IUT Mesures Physiques

IUT 1 DE GRENOBLE
Département mesures physiques
Cours de Mathématiques
Premier semestre
Jean-Marie De Conto
1
Chapitre 1 : Rappels de trigonométrie
Cercle trigonométrique : Il s’agit du cercle de rayon 1, centré sur l’origine O.
y
M
P
A
Q
x
O
On définit la mesure « principale » de l’angle (AOM), notée θ, par   ( AM ) , la longueur de
l’arc sur le cercle unité. La rotation dans le sens positif correspond au sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Unité : un angle s’exprime, sauf indication contraire, en radians, unité légale. On utilise bien
sûr d’autres unités comme le degré.
 deg rés   radians
180

Longueur d’arc : Un arc défini par un angle θ (en radians) sur un cercle de rayon R a pour
longueur R θ.
Les angles sont comptés positivement dans le sens trigonométrique, inverse des aiguilles
d’une montre. Un angle de 2π correspond à une rotation d’un tour complet. La mesure d’un
angle est définie à 2π près. L’angle π correspond à un demi tour dans le sens direct, et à –π
dans le sens rétrograde.
Propriété : Les angles sont définis dans l’intervalle [0,2π] ou [-π,+π], de manière identique.
Ils sont définis à un nombre entier de tours près. On écrira donc de manière générale :
   0  2k
Avec k entier et :
 0  [0,2 ] ou  0  [ ,  ]
2
Fonctions trigonométriques :
On définit :
____
OQ
cos  
OM
____
OP
OM
sin 
tan  
cos 
cos 
cot  
sin
sin 
Attention aux grandeurs algébriques (avec un signe).
Angles remarquables
La table qui suit est à connaître par cœur
θ
0

6

4

3

2
sin
0
cos
1
2
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
1
0
On déduit les tangentes et cotangentes par calcul direct.
Valeurs déduites par lecture sur le cercle trigonométrique.
Elles sont légion et nous ne donnerons que quelques cas, à compléter soi-même :


cos     ?
2



sin     ?
2

cos      ?
sin      ?


cos     ?
2

cos      ?


sin     ?
2

Formules d’addition
sin      ?
3 

cos  
?
2 

3 

sin  
?
2 

 3

cos
   ?
 2

 3

sin
   ?
 2

3
Nous verrons, dans la partie « nombres complexes » comment l’on démontre les formules
qui suivent.
Les relations fondamentales, les valeurs remarquables, ainsi que les formules relatives à
l’angle double ou moitié sont à connaître par cœur.
4
Fonctions trigonométriques réciproques



L’équation sin  y admet une solution unique dans l’intervalle [-/2, /2]. On la
note   Arc sin(y )
L’équation cos  y admet une solution unique dans l’intervalle [0, ]. On la
note   Arc cos( y )
L’équation tan   y admet une solution unique dans l’intervalle ]-/2, /2[. On la
note   Arc tan( y )
Nous avons ainsi défini trois fonctions trigonométriques réciproques :

Arcsin : défini de [-1 1] sur [-/2, /2]

Arccos défini de [-1 1] sur [0, ]

Arctan défini de ]-∞ +∞ [ sur ]-/2, -/2[
Propriétés élémentaires
La
définition
des
fonctions
trigonométriques,
ainsi
que
2
2
cos   sin   1 permettent de démontrer aisément les relations suivantes :
la
relation
cos(arcsin x )  1  x 2  sin(arccos x )
x
tan(arcsin x ) 
1  x2
1  x2
x
arccos x  arcsin x   / 2
tan(arccos x ) 
Exercice : démontrer ces relations
Dérivation des fonctions réciproques
Nous reverrons ce point ultérieurement, mais nous mentionnerons d’ores et déjà les
relations :
d
1
arccos x  
dx
1  x2
d
1
arcsin x 
dx
1  x2
d
1
arctan x 
dx
1  x2
5
Equations trigonométriques. Première partie.
On considère l’équation :
n  
Où n est un nombre entier et  un angle fixé.
Résolution : on sait que  est défini à un nombre entier de rotations près, c'est-à-dire que
l’équation s’écrit en fait, rigoureusement :
n    2k

2
  k
n
n
L’équation précédente a n solutions (pour k=0…(n-1)).
Exemple. Résoudre 5 

3
Combien y a-t-il de solutions (sans calcul). Donner ensuite toutes les solutions.
Equations trigonométriques. Seconde partie.
Les fonctions réciproques, accessibles sur toute calculatrice, nous permettent de résoudre
des équations trigonométriques simples, qui sont les suivantes :
 x  Arc cos( y )

cos x  y  
ou
 x   Arc cos( y )

 x  Arc sin( y )

sin x  y  
ou
 x    Arc sin( y )

1


 nx  Arc cos( y )  2k
 x  n Arc cos( y )  2k n


cos nx  y  
ou

ou
nx   Arc cos( y )  2k
 x   1 Arc cos( y )  2k 


n
n

1


 nx  Arc sin( y )  2k
 x  n Arc sin( y )  2k n


sin nx  y  
ou

ou
nx    Arc sin( y )  2k
 x    1 Arc sin( y )  2k 


n n
n

Equations trigonométriques. Troisième partie.
Nous considérons maintenant les équations du type acosx+bsinx=c. La procédure est assez
aisée. On se ramène par normalisation au sinus ou au cosinus d’une somme.
1 On normalise l’équation en la réécrivant, de manière équivalente :
a
a b
2
2
cos x 
b
a b
2
2
sin x 
c
a  b2
2
6
On a alors, par construction :

a

2
 a  b 2
2


b
 
2

 a  b 2
2

 1

2 On reconnaît le développement du sinus d’une somme. Il existe donc y, à déterminer, tel
que :
a
a 2  b2
 sin y et
b
 cos y
a 2  b2
L’équation devient finalement :
sin y cos x  cos y sin x  sin( x  y ) 

Cas 1 :

Cas 2 :
c
a  b2
2
c
a  b2
2
- On résoud sin( z ) 
c
a 2  b2
 1 pas de solution
 1 On procède alors comme suit :
c
a  b2
2
, ce qui donne deux solutions z1 et z2.
- On détermine y de manière unique (à 2 près) car on connaît son sinus et son cosinus
(paragraphe 2).
- on déduit x1,2=z1,2-y+2k (deux solutions).
Remarque fondamentale : Si au lieu de cosx et de sinx on a cos(nx) et sin(nx), la résolution
est identique. Par contre on a 2n solutions, x étant remplacé par nx.
z y
2
k
On a : nx1,2=z1,2-y+2k soit x1,2  1,2
(2n solutions).
n
n
Variante : On reconnaît le développement du cosinus d’une somme en posant :
a
a b
2
2
 cos y et
b
a  b2
2
  sin y
l’équation devient alors :
cos y cos x  sin y sin x  cos( x  y ) 
c
a 2  b2
On procède comme précédemment.
7
Quelques applications de la trigonométrie.
1 Coordonnées polaires
On se place dans le plan, avec les coordonnées cartésiennes usuelles. Dans ce cas, un
point M de coordonnées (x,y) peut être représenté par sa distance  à l’origine et l’angle

entre OM et l’axe des abscisses.
M
y

θ
x
On définit les coordonnées polaires de M par le module et l’argument  qui sont définies
par, respectivement
  x2  y2
 x   cos 

 y   sin
2 Equation paramétrique d’un cercle
Les points d’un cercle de rayon R centré sur l’origine vérifient, par définition, l’équation
implicite :
x2  y 2  R2
Ils vérifient donc l’équation dite « paramétrique » suivante (le paramètre est en fait θ).
 x  R cos 

 y  R sin
Exercice : Ecrire l’équation paramétrique d’un cercle centré sur un point quelconque du plan
8
3 Equation paramétrée d’une ellipse centrée
Si a et b sont respectivement les demis grands axes horizontal et vertical, l’équation de
l’ellipse centrée est alors de la forme :
 x  a cos 

 y  b sin
4 Application
On se donne un mouvement elliptique dans le plan, de la forme :
 x(t )  a cos t

 y (t )  b sin t



Calculer le vecteur vitesse
Comment le vecteur vitesse est il orienté par rapport à l’ellipse ?
Déduire de ce raisonnement le vecteur normé tangent à une ellipse quelconque.
5 Valeurs approchées
Pour x petit (c'est-à-dire inférieur à 0.1 environ en valeur absolue), on a les relations :
sin( x )  x
cos( x )  1 
x2
2
tan( x )  x
6 Equations différentielles
Théorème : les fonctions sinus et cosinus sont solutions de l’équation différentielle du
second ordre :
d2 f
dx 2
  f ( x)
Corollaire : les fonctions sin(ωx) et cos(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du
second ordre :
d2 f
dx 2
  2 f ( x )
9
Chapitre 2 : Fonctions logarithme et exponentielle
1 Fonction logarithme népérien
Théorème : la fonction f(x)=1/x admet une primitive sur R*+, l’ensemble des réels strictement
positifs, et qui soit nulle pour x=1. Cette primitive est unique et est notée ln(x).
Corollaire1 :
d ln( x ) 1

dx
x
x
ln( x ) 
t
dt
1
( x  0)
Corollaire 2 : La primitive de 1/x pour x négatif est ln( x ) . Par conséquent, la primitive de
1/x, pour x non nul dans R, est ln x
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien
2 Propriétés élémentaires
On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.
lim ln( x )  
x  
lim ln( x )  
x  0
 ln( x ) 
lim  n   0
x   x

n0
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0,[ et est à valeurs dans
]  ,[
10
Logarithme du produit
Considérons x et a deux réels positifs.
Soit
f ( x)  ln(ax)
Par dérivation
f ( x ) 
a
1

ax x
Par conséquent, la fonction f et la fonction logarithme ayant la même dérivée, elles diffèrent
d’une constante C.
ln(ax)  ln( x)  C
Cette relation est vraie pour tout x, en particulier pour x=1, d’où :
ln(a)  ln(1)  C  C
et donc
ln(ax)  ln( x)  ln(a)
On déduit immédiatement :
a
ln   ln(a )  ln( x )
x
Exercice : le démontrer à partir de la formule précédente
Théorème : La fonction logarithme népérien est la seule et unique fonction continue f qui
vérifie f(ab)=f(a)+f(b) et f(1)=0.
3 Existence du nombre e
Théorème : Il existe un nombre unique noté « e », base des logarithmes népériens, qui
vérifie ln(e)=1.
Ceci se démontre par exemple en utilisant le fait que la fonction est strictement croissante et
continue (paragraphe 2).
4 Dérivation et intégration logarithmique
Soit
G( x)  ln f ( x)
On déduit, par dérivation de fonctions composées :
G ( x ) 
f ( x )
f ( x)
Cette expression particulière est appelée la dérivée logarithmique de f.
11
L’intérêt de cette relation est de pouvoir calculer certaines primitives. Par exemple,
soit :
g ( x) 
x2
1  x3
On peut écrire :

x2
1 3x 2
1 f ( x )


g ( x) 
3
3
1
3
3 f ( x)

1 x
1 x
 g (t )dt  ln x 3  c

2

3

f
(
x
)

x


où c est une constante d’intégration.
Remarque : ne jamais oublier la valeur absolue.
5 Fonction exponentielle
Définition : la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction
logarithme.
Propriété fondamentale :
 x  ln(a )
 x  y  ln(a )  ln(b)  ln(ab)  exp( x  y )  exp(ln( ab))  ab  exp( x ) exp( y )

 y  ln(b)
Par définition : exp(1) =e
On déduit immédiatement que exp(n)=en pour n entier, et, de manière générale, on a, pour
tout x réel :
exp( x )  e x
Corollaire :
e ln(a )  a
 
exp( ab)  e ab  e a
b
6 Logarithme de base quelconque :
Soit b un réel positif, on peut écrire
 ln( x )

 ln( x )



ln( x ) 
ln(b )   b
  exp ln(b) 
x  exp(ln( x ))  exp ln(b)
ln(b) 


ln( b ) 
Par définition, on pose
logb ( x ) 
ln( x )
ln(b)
qui est le logarithme à base b de x.
12
7 Propriétés élémentaires de la fonction exponentielle
On montre assez aisément les propriétés suivantes, qui sont à connaître par cœur.
lim exp( x )  
x 
lim exp( x )  0
x 
 exp( x ) 
lim 
  
x 
xn 


lim x n exp( x )  0
x 
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ]  ,[
et est à valeurs dans
]0,[
Les courbes représentatives de l’exponentielle sont symétriques par rapport à la diagonale
principale, ainsi qu’on le voit sur la figure ci-dessous.
Exponentielle et logarithme (l’exponentielle est la courbe supérieure).
8 Valeurs approchées
Pour x petit, on a les relations :
ln(1  x )  x
exp( x )  1  x
13
9 Dérivation de la fonction exponentielle
L’exponentielle étant la fonction réciproque du logarithme, sa dérivée vient directement de
l’expression de la dérivée des fonctions composées.
lnexp( x )   x 
d
1
d
d
lnexp( x )   1 
exp( x )  exp( x )  exp( x )
dx
exp( x ) dx
dx
10 Application : désintégration radioactive, équations différentielles
Un ensemble de N atomes se désintègre. Pour un intervalle de temps dt aussi petit que l’on
veut, le nombre d’atomes se désintégrant est proportionnel à N et à dt. La variation dN du
nombre d’atomes est donc :
dN  Ndt
où σ est une constante qui dépend du corps étudié.
Par conséquent
dN
 N
dt
Dont une solution est N  N 0e t , où N0 est le nombre d’atomes initial.
Théorème : l’équation différentielle y’+ay=0, avec a constant, a pour solution y  y 0 e at où y0
est la valeur prise par y pour t=0.
14
Chapitre 3 Trigonométrie hyperbolique
La trigonométrie hyperbolique est analogue en bien des points à la trigonométrie usuelle.
Nous en verrons plus précisément le rapport dans le cours sur les nombres complexes.
1 Définitions
On définit respectivement le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par :
e x  ex
2
x
e  ex
sh( x ) 
2
sh( x ) e x  e  x
th( x ) 

ch ( x ) e x  e  x
ch ( x ) 
Les courbes représentatives sont données ci-dessous, paragraphe 2.
2 Propriétés fondamentales :
Propriété fondamentale :
ch 2 ( x)  sh 2 ( x)  1
Exercice : le démontrer

Les fonctions sont définies sur R tout entier.

A +∞ et à -∞, le cosinus hyperbolique se comporte comme

A +∞, le sinus hyperbolique se comporte comme

A -∞, le sinus hyperbolique se comporte comme 

La tangente hyperbolique admet deux valeurs asymptotiques à +∞ et
respectivement -1 et 1.

Pour x petit, on a les approximations :
ex
2
ex
2
ex
2
-∞, et qui sont
sinh( x )  tanh( x )  x
cosh( x )  1 
x2
2
Les dérivées s’obtiennent immédiatement en sachant dériver l’exponentielle :
15
d
ch ( x )  sh( x )
dx
d
sh( x )  ch ( x )
dx
d
ch 2 x  sh 2 x
1
th( x ) 
 2  1  th 2 x
dx
ch 2 x
ch x
Fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques (de gauche à droite).
3 Equations différentielles
Théorème : les fonctions sinus et cosinus hyperboliques sont solutions de l’équation
différentielle du second ordre :
d2 f
dx 2
 f ( x)
Corollaire : les fonctions sh(ωx) et ch(ωx) sont solutions de l’équation différentielle du
second ordre :
d2 f
dx 2
  2 f ( x)
4 Formules usuelles
Elles sont similaires à celles de la trigonométrie circulaire. Nous donnerons simplement les
quelques formules suivantes, à connaître par coeur :
ch (  x )  chx
sh(  x )   shx
ch ( x  y )  chxchy  shxshy
sh( x  y )  shxchy  chxshy
thx  thy
th( x  y ) 
1  thxthy
16
ch (2 x )  ch 2 x  sh 2 x  2ch 2 x  1
sh(2 x )  2shxchx
5 Fonctions réciproques
5.1 Argument cosinus hyperbolique
On considère l’équation où y est l’inconnue :
x  ch ( y ) 
e y  e y
2
Cette équation admet deux solutions opposées (voir l’allure de la courbe) si et seulement si
x≥1. Si x<1, elle n’admet pas de solutions. Pour x=1, il y a une seule solution.
On pose
Y  e y
 Y 2  2 xY  1  0
Y  x  x2 1
la solution correspondant à y>0 est alors :
Y  x  x2 1
 y  ln  x  x 2  1 


On définit donc :
arg ch ( x )  ln x  x 2  1


5.2 Argument sinus hyperbolique
De même, on considère l’équation :
x  sh( y ) 
e y  e y
2
Cette équation admet toujours une solution. Par le même raisonnement que précédemment,
on trouve :
y  ln x  x 2  1


On définit :
arg sh( x )  ln x  x 2  1


17
5.3 Argument cosinus hyperbolique
Enfin, l’équation x=th(y) admet une solution unique si et seulement si -1<x<1.
On trouve directement :
y
1 1  x 
ln
2 1  x 
On définit alors :
arg th( x ) 
1 1  x 
ln
2 1  x 
Exercice : le démontrer à partir de l’expression de la tangente hyperbolique
6 Dérivation des fonctions réciproques
La dérivation directe des formules données ci-dessus donne immédiatement :
d
arg ch ( x ) 
dx
1
x 1
1
2
d
arg sh( x ) 
dx
x2 1
1
d
arg th( x ) 
dx
1 x2
Exercice : le démontrer.
7 Paramétrisation d’une hyperbole
Nous admettrons ce résultat sans démonstration.
L’équation paramétrique
 x  ach 

 y  bsh
est l’équation d’une hyperbole.
On en déduit la forme implicite :
x2
a2

y2
b2
1
18
Chapitre 4 : Nombres complexes
Note importante : Conformément aux usages de la physique et notamment de l’électricité,
nous noterons « j » le nombre imaginaire pur, et pas « i » comme il est d’usage en
mathématiques.
1 Introduction
On trouve parfois (souvent) dans les ouvrages de terminale ou assimilé des expressions
sans justifications du type :
 Il existe un nombre dont le carré est -1
 Les nombres complexes sont essentiellement de la géométrie
Ces deux assertions sont totalement fausses ou stupides. En fait, on construit un ensemble
de nombres où les carrés peuvent être négatifs. Cet ensemble, C, est équivalent au plan,
muni d’opérations spéciales. Et les nombres complexes servent essentiellement à tout autre
chose que la géométrie.
2 Définition
On considère le plan. Le point M de coordonnées (x,y) représente par définition un nombre
complexe z. On dit que z est l’affixe de M.
A partir d’un point z1 de coordonnées (x1,y1) et d’un point z2 de coordonnées (x2, y2), on
construit z3 de coordonnées ( x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ) .
Cette opération s’appelle la multiplication complexe et est notée :
z3  z1 z2
On notera de façon générale :
z  x  jy
Propriété : les nombres complexes de partie imaginaire nulle correspondent de manière
biunivoque aux nombres réels. On les y assimilera donc.
Conséquence : Selon cette convention, le nombre complexe j2 ayant une partie imaginaire
nulle et une partie réelle égale à -1 sera donc considéré égal à -1.
3 Module et argument
Si l’on travaille en coordonnées polaires, les parties réelle et imaginaire du nombre complexe
z=x+jy peuvent s’écrire :
x  Re( z ) et y  Re( z )
 x   cos 
ou encore z   cos   j sin 

 y   sin
avec
  z  x 2  y 2 et   arg( z )
19
Les nombres  et θ sont respectivement le module et l’argument de z. le module de z se
note habituellement |z|.
Propriété : l’ensemble des nombres complexes de module 1 est le cercle unité.
4 Addition
La somme de deux nombres complexes s’obtient en ajoutant respectivement les parties
réelles et les parties imaginaires.
L’opposé d’un nombre complexe s’obtient en prenant l’opposé des parties réelle et
imaginaire.
5 Multiplication
( x  jy)( a  jb)  ax  by  j ay  bx 
Inverse d’un nombre complexe :
z  x  jy
1
1
x  jy


2
z x  jy
z
  1  Re( z )
 Re z  
2
z
  

Im  1    Im( z )
2
 z
z

Addition et multiplication sont commutatives.
Nombre complexe conjugué ;
Par définition, le nombre complexe z conjugué de z, est défini par :
z  x  jy  z  x  jy
On a immédiatement les propriétés suivantes :
____
z1 z 2  z1 z 2
zz  z
2
1
z
 2
z z
1/ j   j
20
5 Interprétations géométriques. Formule de Moivre
Propriété 1 : La multiplication par j correspond à une rotation d’angle π/2
Propriété 2 : La multiplication par un complexe de module 1 et d’argument θ correspond à
une rotation d’angle θ.
Formule de Moivre
La propriété 2 indiquée ci-dessus signifie que l’élévation à la puissance « n » d’un complexe
de module 1 correspond à une rotation d’angle n θ du point d’affixe 1.
Par conséquent (formule de Moivre) :
cos  j sin n  cos(n )  j sin(n )
Corollaire : Module et argument du produit et du rapport
1 cos1  j sin1  2 cos2  j sin2   12 cos(1  2 )  j sin(1  2 )
1 cos 1  j sin1  1
cos(1   2 )  j sin(1   2 )

2 cos  2  j sin 2  2
Application : ces formules permettent de trouver toutes les formules usuelles de la
trigonométrie.
Exercice : calculer cos(3 θ)
Module et argument de zn
L’application directe de la formule de Moivre donne immédiatement les deux relations :
zn  z
n
 
arg z n  n arg( z )

Exercice : Calculer 1  j 3

24
21
6 La fonction exponentielle complexe
Nous verrons dans le chapitre « développements limités » et, de manière générale, on
montre que l’on peut écrire, pour  réel :
cos   1 
sin   
2
2
3
3!


exp( )  1   
4
4!
5
5!
2
2

6

6!


3
3!
4

4!

5
5!

On observe sur ces trois développements une grande similitude.
Formellement, remplaçons  par le nombre imaginaire pur j  . On peut alors définir,
arbitrairement, la quantité :
exp( j )  1  j 
qui est égale à :
2
2
j
3
3!

4
4!
j
5
5!

cos( )  j sin( )
Nous avons ainsi défini, pour x réel :
exp( j )  e j  cos( )  j sin( )
La fonction exponentielle complexe peut donc être vue comme l’extension à tous le plan
complexe de la fonction exponentielle, compte tenu de ses relations avec les fonctions
trigonométriques circulaires.
Propriété : De manière évidente, on a
e j  1
Exercice : le démontrer
Propriété : Tout nombre complexe z de module  et d’argument θ peut s’écrire sous la forme
z  e j
Corollaire : Autre version de la formule de Moivre
z n   n e jn
22
7 Formules d’Euler
L’expression de l’exponentielle complexe permet d’obtenir les deux relations suivantes, dites
formules d’Euler, pour le sinus et le cosinus
e j  e  j
 ch ( j )
2
e j  e  j
e j  e  j
j sin 
 sh( j )  sin 
2
2j
cos  
Nous avons vu que la formule de Moivre permettait le calcul direct des fonctions
trigonométriques des angles multiples. De même, les formules d’Euler permettent de calculer
les puissances d’une fonction trigonométrique en fonction des multiples de l’angle. Plus
précisément, on déduit immédiatement des formules d’Euler, et en posant z0  e j
z0  z0
2
z  z0
z  z0
sin  0
j 0
2j
2
cos  
Par conséquent :
cos n  
sin n  
z 0  z0 n
1
n
2
( 1) n j n
2n
z0  z 0 n
Avec la propriété fondamentale :
z0 z0  1
Exemple d’application : On désire calculer une primitive de cos 3  . Pour cela
On applique la formule précédente, qui donne cos 3  en fonction des angles multiples :
z 0  z0 3  z 03  3z02 z0  3z0 z02  z 03  z 03  z03  3z0 z0 z0  z 0 
 z 0  z 0 3  2 cos( 3 )  3  2 cos( )
 cos 3  
cos( 3 )  3 cos( )
4
8 Racines nièmes d’un nombre complexe
Théorème : tout nombre complexe z admet n racines nièmes où n est un nombre entier
naturel
2
 
k
n
n

Si z  e j , alors tout nombre complexe de la forme z k   1 / n exp  j

n
 vérifie z k  z ,

pour k variant de 1 à n.
23
Définition : Les nombres zk sont appelés les racines nièmes du nombre z
Propriété : Le nombre 1 admet n racines nièmes, qui sont de la forme exp  j

 n
k
2 

n 
Exercice : Résoudre dans C l’équation z 4  8
9 Dérivation de l’exponentielle complexe
On vérifie directement
d jt
d  jt
e  j e jt et
e
 je  jt
dt
dt
D’où :
d2
dt
et
2
d2
dt 2
e jt  - 2 e jt
e  jt   2 e  jt
Par conséquent, e jt et e  jt sont des solutions fondamentales de l’équation
d2 f
dt
2
 - 2 f
 R
Application : impédance d’un circuit RLC
10 Equation du second degré.
Nous donnerons le résultat sans démonstration, celle-ci étant identique à celle vue au lycée.
Théorème : l’équation az 2  bz  c  0 avec a, b, c et z complexe admet deux solutions en z.
On les obtient ainsi :



Soit   b 2  4ac (discriminant)
Soit  une des deux racines carrées du discriminant (l’autre racine carrée étant, de
manière évidente, -).
Les deux solutions (éventuellement confondues) sont :
b  
z1 
2a
 b 
z2 
2a
24
Cas des équations à coefficients réels
On distingue seulement deux cas :
 Le discriminant est réel positif. On a les formules usuelles.
 Le discriminant est réel négatif. Dans ce cas,
z1 
b j 
2a
z2 
b j 
2a
25
Chapitre 5 : Polynômes
1 Définitions

Une fonction (réelle ou complexe) de la forme f(x)=axn où n est un entier et x la variable
est appelé monôme de degré n en x. On suppose a non nul.

Une somme de monômes est, par définition, un polynôme.

Le degré du polynôme est celui du monôme de degré le plus élevé.
Il est d’usage (et commode) d’ordonner les polynômes selon l’ordre croissant ou décroissant
des puissances de la variable
Notation : Pour des raisons de simplicité on écrit :
n
P( x )  a 0  a1 x  a 2 x 2    a n x n 
a x
i
i
i 0
2 Propriétés. Somme et produit.
Théorème : Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
Ceci peut sembler évident, aussi nous le réécrivons de manière moins évidente.
Théorème : Si deux fonctions polynomiales sont égales en tout point, alors les coefficients
des deux polynômes sont égaux.
Corollaire : Un polynôme est identiquement nul si et seulement si ses coefficients sont tous
nuls.
Théorème : Les coefficients de la somme de deux polynômes sont obtenus en faisant la
somme des coefficients de chaque polynôme. Le degré de la somme est le degré du
polynôme de degré maximum.
n
P( x )  Q ( x ) 

max( m,n )
m
pi x i 
i 0

( p
qi x i 
i 0
i
 qi ) x i
i 0
Théorème : Le produit de deux polynômes est un polynôme de degré égal à la somme des
degrés des deux polynômes. On obtient le produit par développement.
n
P( x )Q( x ) 

i 0
m
pi x i

i 0
n
qi x i 
m
 p q x
i
i 0
j 0
j
i j

p q x
i
i j
j
i, j
26
3 Division de deux polynômes
Division selon les puissances décroissantes
Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul.
On a le :
Théorème : il existe deux polynômes uniques Q et R, appelés quotient et reste, tels que
P1(x)=P2(x)Q(x)+R(x), et tels que deg(R)<deg(P2)
Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances décroissantes et
procéder à une division classique.
Exemple : diviser x5+3x3-3x-2 par x3+x+1.
Réponse : Q(x)=x2+1 et R(x)=-x2-4x-3
Division selon les puissances croissantes
Soient P1(x) et P2(x) deux polynômes quelconques, P2 étant supposé non identiquement nul.
Soit un entier r fixé. On a le :
Théorème : il existe deux polynômes uniques S et T, appelés également quotient et reste,
tels que P1(x)=P2(x)S(x)+xr+1T(x), et tels que deg(S)≤r
Procédure : Ecrire les polynômes de gauche à droite selon les puissances croissantes et
procéder à une division classique.
Exemple : diviser 2+x2 par 1-x+3x2 en s’arrêtant à l’ordre r=2.
Réponse : S(x)=2+2x-3x2 et x3 T(x)=-9x3+9x4
4 Allure à l’infini des polynômes réels.
Théorème : Un polynôme de variable réelle et à coefficients réels se comporte à l’infini
comme son monôme de plus haut degré.
Preuve : on met le terme de plus haut degré en facteur.
5 Zéros et multiplicité
Par définition, a est un zéro du polynôme P(x) si et seulement si P(a)=0.
Théorème : Si x0 est un zéro de P(x), il existe un nombre entier k strictement positif et un
k
polynôme Q(x) tels que P( x)  x  x0  Q( x) , avec Q( x0 )  0 .
Le nombre k, qui indique « combien de fois » x0 annule P, est appelé la multiplicité de x0.
27
Zéros du produit de deux polynômes : Ce sont l’ensemble des zéros de chacun des
polynômes.
Propriété : si x0 est un zéro commun à P et Q, et de multiplicité respective k1 et k2, alors x0
est zéros de PQ avec la multiplicité k1+k2.
Propriété : Si x0 est un zéro de P de multiplicité k alors il annule toutes les dérivées de P de
l’ordre 0 à l’ordre (k-1).
Preuve : On écrit P( x)  x  x0  Q( x) , où (x-x0) ne peut se mettre en facteur dans Q
k
6 Formule de Taylor
Soit
N
P( x ) 
a x
n
n
i 0
Par dérivations successives, on constate que :
 dn

 n! a n
 n P( x )
 dx
 x 0
Et par conséquent, tout polynôme de degré N peut s’écrire (formule de Taylor) :
1  dn
N
P( x ) 
 n!  dx
n 0
n

P( x ) x n
 x 0
7 Equations polynomiales
Théorème de d’Alembert: tout polynôme de variable et à coefficients complexe, de degré
N, admet N zéros, comptés avec leur ordre de multiplicité.
Soit P(z) de degré N, on peut écrire :
 x  x 
P( z )  A
k
i
ki
i
i
N
i
Remarque : le coefficient A est en fait le coefficient du terme de plus haut degré.
Autrement dit, une équation polynomiale de degré N admet toujour N solutions (attention :
comptées avec leur ordre de multiplicité), dans C.
Polynômes à coefficients réels
Théorème : Si un polynôme est à coefficients réels, le conjugué de tout zéro est un zéro.
Preuve : Si P est à coefficients réels, alors P ( z )  P( z ) .
28
Soit z0 un zéro, alors P( z0 )  0  0  P ( z0 )  P( z0 )
Corollaire : Un polynôme de degré 3 à coefficients réels a au moins un zéro réel.
Autre démonstration du corollaire : On suppose que le coefficient du terme de plu haut degré
est positif (s’il est négatif, le raisonnement reste semblable). Alors, la limite à plus l’infini du
polynôme P(x) est plus l’infini. Elle est moins l’infini quand x tends vers moins l’infini. Comme
la fonction polynôme est continue, sa valeur passe au moins une fois par zéro.
Polynômes symétriques
Définition : un polynôme symétrique de degré N et de coefficients ai est un polynôme qui
vérifie aN-i =ai .
Propriété :
Un polynôme symétrique de degré N pair s’écrit (Q est un polynôme à déterminer) :
1
P( x )  x N / 2 Q ( x  )
x
Un polynôme symétrique de degré N impair s’écrit :
1
P( x )  x ( N 1) / 2 ( x  1)Q( x  )
x
On voit apparaître naturellement le changement de variable :
X  x
1
x
Exemple : Résoudre x 4  2 x 3  2 x  1  0
On applique la première expression avec N=4:

2 1 

P( x )  x 4  2 x 3  2 x  1  x 2  x 2  2 x   2   x 2 X 2  X  2
x x 

1
X  x
x

On cherche les zéros du polynôme en X, et on obtient directement :
X 2  X  2   X  1 X  2
On résout ensuite indépendamment les deux équations:
X=1 et X=-2
Qui donnent respectivement deux familles de solutions en x:
1 j 3 1 j 3
,
et -1.
2
2
29
Chapitre 6 : Fractions rationnelles
1 Définition :
Si P1 ( x ) et P2 ( x) sont deux polynômes de degrés respectifs n et m, on définit la fraction
rationnelle :
F ( x) 
P1 ( x )
P2 ( x )
Son degré deg(F) est n-m (peut donc être négatif).
Si P1 et P2 ont des zéros (complexes) en commun, la fraction rationnelle se simplifie par les
termes communs (relatifs à ces zéros) qui se mettent en facteur dans chacun des
polynômes. Une fraction rationnelle qui «ne se simplifie pas » est dite irréductible.
2 Décomposition :
Si deg(F)0, on peut écrire
F ( x )  Q( x) 
R( x )
P2 ( x )
Q est le quotient de la division de P1 par P2 selon les puissances décroissantes. R en est le
reste. Le degré de Q est égal au degré de F. Le degré de la fraction rationnelle « reste » est
strictement inférieur au degré de F.
Pôles : Les zéros du dénominateur sont appelés pôles ou « singularités » de F.
Dans la décomposition F ( x )  Q( x ) 
R( x )
, le quotient Q est la partie dite « entière » de F
P2 ( x )
(on devrait dire polynômiale). La fraction rationnelle « reste » caractérise sa partie polaire.
Exemple :
F ( x) 
x4  x 1
x4  x 1
7 x 2  5x  1
 3

x

3

x( x  1)( x  2) x  3x 2  2 x
x 3  3x 2  2 x
Les pôles sont donc 0, 1 et 2, et ont pour multiplicité 1
Théorème pour les fractions rationnelles complexes: La fraction rationnelle « reste »
R( x )
est égale à la somme de termes appelés « éléments simples de première espèce» de
P2 ( x )
la manière suivante. Chaque pôle xi, de multiplicité k, donne une contribution :
Ei 
Aik
x  xi 
k

Ai1
x  xi 
30
telle que:
R( x )
 E1 ( x )   E h ( x )
P2 ( x )
où h est le nombre de pôles (sans compter l’ordre de multiplicité).
Autrement dit :
A1k
F ( x )  Q( x )  E1 ( x )   E h ( x )  Q( x ) 

x  x1 
k
A11
x  x1 
Ahk

x  x h 
k

Ah1
x  x h 
Intérêt : simplifier la fraction au maximum. Permettre le calcul d’intégrales.
Théorème pour les fractions rationnelles à coefficients réels: On reprend la
décomposition précédente. Les coefficients étants réels, à tout pôle non-réel correspond son
conjugué. Décomposons chaque pôle xi en partie réelle et imaginaire xi    j
Si k est la multiplicité du pôle non-réel, il donne une contribution :
Ei 
M ik x  N ik
( x   )
2


2 k

M i1 x  N i1
( x   )
2
2

3 Exemples:
On montre sur le premier exemple que (0, 1 et 2 étant de multiplicité 1), que
7 x 2  5x  1
x  3x  2 x
3
2

1
3
19


2 x x  1 2( x  2)
et donc que:
F ( x) 
x4  x 1
7 x 2  5x  1
1
3
19
 x  3 3
 x3


2
x( x  1)( x  2)
2 x x  1 2( x  2)
x  3x  2 x
De la même manière, on a :
x4 1
x
2

1
3

1
4x  13

1
8x  12

3
8x  1

1
4x  13

1
8x  12

3
8x  1
les pôles étant 1 et -1, de multiplicité 3.
De même, on a :
x2 1
( x  1) ( x  x  1)
2
2
2

1
( x  x  1)
2
2

2x  2
x  x 1
2

2
( x  1)
2

2
x 1
On voit ici les termes de seconde espèce, provenant du fait que x 2  x  1 n’a pas de zéros
réels.
31
4 Exemples et méthodes
Nous donnons quelques méthodes de base, mais sans être exhaustifs.
4.1 Fractions rationnelles sur C ou réelles avec pôles réels
Dans ce cas on a décomposition en éléments simples uniquement.
P(x)=N(x)/D(x)
4.1.1 On divise N par D pour obtenir la partie entière
4.1.2 On cherche les zéros du dénominateur (les pôles) et leur multiplicité, comme on peut.
Dans les problèmes,


soit l’on a
évident
o
o
o
o
D(x) assez simple. Ex : polynôme de degré 3 D(x)=ax3+bx2+cx+d avec un zéro
on trouve x0 « évident »
on écrit D(x)=(z-x0)(Ax2+Bx+C)
on trouve A, B et C par division
On résoud Ax2+Bx+C=0
soit l’on donne D(x) tout factorisé.
4.1.3 On écrit que la partie polaire P(x)=R(x)/D(x) de la fraction rationnelle est somme
d’éléments simples.
4.1.3.1 Pour tout pôle x0 de multiplicité k, on a un terme A/(x-x0)k
On sait également que P(x)=R(x)/(x-x0)kE(x)
On trouve A en multipliant P par (x-x0)k et en faisant x=x0. Soit : A=R(x0)/E(x0)
4.1.3.2 Pour les termes de degré inférieur, on fait comme on peut, selon la fraction
rationnelle.
Pour les dénominateurs de degré 3 on a 3 cas :



3 pôles distincts : on applique 1.3.1 à chaque pôle
1 pôle triple : on procède par divisions successives (cf exo no 2)
1 pôle double et un simple : on applique 1.3.1 pour le pôle simple et le terme de degré 2
du pôle double. On donne alors une valeur quelconque à x et on trouve le terme
manquant.
4.1.3.3 : Remarque importante : quand on a un seul pôle mais de multiplicité quelconque, on
procède par divisions successives (cf exo no 2) du numérateur par (x-x0) où x0 est le pôle.
On fait cela k fois, k étant la multiplicité.
Exemple général :
F( x ) :=
x4x1
x34 x25 x2
32
Pôles


On cherche un zéro évident du dénominateur : 1 l’est.
3
2
On écrit : x 4 x 5 x2 sous la forme (x-1)(ax2 + bx +c)

On trouve a=1,b=-3,c=2

Les zéros de x2 -3x+2 sont 1 et 2

Donc 1 est pôle de multiplicité 2 et 2 est pôle de multiplicité 1
Partie entière
On divise le numérateur N(x) par le dénominateur D(x)
N(x)=Q(x)D(x)+R(x)
2
On trouve Q(x)=x+4 et R(x)= 917 x11 x
La partie « polaire » est donc R(x)/D(x)
P( x ) :=
917 x11 x2
( x1 ) 2 ( x2 )
et F(x)=x+4+
917 x11 x2
( x1 ) 2 ( x2 )
On décompose P(x)
P(x)=A/(x-1)2 +B/(x-1)+C/(x-2)
On trouve A en mutipliant P par (x-1)2 et en faisant x=1 dans le résultat obtenu. Autrement
dit :
A=R(1)/(1-2)=-3
De même
C=R(2)/(1-2)2 = 19
On trouve C en faisant x quelconque (-1 par exemple) et en disant que
P(-1)=-37/12=-3/(-1-1)2 +19/(-1-2) +C/(-1-1)
-37/12+3/4+19/3=-C/2
d’où C=-8
Au final :
x4x1
F( x ) := 3
= x+4 - 3/(x-1)2 -8/(x-1) +19/(x-2)
x 4 x25 x2
33
4.2 Fractions rationnelles sur R ou avec pôles conjugués complexes
On suppose que l’on sait traiter les éléments simples de première espèce qui ont pu
apparaître dans le dénominateur (voir paragraphe 1).
Nous nous cantonnerons à un exemple :
Décomposer :
2 x 5  3x 2  1
( x 2  x  1) 3
dont le dénominateur ne se factorise pas dans R.
Il y a bien deux pôles conjugués de multiplicité 3.


On divise le numérateur par x 2  x  1
2 x 5  3x 2  1  ( x 2  x  1)( 2 x 3  2 x 2  5)  (5x  6)
d’où l’obtention d’un premier élément simple (celui de droite), de seconde espèce:
2 x 5  3x 2  1
( x  x  1)
2

3

2x3  2x 2  5
( x  x  1)
2
2

 5x  6
( x  x  1) 3
2
On recommence avec la fraction qui n’est pas « terminée ». On divise 2 x 3  2 x 2  5 par
x2  x 1
2 x 3  2 x 2  5  ( x 2  x  1)( 2 x  4)  2 x  9
D’où
2x3  2x 2  5
( x  x  1)
2

2

2x  4
x  x 1
2

2x  9
( x  x  1) 2
2
Et finalement :
2 x 5  3x 2  1
( x 2  x  1) 3

 5x  6
2x  4
( x 2  x  1) 3 x 2  x  1

2x  9
( x 2  x  1) 2
Exercices :
F( x ) :=
x43 x2
x36 x211 x6
F( x ) :=
x43 x2
x36 x212 x8
F( x ) :=
x43 x2
x32 x2x
34
Réponses
Exercice no1
F(x)= x6
F( x ) := x6
3857 x25 x2
x36 x211 x6
3
24
46


x1 x2 x3
Exercice no2 : on trouve que 2 est pôle triple
x6
5061 x24 x2
x36 x212 x8
On divise le numérateur qui reste par (x-2)
5061 x24 x2 = (x-2)( 24 x13 )+24
donc
5061 x24 x2
24 x13
24


3
2
2
x 6 x 12 x8
( x2 )
( x2 ) 3
on divise ce qui reste (24x-13) par x-2
24x-13=24(x-2)+35
D’où
5061 x24 x2
24
35
24



3
2
2
x 6 x 12 x8 x2 ( x2 )
( x2 ) 3
Exercice no3 : 0 est pôle simple, 1 est pôle double
La fraction est égale à
x2
2x3 x2
x32 x2x
2x3 x2 2
6
1
 

3
2
2
x1
x 2 x x x ( x1 )
(on multiplie par x et on fait x=0, idem par (x-1)2 avec x=1, et enfin on prend une valeur de x
pour trouver le terme manquant).
35
Chapitre 7 Continuité, dérivation, différentielles
1 Notions générales
Une fonction numérique f réelle de variable réelle associe un nombre x un autre nombre noté
f(x).
L’ensemble des réels où f est définie est appelé ensemble de définition.
L’ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) est appelé le graphe de f, ou encore la
courbe représentative de f.
Une fonction peut être continue ou non, selon que sa courbe représentative l’est ou non.
Exemples :




f(x)=1/x est discontinue en 0 car non définie.
La courbe qui à x associe 0 pour x<0 et 1 sinon est définie partout et non continue en 0.
Les fonctions polynômiales sont continues
La fonction sin(x)/x est non définie en 0. On peut néanmoins la prolonger par continuité
en lui donnant la valeur 1 en zéro.
Les propriétés élémentaires comme la dérivabilité imposent la continuité (en un point donné).
Limites :
Nous donnons quelques exemples de définition. Le lecteur reconstruira les cas manquants.

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers x0 (ou « en x0 ») si pour tout 
positif, on peut trouver η tel que f ( x)  L   si x  x0  
lim f ( x)  L  f ( x)  L   si x  x0  
x  x0
En langage courant, L est la limite de f si l’on peut rendre f(x) aussi proche de L que l’on veut
à la seule condition que x soit assez proche de x0.
De même :

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout  positif, on peut
trouver X tel que f ( x)  L   si x  X

On dit que L (réel) est la limite de f quand x tend vers -∞ si pour tout  positif, on peut
trouver X tel que f ( x)  L   si x  X
Limites infinies.

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel
que f ( x)  A si x  x0  

On dit que -∞est la limite de f quand x tend vers x0 si pour tout A, on peut trouver η tel
que f ( x)  A si x  x0  

On dit que +∞est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout A, on peut trouver X tel
que f ( x)  A si x  X
36

On dit que -∞est la limite de f quand x tend vers +∞ si pour tout A, on peut trouver X tel
que f ( x)  A si x  X
Théorème : Quand la limite existe, elle est unique.
Théorème : Quand une fonction admet une limite finie en un point ou elle est définie, elle y
est continue. Si elle n’y est pas définie, on peut la définir en ce point en la prolongeant par
continuité (exemple déjà donné : sin(x)/x en zéro).
Exercices :
 donner des exemples où la limite n’existe pas
 donner un exemple de fonction discontinue partout
Théorème : Si localement (dans un voisinage de x0, ce dernier n’étant pas forcément fini) on
a f(x)g(x), alors on a la même propriété quant aux limites, si elles existent.
Théorème : Si localement (dans un voisinage de x0, ce dernier n’étant pas forcément fini) on
a f(x)U(x)g(x), alors on a la même propriété quant aux limites, si elles existent.
2 Nombre dérivé
Définition :
Soit
x0
un
nombre
réel
et
une
fonction
définie
en
x0.
Si
f ( x0  x )  f ( x0 )
L  lim
existe et est un nombre réel, on dit que f est dérivable en x0 et
x  0
x
 df 

y a pour nombre dérivé L. On note ce nombre f’(x0) ou, plus rigoureusement 
 dx  x  x 0
Cette notation provient de la définition :
df
f
 lim
dx x0 x
La fonction qui associe à x le nombre dérivé de f en x est la fonction dérivée de f par rapport
à x.
Théorème : La dérivée en un point est la pente de la courbe en ce point.
Propriétés :
Propriété 1: Une fonction dérivable en un point y est continue
Propriété 2 : Une fonction impaire a pour dérivée une fonction paire et vice-versa.
Exercice : le montrer sur des exemples
37
Théorème : Pour admettre un extremum local, il est nécessaire que la dérivée s’annule. Si
La dérivée s’annule et change de signe, alors on a un extremum local.
Concavité et point d’inflexion

Si la dérivée seconde sur un intervalle est positive, alors la fonction y est dite convexe.
Localement, la fonction ressemble à une parabole dont les branches vont vers le haut.

Si la dérivée seconde sur un intervalle est négative, alors la fonction y est dite concave.
Localement, la fonction ressemble à une parabole dont les branches vont vers le haut.

Si la dérivée seconde est nulle en un point et change de signe, on a un point d’inflexion.
3 Dérivation des fonctions composées
Soit
F ( x)  f ( g ( x))  f  g ( x)
On a :
dF dg  df 
 dF 
 dg 





 
 dx  x  x0 dg dx  dX  X  g ( x0 )  dx  x  x0
On obtient la dérivée de la composée en faisant le produit des dérivées (prises au bon
endroit).
Application : dérivation de la fonction réciproque
Soit F une fonction. S’il est possible, pour y donné, de trouver une et une seule valeur de x
telle que y=F(x), autrement dit si l’équation y=F(x) admet une solution unique,alors
l’expression de x en fonction de y définit une fonction appelée réciproque de F.
1
y  F ( x)  x  F ( y )
Nous ne mettons pas de signe équivalence, seulement une double flèche, car la réciproque
n’existe que sous conditions.
Exemple (pour b non nul):
F ( x )  a  xb
y  a  xb  x 
1
ya
ya
 F ( y) 
b
b
Dans certains cas, on n’a pas unicité de la solution de y=F(x), mais on peut décider de qui
est la fonction réciproque. Par exem[ le, la réciproque de la fonction « carré » peut être
choisie comme étant la fonction « racine carrée », mais on peut décider de prendre la
fonction « moins racine carrée ». Il n’y a au sens strict pas de fonction réciproque dans ce
cas.
38
1
Soit F la fonction réciproque de F. Par définition, on a :
1
x  F F ( x )
On a par conséquent, compte tenu du résultat de la dérivation des fonctions composées :
1
d F F ( x ) 1
dx
 FF 
1
dx
dx
En prenant les fonctions, encore une fois, « au bon endroit » :

 1 
1
 F  
 1 
 
F  F 
 
Exemples : calculer la dérivée de Arcos(x)
4 Différentielle d’une fonction
Différentielle d’une fonction d’une variable réelle
La définition du nombre dérivé donne une approximation locale de la fonction. Localement, si
la courbe de f est assez régulière, on imagine assez bien que l’on puisse l’approcher par un
polynôme. Plus précisément, on montre, et l’admettrons, que l’on peut écrire, dans le cas où
la fonction est dérivable et x assez petit :
f ( x  x )  f ( x )  f ( x )x  a ( x ) 2  ...
f  f ( x )x  a ( x ) 2  ...
où a est un nombre a priori inconnu.
La variation de f comporte donc une partie linéaire proportionnelle à f’(x) et à la variation de
x. On traduit cette dernière phrase par :
df  f ( x)dx
Définition : df est appelée différentielle de f (à ne surtout pas confondre avec la dérivée).
Différentielle d’une fonction de deux (ou plusieurs) variables :
Soit, pour simplifier, une fonction de deux variables f(x,y). De la même manière que
précédemment, on considère la partir linéaire de la variation de f :
f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  ax  by  termes en (x) 2 , xy, ( y ) 2  etc...
Définition : la partie linéaire de la variation de f est appelée sa différentielle.
39
Théorème : les coefficients a et b de la formule précédente sont les dérivées partielles de f
par rapport à x et y. On note :
df 
f
f
dx 
dy
x
y
Exercices :
 Résoudre xdx  ydy  0
 Résoudre xdx  3 ydy  0
Différentielle logarithmique

Si f ( x)  u( x)v( x) alors :
df du dv


f
u
v

Si f ( x ) 
u( x )
alors :
v( x )
df du dv


f
u
v

Si f ( x)  u( x) a v( x) b alors :
df
du
dv
a
b
f
u
v
5 Théorème de Rolle et formule des accroissements finis
Théorème de Rolle : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b]. Si f(a)=f(b) alors il
existe c  [a, b] tel que la dérivée de f en c soit nulle (f’(c)=0).
Formule des accroissements finis : Soit f une fonction dérivable sur [a,b]. Il existe c  [a, b]
tel que f (c) 
f ( b)  f ( a )
ba
Exercice : le démontrer à partir du théorème de Rolle.
Variante : Il s’agit d’une reformulation de la formule précédente.
Soit f une fonction dérivable sur [x,x+h], alors il existe θ compris entre 0 et 1 tel que
f ( x  h)  f ( x)  hf ( x  h)
40
6 Règle de l’Hospital
Théorème : Soient f et g deux fonctions continues dérivables au voisinage de a et s’y
annulant. On a alors :
 f ( x) 
 f ( x ) 
  lim 

lim 
x a  g ( x ) 
x a  g ( x ) 

7 Formule de Taylor-Mac Laurin
Il s’agit en fait de la généralisation de la formule des accroissements finis.
Théorème : Soit une fonction f définie sur [a,b] et dérivable n fois. Il existe un nombre c
appartenant à [a,b] tel que (formule de Taylor):
f (b)  f (a ) 
f (a )
f (a )
f ( n ) (a )
f ( n 1) (c)
(b  a ) 
(b  a ) 2   
(b  a ) n 
(b  a ) n 1
1!
2!
n!
(n  1)!
Formule de Mac Laurin : Il s’agit de la formule de Taylor dans le cas a=0.
f (b)  f (0) 
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n f ( n 1) (c) n 1
b
b 
b 
b
1!
2!
n!
(n  1)!
Démonstration : On se cantonne à la formule de Mac-Laurin, qui n’est jamais qu’une version
translatée de la formule de Taylor.
Soit :

f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n 
R( x )  f ( x )   f (0) 
x
x 
x 
1!
2!
n!


On déduit :
d n R( x )
dx n
 f ( n ) ( x )  f ( n ) (0)
On applique la formule des accroissements finis à la dérivée nième de f. Il existe c tel que :
f ( n ) ( x)  f ( n ) (0)  xf
( n 1)
( c)
Par conséquent :
d n R( x )
dx n
 xf
( n 1)
(c)
Par conséquent, par n intégrations successives, on obtient la formule de Mac-Laurin
41
Chapitre 8 : Développements limités
L’objectif des développements limités est de donner une approximation polynômiale d’un
fonction au voisinage d’un point, c'est-à-dire dans un petit intervalle autour de ce point. La
précision de l’approximation dépend des cas, et l’on devra vérifier à chaque fois que l’on est
dans les bonnes conditions d’utilisation.
1 Formule de Taylor avec reste de Young
Si l’on peut développer une fonction f au voisinage d’un point sous la forme
f (b)  f (a ) 
f (a )
f (a )
f ( n ) (a )
(b  a ) 
(b  a ) 2   
(b  a ) n   (b  a ) n
1!
2!
n!
avec
lim   0
ba
on dit alors que l’on a développé f à l’ordre n avec le reste de Young  (b  a ) n
Le développement limité de f à l’ordre n est donc :
f (a ) 
f (a )
f (a )
f ( n ) (a )
(b  a ) 
(b  a ) 2   
(b  a ) n
1!
2!
n!
Exercice : développer la fonction cosinus au voisinage de 0, à l’ordre 4.
Exercice : développer 1  x au voisinage de 0, à l’ordre 2.
Remarque : le développement n’existe pas toujours, comme par exemple celui de la racine
carrée au voisinage de l’origine (la fonction n’y est pas dérivable).
La figure ci-dessous représente 1  x et ses développements à l’ordre 2, 4 et 8. On voit que
l’approximation est bonne dans un certain domaine, mais qu’au-delà, la situation devient très
mauvaise. Le développement à l’ordre 8 est le plus précis localement, mais aussi celui qui
diverge le plus rapidement.
1 x
Ordre 2
Ordre 4
Ordre 8
42
2 Propriétés
Si l’on considère maintenant plusieurs fonctions, on peut considérer le développement limité
de leurs somme, produit etc. Il est important de noter que l’ordre doit être préservé :
 Si l’on travaille à l’ordre n, les développements utilisés au départ doivent tous être à
l’ordre n.
 Les développements intermédiaires et finaux ne peuvent dépasser l’ordre n, et par
conséquent on ne considérera pas les termes de degré supérieur (ceci revient, du point
de vue de l’approximation, à les considérer comme négligeables).
On a les propriétés suivantes :






Le développement limité (DL) de la somme de deux fonctions est la somme des
développements limités. Ils doivent être de même ordre.
Le développement limité du produit à l’ordre n de deux fonctions est le produit des
développements limités, en se limitant aux termes de degré inférieur ou égal à n. Les
développements limités de départ doivent être d’ordre n.
Le développement limité du quotient à l’ordre n de deux fonctions est obtenu par le
quotient des développements limités, en divisant les développements selon les
puissances croissantes.
Le développement limité à l’ordre n de g(f(x)) (composition) est obtenu en remplaçant le
DL à l’ordre n de f dans celui de g, et en ne conservant que les termes de degré inférieur
ou égal à n.
Si la fonction est dérivable, le DL à l’ordre (n-1) de la dérivée est obtenu en dérivant le
DL à l’ordre n de la fonction.
Si la fonction est intégrable localement, le DL à l’ordre (n+1) de la primitive est obtenu en
intégrant le DL à l’ordre n de la fonction.
3 Un exemple utile
On peut connaître le DL de 1/(1+x) par application de la formule de Taylor. Nous pouvons
l’obtenir d’une autre façon.
1 x  x2  xn 
1  x n 1
1 x
Par conséquent, pour x assez petit:
1
 1 x  x2  xn
1 x
Par conséquent, on a également :
1
 1  x  x 2  x 3    ( 1) n x n
1 x
Par intégration, on a immédiatement :
ln(1  x )  x 
x2 x3
x n 1

   ( 1) n
2
3
n 1
La même formule du développement de 1/(1+x) donne, en remplaçant x par x2 :
43
1
1 x2
 1  x 2  x 4  x 6    ( 1) n x 2n
Et par intégration :
arctan( x )  x 
Remarque :

De la relation
4
x3 x5
x 2n 1

   ( 1) n
3
5
2n  1
 arctan( 1) , on déduit que (en fait, c’est un peu plus compliqué, il faut montrer
que le reste tend vers zéro quand le degré du développement augmente):

4
 1
1 1 1
  
3 5 7
5 Développement limité au voisinage de l’infini
On parle du développement au voisinage de l’infini quand la variable x peut être
arbitrairement grande. Dans ce cas, la variable X=1/x est arbitrairement petite. Faire un
développement à l’infini en x revient donc à faire un développement en zéro en X=1/x.
Exemple : Développement à l’ordre 3
7
1
3

1    7

x  17  3 x 7 
1 1  X 7  3 X 7
1
1
x
x
f ( x) 


 (1 + 7X + 6X 2 ) 
 7  6X 2
3
6
3
3
2
2
X
X
X
x
5


x 5
1  5X
1  2 
x 

6
f ( x)  x  7 
x




On voit par exemple tout de suite que la droite y=x+7 est asymptote. De manière générale,
on voit le comportement de f pour x grand : la courbe est asymptote à une droite et s’en
rapproche selon une courbe en 1/x, par valeurs supérieures. Le développement correspond
à la courbe initialement au dessous.
44
Chapitre 9 : Intégration – Intégrales généralisées
1 Fonctions en escalier. Intégration
Définition 1: Une fonction f définie de manière constante sur des intervalles (finis ou non)
est dite fonction en escalier.
Exemple de fonction en escalier
Définition 2 : Soit f une fonction en escalier définie sur [a,b], a et b étant réels, l’aire I
(algébrique, c'est-à-dire) comprise entre la courbe représentative de f est l’axe horizontal est
appelée intégrale de Riemann de f entre a et b et se note.
b
I
 f ( x)dx
a
45
Remarque : I a un signe. Les surfaces sont comptées positivement quand elles sont au
dessus de l’axe et négativement en dessous.
Remarque : le signe « x » dans l’intégrale est une variable dite muette. Autrement dit :
b

a
b
f ( x )dx 

b
f (t )dt 
a
f
a
2 Intégration des fonctions continues par morceaux
Théorème : Une fonction continue par morceaux sur [a, b] peut être approchée en valeurs
aussi précisément que l’on veut par une fonction en escalier. En langage plus mathématique,
une fonction continue par morceaux est limite uniforme d’une suite de fonctions en escaliers.
  0, sn en escalier, f ( x)  sn ( x)   , x  [a, b]
Nota : Il s’agit d’une limite en valeurs et pas, par exemple, en dérivée.
On peut considérer ainsi une suite sn de fonctions en escaliers qui convergent vers f. Dans
ce cas, si la limite de la suite des intégrales des termes sn existe, alors f est dite intégrable et
on définit :
b

a
b

f ( x )dx  lim sn ( x )dx
n 
a
Interprétation : l’intégrale ainsi définie permet de définir l’aire algébrique comprise entre une
courbe et l’axe des abscisses.
Approximation par des fonctions en escalier
3 Propriétés générales

La surface sous un point est nulle, autrement dit :
46
a
 f ( x)dx  0
a

Relation de Chasles
b

c
f ( x )dx 
a


c
f ( x )dx 
b
a
Corollaire :
b

a

f ( x )dx   f ( x )dx
a

 f (t )dt
b
Linéarité. Si α et β sont deux réels quelconques, et f deux fonction intégrables
b
b
b
quelconques, alors : f ( x )  g ( x )dx   f ( x )dx   g ( x )dx



a
a
a
En particulier, l’intégrale de la somme de deux fonctions est égale à la somme des intégrales
des fonctions. L’intégrale d’une fonction multipliée par une constante est égale à l’intégrale
multipliée par la constante.
Exemple particulier : Si la fonction f est constante égale à A sur l’intervalle [a,b], la
définition de l’intégrale, sous forme de surface, conduit immédiatement à :
b
 Adx  A(b  a)
a

Si f(x)<g(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [a,b], alors :
b

b

f ( x )dx  g ( x )dx
a
a
 Inégalité triangulaire
On sait que, pour tout couple de nombres réels A et B, on a :
A B  A  B
Et par conséquent, en appliquant les propriétés précédentes, il vient :
b

a
b
f ( x )  g ( x ) dx 

a
b
f ( x ) dx 
 g( x) dx
a
4 Primitives et intégrales
Définition : Une fonction F(x) dont la dérivée par rapport à x est f(x) est appelée primitive de
f.
Propriété : la fonction nulle admet pour primitives toutes les fonctions constantes.
Théorème : Si F et G sont deux primitives de f, alors elles diffèrent seulement par une
constante.
Exercice : le démontrer à partir de la dérivée de F-G.
47
x
Théorème : La fonction F définie par F ( x ) 
 f (t )dt est une primitive de f.
a
x h
 f (t )dt .
Démonstration (explication): On considère F ( x  h)  F ( x ) 
Ceci est la surface
x
comprise sous la courbe, entre x et x+h. Pour h assez petit, ceci correspond à la surface du
trapèze défini par les points (x,0), (x,f(x)),(x+h,0) et (x+h, f(x+h)). L’aire A de ce trapèze vaut :
A
f ( x  h)  f ( x)
h  f ( x )h pour h assez petit. Donc :
2
x h
 f (t )dt  f ( x)h
x
F ( x  h)  F ( x)
 f ( x)
h 0
h
lim
Ce qui signifie bien que f est la dérivée de F.
Corollaire : Si F est une primitive quelconque de f, donc est définie à une constante près, on
a:
b
 f (t )dt  F (b)  F (a)
a
4.1 Intégration par parties
Cette formule usuelle vient de la dérivée du produit de deux fonctions
b
b
(uv )   u v  uv   u(t )v (t )dt  u(t )v(t )ba  u (t )v(t )dt


a
a
4.2 Changement de variable
Changer la variable d’intégration est parfois un bon moyen de calculer une intégrale. Il est
basé sur la propriété suivante :
  g (b)
t b

f ( g (t )) g (t )dt 
 f ( )d
 g (a)
t a
b

Exemple : calculer I  t 1  t 2 dt
a
On pose x  t d’où l’on déduit :
2
t
dt 
x
1

2 x
t 1  t 2 dt 
b

a
1
t 1  t dt 
2
2
x b2

x a 2
1  x dx 

1
2t
1
1  x dx
2
12
1  x 3 / 2
23

b2
a2


1
(1  b 2 ) 3 / 2  (1  a 2 ) 3 / 2
3

48
On voit sur cet exemple comment procéder :
 On trouve la nouvelle variable en fonction de l’amcienne
 On exprime l’ancienne en fonction de la nouvelle
 On prend la différentielle
 On remplace
4.3 Valeur moyenne d’une fonction
Définition : La valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a,b] est
f 
1
ba
b
 f (t )dt
a
Exemple : la valeur moyenne du carré de la fonction sinus (ou cosinus) sur une période vaut
½. Calculer par exemple la valeur moyenne de cos2(ωt) sur une période.
Application et exercice : On applique une tension sinusoïdale de valeur crête V0 aux bornes
d’une résistance R. Quelle est la valeur de la tension Veff continue qui, placée aux bornes de
R, dissiperait en moyenne la même puissance Joule ?
Réponse : Veff 
V0
2
. La tension Veff est appelée tension efficace (pour une tension
sinusoïdale).
5 Longueur d’un arc de courbe
Il s’agit d’une application parmi d’autres. On considère une courbe (figure cidessous). On suppose des accroissement petits de x et de y=f(x), on on travaille
directement avec des différentielles.
ds
dy
dx
La longueur élémentaire de l’arc de courbe est donné par le théorème de Pythagore,
car si l’on suppose dy et dy assez petits, la courbe se confond localement avec sa
tangente.
49
dy  df  f ( x 0dx
( ds ) 2  ( dx ) 2  ( dy ) 2
2
 dy 
ds  ( dx ) 2  ( dy ) 2  1    dx  1  f 2 ( x ) dx
 dx 
par conséquent, la longueur d’un arc de courbe entre x=a et x=b est donné par :
b
L

1  f  2 ( x ) dx
a
Exemple : Périmètre d’un cercle de rayon R
On se cantonne à celui du demi cercle supérieur.On part de l’équation du demi cercle
supérieur et on applique ce qui vient d’être vu.
y  R2  x2
dy
x

dx
R2  x2
2
R2
 dy 
1   
 dx 
R x
2
2

R
R  x2
2
Et par conséquent :
R
L

R
R
R x
2
R
2
dx 

R
1
1
x2
dx
R2
Il reste à faire un changement de variable. On pose :
x
t
R
x  Rt
dx  Rdt
1
L

1
R
1
dt
1 t
2
R

1
dt
1 t
2
 Rarcsin( t )11  R
On a obtenu le périmètre du demi cercle.
5 Estimation numérique d’une intégrale
Nous n’avons pas donné, pour les dérivées, de méthode de calcul numérique car il s’agit
alors d’une opération délicate. Par contre, l’ intégration est une opération plus aisée.
Nous nous limiterons à la méthode des trapèzes, mais il en existe bien d’autres, comme la
méthode de Simpson (une amélioration de celle des trapèzes) ou de plus sophistiquées
comme les méthodes de quadrature.
On discrétise l’axe des x en ne considérant que des valeurs discrètes xi.
On pose hi=(xi+1-xi) et fi=f(xi)
L’aire du trapèze ainsi défini vaut
50
f i  f i 1
hi
2
Ai 
et l’aire sous la courbe entre x0 et xN est approchée par (pour h assez petit) :
A
xN
N
x0
i 0
 f ( x)dx  
f i  f i 1
hi
2
En particulier, si le pas est constant égal à h :
N
Ah

i 0
f i  f i 1
f
 f

 h 0  f1  f 2    f N 1  N 1 
2
2 
 2
Exemple : Estimer l’intégrale de f(x)=x2 entre 0 et 3 par la méthode des trapèzes, avec un
pas h=1. Comparer à la vraie valeur. Expliquer pourquoi la valeur estimée est un peu trop
grande.
6 Intégrales généralisées
Il s’agit d’intégrales sur un domaine allant jusqu’à l’infini ou jusqu’à une borne où la fonction
à intégrer n’est pas définie.
1
Exemples : Nous allons considérer

0

dx
et
x
x
dx
2
1
La première intégrale pose un problème en zéro, la seconde à l’infini.
Nous constatons que :
1
lim
 0

 


1
 lim 2 x    lim 2(1    2
  0
x  0
dx
On définit donc
1

dx
x
0
1
 lim
 0

dx1
x
De la même manière :


1
X
dx
dx
1

lim
 lim 1    1
2 X 
2
X


X
x
x

1

6.1 Définitions
Définition : Compte tenu des exemples précédents, si une fonction présente une singularité
(asymptote, valeur non définie) en A, ou si A est une borne infinie, on dit que l’intégrale
A
 f ( x)dx
X
est convergente si lim
a
X A
 f ( x)dx existe. On suppose ici que la fonction f est bien
a
définie en « a ».
51
Cas de deux singularités : Supposons toujours f bien définie en a. Si A et B sont soit infinis,
soit des singularités de f, on peut définir, si les limites existent :
B

a
f ( x )dx  lim
X A
A



X
f ( x )dx  lim
X B
 f ( x)dx
X
a
La propriété doit être indépendante du choix de a.
La propriété « physique » à vérifier, de manière générale, est que l’aire comprise sous la
courbe soit une quantité finie.

Exercices : que valent

1
dx
et
x

e
x
dx ?
1
6.2 Convergence absolue.
B
B
Théorème : Si l’intégrale
 f ( x) dx
converge, alors
 f ( x)dx
aussi. On dit que l’intégrale est
A
A
absolument convergente.
Application :
Théorème : Une intégrale généralisée est convergente à l’infini si la valeur absolue de la
fonction est majorée par x-s avec s>1, réel, pour x assez grand.

Preuve : Cherchons à calculer
 f ( x)dx , avec les hypothèse précédentes.
a
X

Il existe X tel que f ( x)  x  s pour x>X et
 f ( x) dx est définie
a
A

Donc

A
f ( x ) dx 
X
A

x
X
s
dx 
x
s
dx pour A>x
X

1
x  s 1
1 s

A
X
converge quand A tend vers l’infini à la condition que s-1 soit
strictement négatif, donc que s soit strictement supérieur à 1.

 f ( x) dx converge.

Dans ce cas,

Donc, dans ce cas, l’intégrale est absolument convergente, donc convergente.
X
52
7 Equations différentielles du premier ordre
Définition : une équation différentielle est une équation qui relie une fonction est ses
dérivées. Ainsi, une équation différentielle du premier ordre relie une fonction, notée y(x), sa
dérivée y’(x) et la variable x.
Conditions aux limites : une équation différentielle est souvent la loi d’évolution d’un
système dynamique (dépendant du temps par exemple). Il manque donc, dans ce cas, les
conditions initiales. De manière générale, une équation différentielle ne suffit pas. Il faut en
outre les conditions aux limites (CL) : 1 pour les équations du premier ordre, N pour celle
d’ordre N.
Pour une équation du premier ordre, il s’agira de la valeur de la fonction pour une valeur
donnée de x.
7.1 Equations à variables séparables
Ce sont, de manière imagée, les équations où les termes en x (dont la quantité dx) et ceux
en y peuvent être regroupés indépendamment. Nous en donnerons 3 types :
7.1.1
Equation du type y   f (x)
On l’écrit sous la forme
dy
 f (x )
dx
D’où : dy  f ( x)dx  y 
 f ( x)dx +CL
7.1.2
Equation du type y   g ( y )
On l’écrit sous la forme
D’où :
dy
 dx  x 
g( y)

dy
 g( y)
dx
1
dy
 G( y )  y  G( x ) +CL
g( y)
1
x
Exemple : résoudre y   y 2 . Réponse : y ( x )    CL soit, en fait : y( x )  
1
où c est une
xc
constante d’intégration (celle qui apparaît naturellement dans le calcul).
7.1.3
Equation du type y  
On l’écrit sous la forme
f ( x)
g( y)
dy
f ( x)

dx g ( y )
D’où : g ( y )dy  f ( x)dx  F ( x) 
1
 f ( x)d x   g( y)dy  G( y)  y  G( F ( x)) +CL
53
Exemple : y  
On a alors :
x
.
y
1 2 1 2
1

x  y  c  y  2 x 2  c   x 2  d où d est une constante quelconque.
2
2
2


7.2 Equation homogènes
Il s’agit des équations du type
 y
y  f  
x
On procède par changement de variable en posant t ( x ) 
D’où :
y
x
y  tx  y   t  xt   f (t )
On a alors :
f (t )  t  x
dt
dx
dt


dx
x
f (t )  t
 y
 x   f (t )  t  F (t )  F  x 
dx
dt
 y
ln( x )  C  F  
x
1
 y  x F ln( x )  C 


Exemple : résoudre x 2  y 2 y   2 xy  0
y
x
Réponse : y   2

2
x  y2
 y
1  
x
2 xy
2
On obtient alors (exercice) : x 2  y 2  Cy  0 où C est une variable d’intégration. On résout
alors selon y, ce qui donne deux familles de solutions.
7.3 Equations linéaires
7.3.1 Equations linéaires dans second membre
Ce sont les équations de la forme
A( x) y   B( x) y  0
La solution est immédiate. On a en effet :

y
B( x )
B( x )

 ln( y )  c  
dx  F ( x )  y  exp  c 
y
A( x )
A( x )





 A( x) dx  D exp   A( x) dx
B( x )
B( x )
Théorème : si F et G sont deux solutions de l’équation sans second membre précédente,
alors K ( x)  F ( x)  G( x) , où λ et μ sont deux réels quelconques est également solution.
54
Cas particulier : si A et B sont des constantes, on remarque que la solution est
 B 
x
 A 
particulièrement simple. On obtient en effet y  D exp 
7.3.2 Equations linéaires avec second membre
Ce sont les équations de la forme
A( x) y   B( x) y  ( x)
Théorème : la solution générale de cette équation est la somme de la solution générale de
l’équation sans second membre et d’une solution particulière.
Résolution : on résout d’abord l’équation sans second membre sous sa forme générale.
Puis on ajoute une solution particulière.
Méthode de variation de la constante.
Soit y0 une solution de l’équation sans second membre (c'est-à-dire que y0 est un cas
particulier quelconque, au choix, de la solution générale de l’équation sans second membre).
Alors une solution particulière de l’équation complète est :
y p  y0
x
 (t )
0
0
 A(t ) y (t )dt
Exercice : Montrer que yp est bien solution particulière.
Exercice :Résoudre y’sinx-y=cos(x) avec le changement de variable sin x 
2t
1 t2
avec
t=tan(x/2). Résoudre d’abord l’équation sans second membre, avec le changement de
variable indiqué, puis déduire la solution générale par la méthode indiquée
55
8 Equations linéaires du second ordre
Les équations de ce type décrivent, par exemple, les systèmes dynamiques où apparaît une
force, car une accélération (ou une force) n’est rien d’autre qu’une dérivée seconde d’une ou
plusieurs coordonnées spatiales. Nous nous bornerons effectivement au cas où ces
équations sont linéaires, les non-linéaires étant beaucoup plus complexes.
8.1 Equations linéaires sans second membre
Il s’agit d’équations du type
a( x) y   b( x) y   c( x) y  0
Ainsi que de deux conditions aux limites (soit la valeur de la fonction et sa dérivée en un
point, soit deux valeurs de la fonction ou de sa dérivée en deux points différents).
Théorème
Il existe au moins deux solutions linéairement indépendantes de l’équation homogène. La
solution générale est combinaison linéaire de ces solutions.
Théorème équivalent
Il existe 2 solutions indépendantes (de rapport non constant) C et S telles que C(0)=1,
C’(0)=0, S(1)=0, S’(0)=1 telles que :
y( x)  y0C( x)  y0 S ( x)
où y0 et y’0 sont les conditions initiales (fonction et dérivée)
Exemple : Trouver les fonctions C et S pour l’équation y’’+ 2x=0
Définition : on appelle wronskien de l’équation la fonction w(x)=CS’-C’S
Propriétés du wronskien:
De la relation
w’=CS’’-C’’S
On déduit immédiatement
a(x)w’+b(x)w=0
et donc que
x
ln w( x )  

0
 x b(t ) 
b(t )
dt  w( x )  exp  
dt 

a (t )
a (t ) 
 0


ainsi que, par définition du wronskien et des fonction C et S :
w(0)  1
Propriété : Si la fonction b(x) est identiquement nulle (c'est-à-dire b(x)=0 quel que soit x),
alors le wronskien est égal à 1.
56
8.2 Equations linéaires avec second membre
Il s’agit d’équations du type
a( x) y   b( x) y   c( x) y  ( x)
Ainsi également de deux conditions aux limites.
Théorème : La solution générale de l’équation avec second membre est la somme de la
solution générale de l’équation sans second membre, ayant les conditions aux limites
requises, et d’une solution particulière de l’équation complète.
Théorème : une solution particulière est donnée par (« variation des constantes »).
x
x
( )C ( )
( ) S ( )
y p ( x)  S ( x)
d  C ( x )
d
w( )
w( )


0
0
où w est le wronskien donné plus haut.
La solution complète s’écrit donc :
x
x
( )C ( )
( ) S ( )
y ( x )  y 0 C ( x )  y 0 S ( x )  S ( x )
d  C ( x )
d
w( )
w( )


0
0
8.3 Equation du second ordre à coefficients constants
8.3.1 Elimination du second membre supposé constant
Les fonction a, b, c et  sont considérées maintenant comme constantes.
ay   by   cy  
Toutes les dérivées de  sont nulles et l’on peut réécrire :








a y    b y    c y    0
c
c
c



On pose
Y ( x)  y( x) 

c
Et l’on constate que Y est solution de l’équation sans second membre. On ne traitera donc
que cette dernière équation.
8.3.2 Cas d’un second membre non constant
On résout l’équation sans second membre et on applique la méthode de variation des
constantes décrite plus haut, si besoin.
8.3.3 Résolution de l’équation sans second membre et à coefficients constants
On cherche une solution en ex, où α est un nombre complexe.
57
L’équation, supposée sans second membre, devient une équation polynômiale, dite équation
caractéristique :
a2 + b+c=0
On résout l’équation caractéristique, pour laquelle 3 cas sont à envisager : deux zéros réels
distincts, deux zéros non-réels conjugués et enfin un seul zéro réel de multiplicité 2.
Théorème :
 Si les zéros de l’équation caractéristique sont tous deux réels, on a des solutions en
y  C1e1x  C2 e2 x


Si les zéros sont égaux, on a des solutions en y  ex C1 x  C2 
Si les zéros sont conjugués, 1   2    j , les
solutions
sont
alors :
y  e x C1 cos x  C2 sin x
Exemples : résoudre y’’+4y=0, y’’-4y=0 et y’’+8y’+20y=5
Exercice : On considère un circuit RLC série. Quelle est la tension aux bornes du
condensateur ? On part d’un condensateur chargé sous 1 volt.
Equation différentielle :
U+RCU’+LCU’’ =0
Le discriminant de l’équation caractéristique est :
  R 2C 2  4LC
On a donc trois régimes différents selon le discriminant. On a toujours un amortissement,
correspondant au terme RC. La quantité 1/(RC) est la constante de temps du système.
Tension sur le condensateur pour un discriminant respectivement négatif, nul, positif,
de gauche à droite de la feuille.
Par rapport au théorème :
Δ>0 correspond à deux zéros réels : on a amortissement pur (cas de droite)
Δ<0 correspond à deuz zéros conjugués. Ils ont une partie réelle non nulle
(amortissement) et une partie imaginaire non nulle (oscillation) (cas de gauche)
Δ=0 correspond à deux zéros égaux, donc réels, et donc à un amortissement
(centre).
58
8.3.4 Cas des circuits électriques en régime sinusoidal.
On suppose ici que l’on est en régime établi, et que toutes les grandeurs sont sinusoïdales.
Nous prendrons l’exemple du circuit RLC série alimenté par un générateur de tension
sinusoïdal de pulsation ω.
Ug
L’équation du circuit s’écrit (Ug est la tension aux bornes du générateur) :
t
U g  RI  L
dU g
dI 1
dI
d 2I I

I ( )d 
R L 2 
dt C
dt
dt
C
dt

0
La tension du générateur étant sinusoïdale, on l’écrit sous forme complexe :
U g  Uˆe jt
On cherche I sous la forme :
I  Iˆe j (t  )
En reportant, on obtient :

1
1  ˆ j

 Ie
jUˆ   Rj  L 2   Iˆe j  Uˆ   R  jL 
C
jC 


On définit l’impédance complexe (connue0

1 

Z   R  jL 
jC 

Sachant que le module de e
j
vaut 1, on déduit
Uˆ
Iˆ 
Z
et on déduit φ, toutes les autres quantités étant connues..
59
Exercice 1
A  cos( 3x )  cos( 2 x  x )  cos( 2 x ) cos( x )  sin(2 x ) sin( x )
cos( 2 x )  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1

sin(2 x )  2 sin x cos x

 A  2 cos 3 x  cos x  2 sin 2 x cos x
sin 2 x  1  cos 2 x
 A  2 cos 3 x  cos x  2(1  cos 2 x ) x cos x  4 cos 3 x  3 cos x
Exercice 2
A
1  cos x  3 sin x
?
1  3 tan x / 2) 

 t  tan( x / 2)

1 t2

cos
x


1 t2

 sin x  2t

1 t2
1
 A
1 t2

6t
2  6t
2
1 t2 1 t2
1 t2
1 t
1 t2 



1

 1  cos x
1  3t
(1  t 2 )(1  3t ) 1  t 2
1 t2
1 t2
2
60
Solution des exercices

sin(6 x )
?
1  cos( 6 x )
On pose t=tan(3x) 9tangente de l’angle moitié, d’où
2t
sin(6 x )
1 t2

 t  tan( 3x )
1  cos( 6 x ) 1  1  t 2 1  t 2




 
t  tan    ?
 12 
 7 
tan 
?
 12 
   1 2t
sin  
 t 2  4t  1  0  t  2  3
2
12
2
1

t
 
t 1
t  2 3
7  
 
12 2 12

 7 
 
 sin 12   cos  12 


 

7



 
cos 
   sin 
  12 
 12 
 
 
 cot g     tan    2  3
 12 
 12 

sin(6 x )
?
1  cos( 6 x )
On pose t=tan(3x) 9tangente de l’angle moitié, d’où
2t
sin(6 x )
1 t2

 t  tan( 3x )
1  cos( 6 x ) 1  1  t 2 1  t 2




 
t  tan    ?
 12 
   1 2t
sin  
 t 2  4t  1  0  t  2  3
 12  2 1  t 2
t 1
t  2 3
 7 
tan 
?
 12 
7  
 
12 2 12

 7 
 
 sin 12   cos  12 


 

7



 
cos 
   sin 
  12 
 12 
 
 
 cot g     tan    2  3
 12 
 12 
61
Devoir Maison
Exercice 1 :
Que valent

 1 
a  tan  arctan   
 5 


 1 
b  tan  arctan 
 
 239  

?
En utilisant deux fois de suite l’expression de tan(2x), en déduire la valeur de

 1 
A  tan  4 arctan   
 5 




En utilisant la formule de tan(x+y) déduire tan  4 arctan    arctan 
 
5
239
 


1
1



1
1 
En déduire la valeur de tan  4 arctan    arctan 
  (Formule de Méchin)
 5

 239  
Exercice 2 :
Montrer que cos 2  Arc cos x  
1
2

1 x
2
Exercice 3 : Résoudre tan 2 x  (1  3 ) tan x  3  0
Exercice 4 :
1
1
1

Montrer, en utilisant l’expression de tan(a+b), que arctan    arctan    arctan   
2
 5
8
4
62
Nous distinguerons tout d’abord les
Exemple :
Propriétés des fonctions par rotation de pi/2 ou pi
Résolution dans le cercle et nombre de solutions des équations
trigonométriques
Formules usuelles. Formulaire.
Exemples, exercices
Fonctions réciproques et bon usage de la calculatrice
Coordonnées cartésiennes et polaires
Equation paramétrique du cercle.
Coordonnées polaires d’un vecteur. Interprétation des fonctions
trigonométriques en termes de projection. Vecteur tournant.
63