Analyse Feuille 4 : Théorème de convergence dominée et

Université Paris Est - Marne-la-Vallée
Préparation au CAPES
2010/2011
Analyse
Feuille 4 : Théorème de convergence dominée et applications.
1
Interversion limite / intégrale
Exercice 1. Fonction Γ Soit x > 0 ; on considère la suite de fonctions (fn )n≥1
t n x−1
fn (t) = 1 −
t , si 0 < t ≤ n,
et
fn (t) = 0, si t ≥ n.
n
1. Montrer que la suite (fn )n≥1 converge simplement vers la fonction f (t) = e−t tx−1 , t > 0 et que, pour
tout n ≥ 1, 0 ≤ fn ≤ f .
R +∞
2. Calculer 0 fn (t) dt.
3. En déduire la formule
nx n!
,
n→+∞ x(x + 1) · · · (x + n)
Γ (x) = lim
∀x > 0.
P
Exercice 2. Sur I =]0, 1[, on considère la série de fonctions n≥0 un , avec un (x) = −xα−1+n ln(x), pour tout
x ∈]0, 1[.
P
1. Montrer que la série de fonctions n≥0 un converge simplement vers une fonction S qu’on déterminera.
R1
1
2. Montrer que un est intégrable sur ]0, 1[, et que 0 un (x) dx = (α+n)
2.
3. Montrer que
Z
1
0
Exercice 3. Calcul de
sin(nx)
n=1
n .
P+∞
+∞
X
xα−1 ln(x)
1
.
dx = −
1−x
(α + n)2
n=0
Pour n ≥ 1 et θ ∈]0, π[, on pose un (t) = t
n−1
sin(nθ) et Sn (t) =
n
X
up (t).
p=1
1. Montrer que
Sn (t) =
sin(θ) − tn sin((n + 1)θ) + tn+1 sin(nθ)
,
(1 − t cos(θ))2 + t2 sin2 (θ)
∀t ∈ [0, 1].
En déduire que la suite de fonctions (Sn )n∈N converge simplement sur I = [0, 1[ vers une fonction S
qu’on déterminera.
Z
2. Calculer S(t) dt.
I
Z
Z
3. En appliquant le théorème de convergence dominée, montrer que Sn (t) dt −−−−−−→ S(t) dt. Pouvaiton appliquer le théorème d’interversion série / intégrale ?
+∞
X
sin(nθ)
4. En déduire la valeur de
.
n
n=1
1
I
n→+∞
I
2
Intégrales à paramètre
Exercice 4. Un prolongement C1 . Soit f : R → R une fonction C2 telle que f (0) = 0. On définit g : R → R
par
f (x)
g(0) := f 0 (0) et ∀x , 0, g(x) :=
.
x
R
Montrer en utilisant le théorème de dérivation sous le signe que g est C1 sur R.
Exercice 5. Encore une limite d’intégrales. Soit f une fonction définie sur [0, 1], à valeurs strictement
positives et continue. Montrer que
Z
!1/α
1
α
lim
α→0+
f (t) dt
Z
1
= exp
0
ln(f (t)) dt .
0
Exercice 6. Calcul de l’intégrale gaussienne. On pose f (x) =
1. Montrer que la fonction f est de classe
2. Calculer
C1
sur
R1
0
2
e−x (1+t
1+t2
2)
dt, pour tout x ≥ 0.
R+ .
f 0.
Rx
2
e−u du. Montrer
0
f (0) + g 2 (0). Montrer que
3. On pose g(x) =
4. Calculer
!
que la fonction f + g 2 est constante sur R+ .
f (x) → 0 quand x → +∞, et en déduire la formule
√
Z +∞
π
−u 2
.
e du =
2
0
Exercice 7. On pose pour x ∈ R
+∞
Z
f (x) =
2
e−t cos(tx) dt.
0
1. Montrer que f est bien définie sur R, continue et dérivable.
2. Calculer f 0 et montrer que f est solution d’une équation différentielle du premier ordre. En déduire
f.
Exercice 8. On pose pour tout x ≥ 0,
+∞
Z
I(x) =
0
sin(xt) −t
e dt.
t
1. Justifier l’existence de I(x) pour tout x ≥ 0.
2. Montrer que I est de classe C1 .
3. Calculer I(x) et en déduire la valeur de
R +∞ sin(t)
0
t
2
e−λt dt, pour λ > 0.