X/ENS Maths PSI 2004 — Corrigé

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X/ENS Maths PSI 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Lecomte (Université de Stanford) ; il a été relu
par Céline Chevalier (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (professeur en CPGE).
Ce sujet commun à l’École Polytechnique et à l’ENS Cachan se compose de deux
problèmes indépendants.
Le premier problème a pour but d’étudier la fonction
f : x 7−→
∞
X
xn
(n!)2
n=0
On commence par déterminer son domaine de définition, sa régularité, ses limites
aux bornes du domaine de définition, etc.
Le reste du problème consiste à trouver un équivalent de cette fonction
en +∞.
On considère la fonction gx dont les coefficients de Fourier sont xn /n! n∈N et que
l’on explicite à l’aide de fonctions usuelles. En remarquant que, d’après la relation
de Parseval,
Z
∞
X
2
x2n
1 2π 2
dθ
f (x ) =
=
g
(θ)
x
(n!)2
2π 0
n=0
on se ramène à l’étude asymptotique de cette intégrale.
Ce premier problème est très classique ; par exemple, le premier sujet de mathématiques du concours Mines-Ponts 2002 se propose de calculer exactement le même
équivalent par une autre méthode.
Le second problème, beaucoup plus original, guide le candidat dans la construction d’une famille d’ensembles de Besicovitch. Ces derniers sont des parties du plan
contenant un segment de longueur 1 dans toute direction. On montre ensuite que
l’on peut trouver de tels ensembles avec une aire aussi petite que l’on veut.
Ce problème n’est pas difficile en soi : la construction et le calcul de l’aire sont
faits petit à petit. Il a dérouté de nombreux élèves cette année. Premièrement,
parce qu’il ne fait appel à aucun théorème du cours. Deuxièmement, parce qu’il
utilise la notion de partition d’un ensemble modulo une relation d’équivalence.
Pour les élèves provenant de MPSI, aucun problème ; mais ceux provenant de PCSI
ne pouvaient pas comprendre les questions II.5 et II.6 et on sait à quel point une telle
situation peut être bloquante un jour de concours. Il est dommage que cette injustice
se soit produite dans un sujet d’X/ENS et on trouvera, en remarque dans le corrigé,
les définitions nécessaires à la résolution de ces questions problématiques.
Il s’agit malgré tout d’un problème intéressant dans la mesure où il introduit
ces ensembles de Besicovitch, dont le premier exemple fut construit en 1920 par
Abram Besicovitch et qui sont un sujet important de recherche actuelle en analyse
harmonique. On trouvera à la fin du corrigé des remarques culturelles concernant
ce problème.
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Indications
Problème I
I.2 Démontrer que f (x) > 1 + x.
iθ
I.5 Utiliser l’expression gx (θ) = exe obtenue à la question I.3 et le fait que cos θ
π 3π
;
.
est strictement négatif lorsque θ se trouve dans l’intervalle
2 2
√
θ
I.6 Justifier la validité du changement de variable u = 2 2x sin dans la première
2
intégrale et l’effectuer.
Problème II
II.2.b Raisonner par l’absurde : en notant i le plus petit indice pour lequel ri 6= qi ,
montrer à l’aide de la question II.2.a que |ri − qi | < 1.
II.3.a Un exemple typique de compact du plan est un rectangle. Il suffit donc d’établir
que Bδq est inclus, par exemple, dans un rectangle indépendant de q et δ.
Pour cela, majorer simplement x par 1 et les qk par N − 1.
II.3.b Remarquer que Bδq est un parallélogramme. Évaluer les pentes des côtés et des
diagonales ; remarquer alors que Bδq contient tous les segments reliant les bords
gauche et droit de D, de pentes intermédiaires entre celles-ci.
II.4.b Montrer que NN QN , l’ensemble des éléments de QN multipliés par NN , est égal
à {0, . . . , NN − 1}. Utiliser ceci pour montrer que si p est un réel de [0 ; 1],
il existe un élément q0 de QN tel que NN q0 soit égal à [NN p], la partie entière
de NN p.
m−1 m
II.8 Il existe m dans {1, . . . , N} tel que x0 se trouve dans l’intervalle
;
.
N
N
Si q1 , . . . , qNm−1 sont des représentants de chacune des classes d’équivalence
de QN modulo Rm , vérifier à l’aide de la question II.7 que
Ax0 ⊂
m−1
N[
i=1
C
C
lqi (x0 ) − m ; lqi (x0 ) + m
N
N
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Problème I
n
P x
converge absolument sur l’intervalle ] − R ; R[, où R
2
n>0 (n!)
est son rayon de convergence. D’après la règle de d’Alembert, comme la limite
I.1 La série entière
(n + 1)!2
= lim (n + 1)2
n→∞
n→∞
(n!)2
existe et vaut +∞, on sait que R = +∞. En notant f la somme de la série entière,
on a montré que
lim
f est bien définie sur R.
La somme d’une série entière est de classe C ∞ sur son intervalle ouvert de convergence. A fortiori,
f est de classe C 1 sur R.
I.2 Soit x un réel positif. On a :
f (x) =
Ainsi
∞
∞
X
X
xn
xn
=
1
+
x
+
>1+x
2
(n!)
(n!)2
n=0
n=2
∀x ∈ R+
Par suite,
f (x) > 1 + x
lim f (x) = +∞
x→+∞
I.3 Soient x et θ deux réels fixés. On sait que
∀x ∈ R
∀θ ∈ R
∀n ∈ N
xn einθ = xeiθ
n
Dans la série définissant gx (θ), on reconnaît le développement en série entière de
la fonction exponentielle, évalué en la valeur particulière xeiθ . On sait que la série
entière définissant l’exponentielle a un rayon de convergence infini. Par suite,
gx (θ) est bien définie pour tous réels x et θ et
∀x ∈ R
∀θ ∈ R
iθ
gx (θ) = exe
On dispose là d’une expression particulièrement simple de la fonction gx
et l’on serait tenté de dire que gx est dérivable en tant que composée
de fonctions dérivables.
Cette conclusion est prématurée à ce stade car il y a un piège : on ne sait
dériver que des fonctions d’une variable réelle. Si θ n’est pas un multiple entier
de π cela n’a donc aucun sens de dire que l’exponentielle est dérivable au
point xeiθ pour conclure que gx est dérivable en θ. En effet, xeiθ a une partie
imaginaire non nulle et on ne sait donc pas, dans le cadre du programme de
classe préparatoires, ce que signifie dériver exp en ce point.
On peut tout de même se ramener au théorème de composition des fonctions C 1 . C’est la solution proposée dans le corps du corrigé. Une autre
preuve, utilisant le théorème de dérivation sous le signe somme, est proposée
ensuite en remarque.
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Fixons un réel x. On a :
iθ
gx (θ) = exe = ex(cos θ+i sin θ) = ex cos θ × eix sin θ
= ex cos θ cos(x sin θ) + i sin(x sin θ)
∀θ ∈ R
On peut maintenant appliquer les théorèmes généraux de dérivabilité. La fonction
θ 7−→ x sin θ est de classe C 1 sur R, à valeurs réelles donc θ 7−→ cos(x sin θ) et
θ 7−→ sin(x sin θ) sont de classe C 1 sur R. De même, θ 7−→ ex cos θ est de classe C 1
sur R. Par suite,
gx est de classe C 1 sur R.
Finalement, les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques donc
gx est 2π-périodique.
Voici comme promis une autre démonstration du fait que gx est de
classe C 1 . À nouveau, x est un réel fixé ; on pose :
∀n ∈ N
∀θ ∈ R
hn (θ) =
xn inθ
e
n!
Les fonctions (hn )n∈N sont toutes de classe C 1 sur R et l’on a déjà établi
P
plus haut que la série
hn converge simplement vers gx .
n>0
Pour appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme, il suffit de
P ′
vérifier que la série de fonctions
hn converge uniformément sur R. On a :
n>0
∀n ∈ N∗
donc
La série
∀θ ∈ R
∀n ∈ N∗
P
hn ′ (θ) =
ixn
einθ
(n − 1)!
∀θ ∈ R
′ hn (θ) =
et
h0 ′ (θ) = 0
|x|n
(n − 1)!
hn ′ converge donc normalement sur R. Le théorème de dérivation
n>0
sous le signe somme permet alors de conclure que gx est de classe C 1 .
I.4 Notons (cp )p∈Z la suite des coefficients de Fourier complexes de gx :
Z
Z +∞
1 2π
1 2π X xn i(n−p)θ
∀p ∈ Z
cp =
gx (θ) e−ipθ dθ =
e
dθ
2π 0
2π 0 n=0 n!
Fixons un entier relatif p. La série de fonctions
en θ sur [0 ; 2π] puisque
(1)
P xn i(n−p)θ
e
converge normalement
n>0 n!
xn
xn
ei(n−p)θ =
n!
n!
et le membre de droite est le terme général d’une série positive convergente. On peut
donc, dans l’expression (1), intervertir la somme et l’intégrale :
Z
+∞
X
xn 1 2π i(n−p)θ
cp =
e
dθ
n! 2π 0
n=0
∀n ∈ N
∀θ ∈ [0 ; 2π]
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