ch3 intégration, forces de pression sur un quart de sphère

calcul des forces de pression exercées sur un quart de sphère
la relation entre la pression P(x,y,z) au sein d'un fluide en équilibre, le champ gravitationnel
r
r
r
g et la masse volumique ρ est gradP = ρg . On se place à la surface de la Terre, et on
r
r
considère que le champ gravitationnel est localement uniforme : g = −g0u z avec
g0 = 9,8 m.s −2 ρ = 103 kg.m-3
1)montrer que P ne dépend que de z et trouver l'expression de P(z).
on recherche les forces de pression s'exerçant sur un récipient constitué d'un quart de sphère
de rayon a = 50 cm, rempli d'eau jusqu'au bord.
z
z
r
g
Ox
θ
y
O
y
ϕ
Po
x
r
d² s
r r r
on utilisera la base habituelle des coordonnées sphériques ur , u θ , u ϕ et on rappelle que
r
r
r
r
ur = sin θ cos ϕ u x + sin θ sin ϕ u y + cos θ u z
2) exprimer la pression en un point du fluide, et donner l'expression vectorielle de la force
r
résultante sur un élément d²s , en notant bien qu'à l'extérieur s'exerce la pression Po.
r
3) exprimer les composantes du vecteur surface élémentaire d²s sur les axes Ox, Oy, Oz.
(les applications numériques seront cherchées pour chacune des questions suivantes)
4) calculer la composante Fx de la résultante des forces de pression sur Ox.
5) calculer de même la composante Fy de la résultante des forces de pression sur Oy.
6) calculer enfin la composante Fz de la résultante des forces de pression sur Oz.
7) en tenant compte des propriétés du vecteur surface, montrer qu'on pouvait obtenir le
résultat de la question 4) de façon très simple.
8) que représente le poids de la colonne d'eau contenue dans un cylindre de section très petite,
de génératrices parallèles à Oz ? Retrouver alors le résultat de la question 6).
9) comment aurait-on pu retrouver le résultat de la question 5) d'une autre façon?
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