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Lycée Berthollet, 2014/2015 http://mpberthollet.wordpress.com MP Résumé 08 : Intégrale Généralisée R EMARQUES : Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, E un espace vectoriel de dimension finie n sur K muni d’une base B = (e1 , . . . , ep ), I un intervalle de R. ......................................................................................................................................................................................................................... 1 c § 1. Convergence d’une intégrale impropre.— Si f est une application contiZ b nue par morceaux sur [a, b[, où b ∈ R̄, l’intégrale f (t)dt est dite convergente a Z x lorsque x 7−→ f (t)dt admet une limite finie ` quand x tend vers b. Dans ce a b Z Z x f (t)dt. . f (t)dt = lim x→b a 2. Intégrales doublement impropres : Lorsque f est continue par morceaux sur Rb Rc ]a, b[, on dit que l’intégrale f converge lorsqu’il existe c ∈]a, b[ tel que f et Rb I NTÉGRALES GÉNÉRALISÉES cas, on pose 1. La nature de l’intégrale (i.e sa divergence oiu sa convergence) ne dépend que du comportement local de f en b. a a f convergent. § 2. Quelques propriétés.— de l’intégrale généralisée. Propriétés 1.2 Rb L’ensemble des f : [a, b[→ E continues par morceaux telles que a f converge 0 ([a, b[, E). De plus, sur cet espace, l’appliest un sous-espace vectoriel de Cm Rb cation f 7−→ a f est une forme linéaire. a Proposition 1.3 On parle alors d’intégrale impropre en b, ou d’intégrale généralisée. L’intégrale est dite divergente lorsqu’elle n’est pas convergente. La définition s’étend évidemment aux intervalles de la forme ]a, b]. Si f est continue sur [a, b[, et si l’intégrale converge, alors F : x 7−→ est de classe C 1 et F 0 = −f . Rb x f (t)dt E XEMPLES : Z 1. 1 1 dt √ est convergente, car t 7−→ √ est continue sur ]0, 1], et que sa primitive t t 0 Z 1 √ dt t 7−→ 2 t admet une limite finie en 0+ . Ainsi, √ =2 t 0 Z 2. 1 +∞ dt √ , ainsi que t Z +∞ cos tdt sont divergentes. 0 Proposition 1.1 (Indifférence de la borne inférieure) Si f est continue par morceaux sur [a, b[, l’intégrale impropre est convergente Z b si et seulement si il existe c ∈]a, b[ tel que f est convergente. Dans ce cas, § 3. Intégrabilité.— On introduit ici une hypothèse plus forte sur f que la seul convergence de son intégrale. Définition 1.4 Une fonction f ∈ C 0 ([a, b[, E) est dite intégrable sur [a, b[ lorsque converge. On notera L 1 (I, E) l’ensemble de ces fonctions. Z b |f | a R EMARQUES : Z On utilise indifféremment “f est intégrable” et “ b f converge absolument”. a c Z b Z f= a c Z f+ a Théorème 1.5 b f. c Si f ∈ C 0 ([a, b[, E) est intégrable, alors Z b f converge. a Résumé N °8 : Intégrale Généralisée Page 1/3 Lycée Berthollet, 2014/2015 http://mpberthollet.wordpress.com MP R EMARQUES : R EMARQUES : Il n’y a pas d’équivalent de la divergence grossière ici, i.e qu’une fonction peut être intégrable sur R+ et ne pas tendre vers 0 en +∞. En revanche, si elle admet une limite finie en +∞, celle-ci est nulle. Dans ce cas, on a Z b x Z f = a f (t)dt lim x→b− a Z = E XEMPLES : n→+∞ I Intégrales de Riemann Z +∞ dx • converge ⇐⇒ α > 1. α x 1 Z b • Si a < b, +∞ Z • 1 Z 0 a = Z0 +∞ I Z0 I R dx converge ⇐⇒ α < 1. (x − a)α o f, où [a, b] ⊂ I . Enonçons quelques théorèmes de comparaisons. Vous remarquerez un fait essentiel : la fonction de référence est toujours positive. dx diverge toujours. xα eαx dx converge ⇐⇒ α > 0. dt converge. 1 + t2 ......................................................................................................................................................................................................................... 2 nZ a b a ln converge. I sup bn f (t)dt lim C AS DES FONCTIONS POSITIVES Soit f, g : [a, b[→ R continues par morceaux, et g à valeurs positives. Z b Z b I Si 0 6 f 6 g et si g converge, alors f converge. Rab R ba I Si f = Ob (g) et si a g converge, alors a f converge. I Si b = +∞ et s’il existe α > 1 tel que xα f (x) −−−−−→ ` ∈ R, x→+∞ Z +∞ alors f converge. a Z b Z b I Si f ∼b g, alors g converge ⇐⇒ f converge. a a Evidemment, l’intégrale d’une fonction positive converge si et seulement si elle est intégrable. Théorème 2.1 Si f est continue par morceaux sur [a, b[ et POSITIVE, Z b x Z f converge ⇐⇒ x 7−→ ⇐⇒ f est intégrable. Z bn lim f existe et est réelle quand bn → b a f (t)dt est majorée. § 1. Deux outils essentiels.— Ils permettent de transformer une intégrale donnée en intégrlae plus simple. S’inspirer des résumés de Michel A. pour ce paragraphe. a ⇐⇒ ⇐⇒ n→+∞ nZ a Résumé N °8 : Intégrale Généralisée Proposition 2.2 Si f et g sont de classe C 1 sur [a, b] à valeurs dans K, alors a b f, où [a, b] ⊂ I o Z est majoré. a b b f (t)g(t)dt = f (t)g(t) a − 0 Z b f (t)g 0 (t)dt. a Page 2/3 Lycée Berthollet, 2014/2015 http://mpberthollet.wordpress.com MP E XEMPLES : Z sin t dt, et de celle de la divert On se souviendra de la preuve de la convergence de R+ Z gence de R+ | sin t| dt. D’une manière générale (mais ce n’est pas une régle absolue), t on sera bien inspiré pour prouver la convergence d’un intégrale semi-convergente, d’effectuer une intégration par parties afin d’obtenir une nouvelle intégrale, mais cette fois-ci d’une fonction absolument convergente. ANNEXE ......................................................................................................................................................................................................................... A L A PREUVE À CONNAITRE ... Z +∞ sin t I La semi-convergence de dt. t 0 ......................................................................................................................................................................................................................... B Q UELQUES EXERCICES CLASSIQUES E XERCICES : Proposition 2.3 (Changement de variable) Soit f continue de ]a, b[ dans K, et ϕ :]α, β[→]a, b[ bijective, strictement croissante, et de classe C 1 . Z b Z β Les intégrales f (t)dt et f ◦ ϕ(s)ϕ0 (s)ds sont de même nature, et égales a CCP- Analyse 47 Si f : [0, 1] → R est de classe C 1 , alors en notant Sn = n−1 1X k f n n Z Sn − α en cas de convergence. , il existe une constante K telle que k=0 0 1 K f (t)dt 6 . n On appliquera ce théorème sans justifier lorsque ϕ est affine, exponentielle, puissance ou logarithme. E XERCICES : § 2. Intégration des relations de comparaison.— On se fixe une fonction f ∈ C 0 ([a, b[, R) positive, et g ∈ C 0 ([a, b[, R). b Z I Cas de divergence - On suppose ici que 1. Si g(x) = O f (x) en b− , alors 2. Si g(x) = o f (x) en b− , Z Z f diverge, i.e que a x g(t)dt = O a x 3. Si g(x) ∼ f (x) en Z a x g(t)dt = o quand x → b− . quand x → b− . f (t)dt x dt . ln t 1. Montrer que H est C 1 sur ]1, +∞[ et calculer sa dérivée. 1 1 − admet une limite finie 2. Montrer que la fonction u définie par u(x) = ln x x−1 en x = 1. 3. Calculer la limite en 1+ de H. a x x Z f (t)dt quand x → b− . g(t)dt ∼ alors x→b f (t)dt a b− , a f (t)dt −−−→ +∞. Alors x Z Z alors Rx CCP- Analyse 56 On considère la fonction H définie sur ]1, +∞[ par H(x) = Z x2 a a Z I Cas de convergence - On suppose ici que b f converge, i.e que x 7−→ Rx a f (t)dt est bornée a sur [a, b[. Alors 1. Si g(x) = O f (x) en 2. Si g(x) = o f (x) en b− , b− , Z b alors Z g(t)dt = O x b alors Z g(t)dt = o x b quand x → b− . f (t)dt quand x → b− . x Z g(t)dt ∼ x Résumé N °8 : Intégrale Généralisée b b f (t)dt Z x 3. Si g(x) ∼ f (x) en b− , alors Z b f (t)dt quand x → b− . x Page 3/3