Point mobile sans frottement sur une sphère

Brunot-Le Magoariec André
Point mobile sans frottement sur une sphère
Un point M de masse m est placé à l’instant initial sur le sommet A d’une sphère sur laquelle
il glisse sans frottement ; On lui communique une vitesse horizontale v0 . Soit O le centre de
la sphère et R son rayon, déterminer la réaction N de la sphère sur M en fonction de l’angle
θ . Quelle est la valeur maximale θ m de θ ? Quel est le mouvement ultérieur ?
A
M
u
u’
O
mg
Fig. 1
Réponse
Le point M est soumis à son poids et à la réaction de la surface. Ecrivons le principe
fondamental de la dynamique dans un référentiel galiléen lié à la sphère, mais en utilisant un
repère mobile :
(Distinction entre référentiel et repère)
mγ = ( N − mg cosθ ) u + mg sin θ u′
Pour exprimer γ on peut soit utiliser l’expression générale
 v2 
 dv 
γ =  N +  T
 dt 
R
Qui s’écrit ici
γ = − Rθ&2u + Rθ&&u′
Soit utiliser l’expression de l’accélération en coordonnées polaires qui donne directement la
relation ci-dessous ; finalement, en identifiant sur u et u’ :
N = m  g cosθ − Rθ&2 
g sin θ = Rθ&&
Pour obtenir N en fonction de θ , il faut connaître θ& ; deux méthodes sont possibles : ou bien
multiplier la seconde relation par θ& et l’intégrer, ou, ce qui est absolument équivalent, écrire
le théorème de l’énergie cinétique :
&&& en intégrant : g θ (à t déterminé) sin θθ&dθ = g (1 − cosθ )
g sin θθ& = Rθθ
∫
θ0
et R ∫
θ (à t déterminé)
θ0
&&&dθ =
θθ
R &2 θ 1 &2
θ  = Rθ − Rθ&02
θ0
2
2
(
)
1 &2
v02
2
2
&
&
on obtient :
Rθ − Rθ0 = g (1 − cosθ ) ⇒ Rθ = 2 g (1 − cosθ ) +
2
R
(
)
1/ 2mR 2θ&2 = mgR (1 − cosθ ) + 1/ 2mv02
D’où
N = mg [3cosθ − 2] − mv02 / R
La liaison étant unilatérale, N ≥ 0 , soit :
cos θ ≥ cos θ m = 2 / 3 + v02 / 3Rg
Pour θ ≥ θ m le point quitte la sphère et suit un mouvement de chute libre. Le problème
change de nature, et il faut recommencer la mise en équation ; la trajectoire est parabolique.
Remarquons que la condition cos θ m ≤ 1 entraîne
v0 < Rg .
Si cette condition n’est pas remplie, le point quitte la sphère dès le sommet A ; on interprète
facilement cette condition en faisant appel à la force centrifuge.