2ème sciences Trigonométrie et mesure des grandeurs - E

2ème sciences
Trigonométrie et mesure des grandeurs
Mbarki wadii
Exercice 1 :
ABC est un triangle, on pose AB  c AC  b et BC  a . Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
1) Faire une figure claire en prenant les angles  , B̂ et Ĉ aigus.
a. sin B̂
a. sin Ĉ
et que c 
.
sin Â
sin Â
b) Exprimer BH en fonction de c et B̂ .
2) a) Montrer que b 
c) Exprimer CH en fonction de b et Ĉ .
d) En déduire que a  b. cos Ĉ  c. cos B̂ .
3) a) En utilisant les questions 2) a) et 2) d) Montrer que sin   sin B̂. cos Ĉ  sin Ĉ. cos B̂
b) En déduire que sin(B̂  Ĉ)  sin B̂. cos Ĉ  sin Ĉ. cosB̂
5




)  sin . cos  sin . cos
12
6
4
4
6

6 2

b) En déduire que cos( ) 
puis montrer que sin( ) 
12
4
12
4) a) Montrer que sin(
5) a) Calculer l’aire d’un triangle ABC sachant que a  2 , b  2 et Ĉ 
6 2
4

.
12
1
a.b. sin Ĉ )
2
b) Utiliser le théorème d’El-Kashi pour montrer que c  3  1 .
c) En déduire la valeur de R le rayon du cercle circonscrit à ABC.
(on donne S 
Exercice 2 :
ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle  de centre O et de rayon R=3. On note r

la rotation directe de centre A et d’angle .
3
1) Faire une figure.
2) Montrer que AB  3 3 .(on rappel que dans un triangle
a
sin Â

b
sin B̂

c
sin Ĉ
3) M est un point de l’arc AB ne contenant pas C.
a) Construire I  r(M) .
b) Montrer que IAM est équilatéral.
c) Montrer que I CM .
d) Montrer que MA  MB  MC .
On prendra dans la suite de l’exercice AM  3 2 .

.
4
b) Donner l’angle de la rotation r’ de centre A qui transforme M en M’ avec M' AB .
a) Utiliser la loi de sinus dans le triangle ABM pour montrer que AB̂M 
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle tel que AC = 6 , ABC =
π
π
et ACB =
4
3
1) On appliquant la loi de sinus montrer que AB = 3 6
2) a)Résoudre dans ℝ+ l’équation 𝑥 2 − 6𝑥 − 18 = 0
http://mathseleves1.e-monsite.com/
 2R )
b) En déduire en appliquant le théorème d’El-Kashi montrer que BC = 3 1 + 3
c)Calculer l’aire du triangle ABC.
5π
12
4) Soit C cercle circonscrit au triangle ABC
3) Montrer que BAC =
a)Calculer R le rayon de C.
b) En déduire que sin
c)Calculer
6− 2
4
d) En déduire cos
5π
12
=
6+ 2
4
2
5π
12
et tan
5π
12
Exercice 4 :
Pour tout x Є * 0 , π + on donne P (x ) = - 2 sin3 x + 2 sinx - cos²x .
1/ Calculer P ( 0 ) et
P(
𝜋
3
) .
2/ a ) Montrer que P ( π – x ) = P ( x ) Pour tout x Є * 0 , π + .
b ) Déduire P (
2𝜋
3
).
3/ Montrer que pour tout x Є * 0 , π + on a : P ( x ) = cos²x . ( 2 sinx - 1 ) .
4/ Résoudre dans * 0 , π +
l’équation
P ( x ) = 0.
5/ Calculer sans utiliser la calculatrice : cos²(
𝜋
16
) + cos²(
7𝜋
16
).
http://mathseleves1.e-monsite.com/