les deux divisibles par 2 ) .
b) Pour tous , : u ( a + b ) + ( v − u ) b = ua + ub + vb − ub = au + bv .
c) On sait que a et b sont premiers entre eux . D’après le théorème de Bézout, il
existe deux relatifs u et v tels que au + bv = 1 . On déduit alors de la question b)
l’égalité u ( a + b ) + ( v − u ) b = 1 . En réappliquant le théorème de Bézout, on
EXERCICE → démontrer que deux entiers naturels sont premiers entre eux
peut alors affirmer que a+b et b sont premiers entre eux .
Les lettres a, b et c désignent des entiers naturels non nuls tels que :
(1)
a et b sont premiers entre eux
( 2) a et c sont premiers entre eux
Démontrer qu’alors a et bc sont premiers entre eux .
d) On procède comme en c) . D’après le théorème de Bézout, il existe deux relatifs
u et v tels que au + bv = 1 . On a : v ( a + b ) + ( u − v ) a = va + vb + ua − va = 1
D’après le théorème de Bézout, les entiers a + b et a sont premiers entre eux .
a et b sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que
au + bv = 1 . Puisque a et c sont premiers entre eux, il existe de même, deux
entiers relatifs u ' et v ' tels que au ' + cv ' = 1 . Par multiplication membre à
membre des deux précédentes égalités, il vient successivement :
( au + bv )( au ' + cv ') = 1×1
a ( u '+ cuv ') + bcvv ' = 1
D’après le théorème de Bézout, les entiers a et bc sont premiers entre eux .
e) En multipliant membre à membre les deux relations u ( a + b ) + ( v − u ) b = 1 et
v ( a + b ) + ( u − v ) a = 1 on obtient une relation de la forme λ ( a + b ) + λ ' ab = 1
avec λ = uv ( a + b ) + u ( u − v ) a + v ( v − u ) b et λ ' = ( v − u )( u − v ) = − ( u − v )
2
D’après le théorème de Bézout, les entiers a + b et ab sont premiers entre eux .