Thm de Fejer

1
Théorème de Fejér
Théorème 1. Soit f : R −→ C continue 2π-périodique et Sn (f ) la somme partielle d’indice n
de la série de Fourier de f . Alors, la suite des sommes de Cesàro de (Sn (f ))n∈N∗ définie par
NP
−1
Sk (f ) vérifie lim kσN (f ) − f k∞ = 0.
σN (f ) = N1
N 7→∞
k=0
Pour démontrer ce théorème, nous aurons besoins des deux lemmes suivants qui exposent les
propriétés des noyaux de Dirichlet et de Fejèr nécessaires à la démonstration du théorème.
N
P
Lemme 1. On note DN =
en , le noyau de Dirichlet. Alors, on a :
n=−N
1.
1
2π
R 2π
0
Dn (t)dt = 1
2. ∀x 6∈ 2πZ, Dn (x) =
sin((N + 12 )x)
sin( x2 )
3. SN (f ) = f ∗ DN , pour tout f ∈ L1 et N ≥ 0.
Démonstration. :
Point 1 : Pour n ∈ Z, on a :
1
2π
R 2π
0
eint dt = δ0,n =⇒
N
P
Point 2 : Pour x 6∈ 2πZ, on a :
einx = e−iN x
1
2π
2N
P
R 2π
0
Dn (t)dt = 1
einx = e−iN x
n=0
n=−N
ei(2N +1)x −1
eix −1
soit avec la
formule de l’angle moitié :
N
X
1
e
inx
ei(N + 2 )x × 2i sin((N + 12 )x)
x
ei 2 × 2i sin( x2 )
= e−iN x
n=−N
!
=
sin((N + x2 ))
sin( x2 )
Point 3 : Pour n ∈ Z et f ∈ L1 , on a :
1 R 2π
1 R 2π
−int
cn (f )en (x) =
f
(t)e
dt
einx =
f (t)ein(x−t) dt = f ∗ en (x).
0
2π
2π 0
N
N
P
P
Alors, pour N ≥ 1 et f ∈ L1 , SN (f ) =
(f ∗ en ) = f ∗
en = f ∗ DN .
n=−N
D0 +...+DN −1
N
Lemme 2. On note KN =
R 2π
1
1. 2π
Kn (t)dt = 1
0
2. ∀x 6∈ 2πZ, KN (x) =
1
N
sin(N x
2)
sin( x
2)
2
n=−N
le noyau de Fejèr d’ordre N (N ≥ 1). Alors, on a :
≥0
3. σN (f ) = f ∗ KN , ∀f ∈ L1 , ∀N ≥ 1.
Démonstration. :
Point 1 : Pour n ≥ 0 on a :
1
2π
R 2π
0
1
2π
R 2π
0
Dn (t)dt = 1, et par linéarité de l’intégrale :
Kn (t)dt =
1
N
NP
−1
n=0
1
2π
R 2π
0
Dn (t)dt =
1
N
× N = 1.
N −1
P i(n+ 1 )x
sin((n + 21 )x)
1
2
Point 2 : Pour x 6∈ 2πZ, N KN (x) =
=
Im
e
puis :
sin( x2 )
sin( x2 )
n=0
n=0
N −1
i x iN x
iN x
N −1
P i(n+ 1 )x
e 2 e 2 × 2i sin(N x2 )
−1
x P
x e
i
i(nx)
i
2
Im
e
= Im e 2
e
= Im e 2 ix
= Im
x
e −1
ei 2 × 2i sin( x2 )
n=0
n=0
NP
−1
D’où :
sin(N x2 )
x
N KN (x) =
Im(eiN 2 ) =
sin( x2 )2
sin(N x2 )
sin( x2 )
2
Point : D’après le lemme 1, on a pour f ∈ L1 et N ≥ 1 :
N −1
NP
−1
NP
−1
P
N σN (f ) =
Sn (f ) =
f ∗ Dn = f ∗
Dn =⇒ σN (f ) = f ∗ KN .
n=0
n=0
n=0
2
Passons à la preuve du théorème de Fejèr :
Démonstration. Pour δ ∈]0, π], introduisons ω(δ) =
sup |f (u) − f (v)| qui est bien défini
|u−v|≤δ
puisque f étant continue et périodique, elle est en particulier bornée. De plus, f est en particulier uniformément continue et donc :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀u, v ∈ R, |u − v| ≤ α =⇒ |f (u) − f (v)| ≤ ε
On en déduit que lim ω(δ) = 0.
δ7→0
Méthode 1. Soit x ∈ R et N ≥ 1, majorons |f (x) − σN (f )(x)| de manière indépendante de x.
Par le lemme 2, on a :
f (x) − σN (f )(x) = f (x) −
1
2π
Rπ
−π
f (x − t)KN (t)dt =
1
2π
Rπ
−π
(f (x) − f (x − t))KN (t)dt
D’où, par positivité de KN :
≤
Rπ
1
2π
|f (x) − σN (f )(x)| ≤
1
2π
R
|f (x) − f (x − t)|Kn (t)dt
R
1
|f (x) − f (x − t)| KN (t)dt + 2π
|f (x) − f (x − t)| KN (t)dt
|t|≤δ |
δ<|t|≤π |
{z
}
{z
}
−π
≤ω(δ)
ω(δ)
2π
≤
ω(δ)
2π
≤
≤2||f ||∞
R
|t|≤δ
Z
|t|≤δ
KN (t)dt +
kf k∞
π
KN (t)dt + kfπk∞
|
{z
R
δ<|t|≤π
R
δ<|t|≤π
KN (t)dt
1
dt
N sin( 2t )2
}
Rπ
≤ −π
Kn (t)dt=2π
Alors, pour δ ∈]0, π] et δ ≤ |t| ≤ π, on a t ∈ [−π, −δ[∪]δ, π] et 2t ∈ [− π2 , − 2δ [∪] 2δ , π2 ], ce qui
donne :
1
1
|sin( 2t )| ≥ |sin( 2δ )| =⇒
≤
(Dessiner le cercle trigo pour y voir plus clair)
sin( 2t )2
sin( 2δ )2
puis :
1
dt
δ<|t|≤π N sin( 2t )2
R
≤
1
dt
δ<|t|≤π N sin( δ2 )2
R
≤
Rπ
1
dt
−π N sin( δ2 )2
=
2π
N sin( 2δ )2
Conclusion : finalement pour tout x ∈ R, on a :
|f (x) − σN (f )(x)| ≤ ω(δ) +
2kf k∞
2kf k∞
=⇒ kf − σN (f )k∞ ≤ ω(δ) +
N sin( 2δ )2
N sin( 2δ )2
En passant à la limite supérieure on a : lim sup kf − σN (f )k∞ ≤ ω(δ) et comme lim ω(δ) = 0,
δ7→0
N −→∞
en faisant tendre δ vers 0 on a donc :
lim sup kf − σN (f )k∞ ≤ 0
N −→∞
et donc lim kf − σN (f )k∞ = 0.
N 7→∞
Remarque 1. Pour f ∈ Lp (1 ≤ p < ∞), on a aussi lim kσN (f ) − f kp = 0.
N 7→∞
Application 1. Pour tout N ≥ 1, σN (f ) étant un polynôme trigonométrique, on en déduit que
l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans l’ensemble des fonctions continues
2π-périodiques de R dans C.
Application 2. Soit f : R −→ C une fonction continue 2π-périodique. Supposons que pour
x0 ∈ R, lim Sn (f )(x0 ) = l, alors l = f (x0 ).
n7→∞
Démonstration. Par le théorème de Cesàro, on a :
lim σN (f )(x0 ) = lim
N 7→∞
N 7→∞
S0 (f )(x0 )+...+SN −1 (f )(x0 )
N
=l
3
Or, lim kσN (f ) − f k∞ = 0 et donc en particulier (σN (f )(x0 ))N ≥1 converge vers f (x0 ). Ainsi,
N 7→∞
par unicité de la limite l = f (x0 ).
Référence : Zuily-Queffélec. Analyse pour l’agrégation, pages 75 à 77 et 84 à 88.
Rappel 1. Pour p ≤ 1 ≤ ∞, on note Lp l’espace vectoriel (des classes) de fonctions f : R −→ C,
2π-périodique et Lebesgue-mesurables telles que ||f ||p < ∞ avec :
kf kp =
1
2π
R 2π
0
1/p
|f (t)|p dt
si 1 ≤ p < ∞ et kf k∞ = borne supérieure essentielle de |f |.
Rappel 2. Si f ∈ L1 , et n ∈ Z, on définit le n-ème coefficient de Fourier de f par la formule :
R 2π
1
f (t)e−int dt.
cn (f ) = 2π
0
Rappel 3. Pour 1 ≤ p < q ≤ ∞, on a l’emboîtement décroissant Lq ⊂ Lp car la mesure de
Lebesgue de [0, 2π] est finie.
Rappel 4. Une fonction à variable réelle continue et périodique est uniformément continue.
Démonstration. Supposons f continue périodique de période T . Alors [0, T ] étant compact, l’application du théorème de Heine, nous donne :
∀ε > 0, ∃αε (≤ T ), ∀x, y ∈ [0, T ], |x − y| ≤ αε =⇒ |f (x) − f (y)| ≤
ε
2
Notre objectif est de montrer que f est uniformément continuer sur R tout entier. Pour ε > 0
soient x, y ∈ R tels que |x − y| ≤ αε . S’il existe k ∈ Z tel que (x, y) ∈ [kT, (k + 1)T ], alors on a
x − kT ∈ [0, T ] et y − kT ∈ [0, T ] puis |(x − kT ) − (y − kT )| = |x − y| ≤ αε ce qui nous donne :
|f (x) − f (y)| ≤
ε
2
≤ ε.
Sinon, en supposant x ≤ y avec |x − y| ≤ αε ≤ T , on est nécessairement dans la configuration
suivante :
∃k ∈ Z, (k − 1)T ≤ x ≤ kT ≤ y ≤ (k + 1)T
Mais alors on voit facilement que |x − kT | ≤ |y − x| ≤ αε et |y − kT |≤ |y − x| ≤ αε ce qui donne
par inégalité triangulaire :
|f (x) − f (y)| ≤ |f (x) − f (kT )| + |f (kT ) − f (y)| ≤
D’où : ∀ε > 0, ∃αε , ∀x, y ∈ R, |x − y| ≤ αε =⇒ |f (x) − f (y)| ≤
ε
2
ε
2
+
ε
2
=ε
et f uniformément continue.