Intégrales Généralisées

UFR SFA, Licence 2e année, MATH326
Intégrales Généralisées
• Toutes les fonctions sont continues par morceaux même s’il n’en est pas fait mention !
1. Définitions et Exemples.
• f : [a, +∞[−→ R continue par morceaux
• Pour tout x, on peut calculer
F (x) =
Z x
f (t) dt
a
• La fonction F possède-t-elle une limite quand x → +∞ ?
Définition. Soit f : [a, +∞[−→ R une fonction continue par morceaux.
On dit que l’intégrale généralisée de f sur [a, +∞[ converge lorsque
limite finie quand x → +∞. On note dans ce cas
Z +∞
f (t) dt = lim
Z x
x→+∞ a
a
Z x
f (t) dt possède une
a
f (t) dt.
Sinon on dit que l’intégrale généralisée est divergente.
Exemple(s). • f (t) = e−t : l’intégrale de f sur [0, +∞[ est convergente et
Z +∞
−t
e
dt = lim
Z x
x→+∞ 0
0
e−t dt = lim
x→+∞
1 − e−x = 1.
Remarque(s). • Une intégrale peut être généralisée ailleurs qu’en +∞ !
1
? f (x) = √ sur ]0, 1] ;
x
? l’intégrale de f sur ]0, 1] converge !
Z 1
0
Z 1
√ dt
dt
√ = lim
√ = lim 2 1 − x = 2.
t x→0 x t x→0
• Une intégrale peut être généralisée en plusieurs endroits !
e−x
? f (x) = √ sur ]0, +∞[ ou g(x) = (x + 1)e−|x| sur ] − ∞, +∞[
x
?
Z +∞
0
f (t) dt converge si
Z 1
0
f (t) dt et
Z +∞
f (t) dt convergent
1
1
Ph.
Briand, 2012/2013
?
Z +∞
g(t) dt converge si
−∞
Z +∞
g(t) dt et
Z 0
0
g(t) dt convergent
+∞
• Si les intégrales généralisées de f et g sur [a, +∞[ convergent, alors celle de f +λg converge
aussi et
Z
Z
Z
+∞
+∞
+∞
f (t) dt + λ
(f + λg) (t) dt =
g(t) dt.
a
a
a
2012/2013 : fin du cours 6
2. Fonctions positives.
• f : [a, +∞[−→ R+ : pour tout x ≥ a, f (x) ≥ 0 ; F (x) =
Z x
f (t) dt est croissante
a
? F possède une limite finie en +∞ ssi F est majorée
? sinon limx→+∞ F (x) = +∞
Théorème (Intégrales de Riemann).
1.
Z +∞
1
2.
Z 1
0
dx
converge ssi α > 1 ;
xα
dx
converge ssi α < 1.
xα
Démonstration. • Si α 6= 1, une primitive de t 7−→ t−α est t 7−→ (−α + 1)−1 t−α+1
• Pour 0 < x < 1 < y,
Z y
1
Z 1
x
!
dt
1
1
=
1 − α−1 , si α 6= 1,
α
t
α−1
y
dt
1
1−α
=
1
−
x
, si α 6= 1,
tα
1−α
Z y
1
Z 1
x
dt
= ln y,
t
dt
= − ln x
t
• Par conséquent,
lim
Z y
y→+∞ 1
lim
Z 1
x→0 x
Remarque(s). •
1
dt
=
,
α
t
α−1
dt
1
=
,
tα
1−α
Z +∞
0
si α > 1,
lim
Z y
y→+∞ 1
si α < 1,
lim
Z 1
x→0 x
dx
est divergente pour tout α !
xα
2
dt
= +∞,
tα
dt
= +∞,
tα
si α ≤ 1,
si α ≥ 1.
Théorème (Comparaison). On suppose que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ≥ a.
1. Si l’intégrale de g sur [a, +∞[ est convergente, alors celle de f aussi
2. Si l’intégrale de f sur [a, +∞[ diverge, celle de g aussi
• f (x) =
Z +∞
1
sin2 (x)
sur
[1,
+∞[
;
on
a
0
≤
f
(x)
≤
.
Donc
f (t) dt est convergente.
x2
x2
1
Corollaire. Soient f et g deux fonctions positives sur [a, +∞[.
1. Si limx→+∞
Z +∞
Z +∞
f (x)
g(t) dt ont même nature.
f (t) dt et
= l > 0, alors
g(x)
a
a
2. Si limx→+∞
Z +∞
Z +∞
f (x)
= 0,
g(t) dt converge implique que
f (t) dt converge.
g(x)
a
a
3. Si limx→+∞
Z +∞
Z +∞
f (x)
f (t) dt diverge.
g(t) dt diverge implique que
= +∞,
g(x)
a
a
Exemple(s). •
Z ∞
e−αt dt converge pour tout α > 0 puisque x2 e−αx −→ 0 si x → ∞.
0
•
Z ∞
2
2
e−x dx converge car ex e−x −→ 0 si x → +∞.
0
3. Fonctions quelconques.
Proposition. Soit f : [a, +∞[−→ R continue par morceaux.
Si
Z +∞
|f (x)| dx converge alors
Z +∞
f (x) dx converge également.
a
a
Remarque(s). • On dit que l’intégrale de f est absolument convergente.
Z ∞
• On peut avoir
|f (x)| dx divergente et
a
est semi-convergente.
Z ∞
f (x) dx convergente ; on dit que
a
Z ∞
f (x) dx
a
Démonstration. • 0 ≤ |f (x)| − f (x) ≤ 2|f (x)| est intégrable
• il suffit d’écrire f (x) = |f (x)| − (|f (x)| − f (x)) !
Remarque(s). Si f est bornée sur ]a, b[ avec a et b réels, alors
Z b
|f (x)| dx converge.
a
Exemple(s). •
Z +∞
0
sin x
dx est semi-convergente.
x
? f est bornée sur ]0, 1[ car | sin x| ≤ |x| pour tout réel x.
? Sur [1, +∞[ on fait une IPP
Z z
1
sin x
cos x
dx = −
x
x
3
x=z
x=1
−
Z z
1
cos x
dx.
x2
? Le premier terme tend vers cos 1 quand z → ∞
? la dernière intégrale est absolument convergente.
• On a
Z +∞
1
Z nπ
π
| sin x|
dx divergente puisque
x
n Z kπ
n
n
X
X
X
| sin x|
| sin x|
1 Z kπ
1 Zπ
dx ≥
dx ≥
| sin x| dx =
| sin x| dx
x
x
k=1 (k−1)π
k=1 kπ (k−1)π
k=1 kπ 0
• Plus généralement,
Z +∞
1
Z +∞
cos x
sin x
dx et
dx sont :
α
x
xα
1
? absolument convergentes pour α > 1 ;
? semi-convergentes pour 0 < α ≤ 1.
2012/2013 : fin du cours 7
Pas fait
Proposition (Critère d’Abel). Soient f et g continues par morceaux sur [a, +∞[. On suppose que f est décroissante avec limx→+∞ f (x) = 0 et qu’il existe K ≥ 0 tel que
∀x ≥ a,
Z x
g(t) dt
a
Alors
Z +∞
f (x)g(x) dx est convergente.
a
4
≤ K.