SUJET NATIONAL – BAC S - 2001 B) EXERCICE 2 : Partie

SUJET NATIONAL – BAC S - 2001
Enseignement spécialité , juin 2001
B) EXERCICE 2 : Partie Spécialité (pour les candidats spécialistes)
ARITHMETIQUE – PGCD – NOMBRES PREMIERS 6 EQUATION ENTIERES.
SUJET DE l’ EXERCICE
( correction à la fin)
1) Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres:
a n= 4.10n-1 , b n= 2.10n-1 et cn = 2.10n + 1
a) Calculez : an , bn et cn pour n = 1 , 2 et 3.
b) Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres?
Montrez que an et cn sont divisibles par 3.
c) Montrez, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 que b3 est premier.
d) Montrez que, pour tout entier naturel n, bn.cn = a2n .
Déduisez-en la décomposition en produit de facteurs premiers de a6.
e) Montrez que PGCD(bn, cn ) = PGCD( cn , 2 ).
Déduisez-en que bn et cn sont premiers entre eux.
2: On considère l'équation : (1): b3x + c3y = 1 d'inconnues les entiers relatifs x et y .
a) Justifiez le fait que (1) possède au moins une solution.
b) Appliquez l'algorithme d'Euclide aux nombres c3 et b3.
Déduisez-en une solution particulière de (1).
c) Résolvez l'équation (1).
CORRECTION DE l’ EXERCICE
1: a: On a : a1 = 39 , a2 = 399 , a3 = 3999 , b1 = 19 , b2 = 199 ,
b3 = 1999 , c1 = 21 , c2 = 201 , c3 = 2001.
b:
an s'écrit, en base 10, sous la forme 499..99, 4 suivi de n "9".
Donc son écriture décimales a (n+1) chiffres.
De même, cn s'écrit 2000...001, "2" , suivi de (n-1) "0" , et un "1",
donc son écriture décimale a aussi (n+1) chiffres.
c: Comme (A-B)(B+A) = A2 - B2, on a:
bn.cn = (2.10n-1) .(2.10n+1) = 4.102n -1 = a2n.
En particulier, a6 = b3.c3 = 1999*2001 = 3*23*29*1999. C'est bien la décomposition en facteur premier
de ce nombre car 1999 est premier.
d: On sait que pour tous entiers n et m, on a : PDCD( n , m) = PGCD( m-n , m).
Comme cn - bn = 2, on en déduit que l'on a bien : PGCD( bn , cn ) = PGCD( cn ,2).
Or, cn et 2 sont premiers entre eux,
( argument très simple, cn est impair, ou avec BACHET-BEZOUT, cn - 2.10n =1 ),
donc PGCD( cn ,2) = 1 et donc PGCD( bn , cn ) =1 …. bn et cn sont bien premiers entre eux.
2: a: Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, on sait, d'après le théorème de BACHET-BEZOUT
qu'il existe u et v entiers relatifs tels que b3.u + c3.v = 1
L'équation (1) admet donc au moins une solution.
b: On a: 2001 = 1999 + 2 et 1999 = 999*2 + 1 , d'où la relation :
(1999 = 999*(2001-1999)+1) et (1000*1999 - 999*2001 = 1)
Une solution particulière est donc (x = 1000) , (y = -999).
c: Si x et y est une solution de (1), alors on a: b3x + c3y = 1 et 1000.b3 - 999.c3 = 1
D'où, (1000-x)b3 = (999 + y)c3.
Comme b3 et c3 sont premiers entre eux, d'après le théorème de GAUSS, il existe donc k et k' entiers
relatifs tels que : 1000 - x = k.c3 et 999 + y = k'.b3
On remarque que l'on doit avoir k = k'. D'où, toute solution de (1) est de la forme:
x = 1000 - k.c3
y = - 999 + k.b3 où k est un entier relatif quelconque.
On vérifie sans peine que tout (x , y ) de la forme précédente est bien solution.
L'ensemble des solutions de (1) est donc l'ensemble des couples ;
( 1000 - k*2001 ; -999 + k*1999), où k est un entier relatif.