Séries à termes positifs

UFR SFA, Licence 2e année, MATH326
Séries à termes positifs
• Dans ce chapitre, un Ø 0, pour tout n, et on étudie
• On a Sn ≠ Sn≠1 = un Ø 0 : (Sn ) est croissante !
q
un .
1. Généralités.
Proposition. Soit (un )nØ0 une suite de réels positifs.
q
un converge ssi les sommes partielles sont majorées i.e il existe K Ø 0 tel que
’n Ø 0,
• Si un Ø 0 et
q
Sn =
2. Si
q
q
k=0
uk = u0 + . . . + un Æ K
un diverge on a Sn æ +Œ : on écrit parfois
Théorème (Comparaison). Soient
pour tout n Ø 0, 0 Æ un Æ vn .
1. Si
n
ÿ
vn cv, alors
un dv, alors
q
q
q
un cv et 0 Æ
vn dv.
un et
q
nØ0
q
q
nØ0
un = +Œ.
vn deux séries à termes positifs telles que,
un Æ
q
nØ0
vn .
Remarque. Il suffit d’avoir l’inégalité 0 Æ un Æ vn vérifiée pour tout n Ø n0 , pour obtenir
la conclusion du théorème.
Démonstration. On a Sn =
q
0ÆkÆn
uk Æ Tn =
q
0ÆkÆn
vk
• Si (Tn ) est majorée, il en va de même de (Sn )
• Si (Sn ) n’est pas majorée, (Tn ) ne l’est pas non plus
2012/2013 : fin du cours 3
Remarque. Retour sur ACV implique CV
• Cas un réel. Notons vn = |un | ≠ un . D’après l’inégalité triangulaire, vn = |vn | Æ 2|un |.
q
q
vn cv. Comme un = |un | ≠ vn , un est convergente.
• Cas un œ C : un = an + ıbn . On a |an | Æ |un | et |bn | Æ |un |.
1
q
an et
Ph.
q
bn sont ACV.
Pas fait
Briand, 2012/2013
Corollaire. Soient (un ) à termes positifs et (vn ) à termes strictement positifs.
un
q
q
= l > 0 alors un et vn ont même nature.
vn
un
q
q
2. Si lim
= 0 et vn cv alors un cv.
vn
1. Si lim
- un
n0 , --
1. Il existe n0 tq, pour n Ø
Démonstration.
vn
2. Il exite n0 tq, pour n Ø n0 , un Æ vn .
≠ l--
Æ
l
l
3l
soit un Æ vn Æ un .
2
2
2
• Bien penser aux équivalents pour les séries à termes positifs !
Exemple.
1. un =
1
1
un
q
q
,
v
=
.
lim
=
1
:
v
cv
donc
un cv.
n
n
n2
n(n + 1)
vn
3
1
1
2. un = , vn = ln 1 +
n
n
3. un =
1
,
n3
vn =
1
.
n2
4
:
q
vn dv donc
On vient de voir que
q
q
un dv
vn cv ; par suite,
q
un cv
2. Comparaison à une série géométrique.
Théorème (Règle de d’Alembert). Soit
un+1
suppose que lim
= l.
un
1. Si l < 1, la série
2. si l > 1, la série
q
q
q
un une série à termes strictement positifs. On
un converge ;
un est GDV
• Si l = 1 on ne peut rien dire !
ı un = 1/n :
q
ı un = 1/n2 :
un dv
q
un cv
Démonstration. On écrit, pour n Ø n0 ,
un =
un
un≠1
un +1
◊
◊ . . . ◊ 0 ◊ un0 .
un≠1 un≠2
un0
• Dans le premier cas, il existe n0 et k < 1 tels que, pour tout n Ø n0 ,
un+1
Æ k,
un
et
un Æ k n≠n0 un0 .
• Dans le second cas, il existe n0 et k > 1 tels que, pour n Ø n0 , un+1 /un Ø k et
un+1
Æ k,
un
et
un Ø k n≠n0 un0 Ø un≠0 > 0.
2
Exemple. Étude de la série de t.g. un = n2 xn .
• Si x = 0, un = 0 ! Rien à faire !
• Pour x ”= 0, Il ne s’agit pas nécessairement d’une série à termes positifs. On regarde
|un+1 |
l’ACV : on a lim
= |x| ; d’après la règle de d’Alembert
|un |
ı Si |x| < 1, la série
ı Si |x| > 1,
q
q
un est ACV
|un | est GDV donc
q
un est aussi GDV
ı Si |x| = 1, on ne peut pas conclure. Mais |un | = n2 æ Œ donc
Théorème (Règle de Cauchy). Soit
Ô
que lim n un = l.
1. Si l < 1,
2. Si l > 1,
q
q
q
q
un est GDV
un une série à termes positifs ou nuls. On suppose
un est convergente
un est GDV
• Rappel, si un > 0,
Ô
n
un = u1/n
= eln(un )/n .
n
Ô
1. Il existe n0 et k < 1 t.q. pour n Ø n0 , n un Æ k soit un Æ k n .
Ô
2. Il existe n0 et k > 1 t.q. pour n Ø n0 , n un Ø k soit un Ø k n ≠æ +Œ.
Démonstration.
• On utilise cette règle quand un comporte des puissances n-ièmes.
Exemple. Étude de la série de t.g. un = xn /nn . Ce n’est pas une série à termes positifs, on
q
Ô
étudie d’abord l’ACV. On a n un = |x|/n ≠æ 0. D’après le critère de Cauchy, la série un
est ACV.
3. Comparaison à une série de Riemann.
Définition. Soit – un réel. La série de terme général
Théorème. La série de tg
1
est convergente ssi – > 1.
n–
Démonstration. • Si – Æ 0,
1
ne tend pas vers 0 : la série est GDV
n–
• Si 0 < – Æ 1. Pour tout n Ø 1,
n = n– ◊ n1≠– Ø n– ,
Nous avons vu que
ÿ
1
s’appelle la série de Riemann.
n–
1
1
Æ –.
n
n
ÿ 1
1
dv il en va de même de
n
n–
3
1
• Soit – > 1. Considérons la fonction f (x) = ≠ –≠1 définie sur ]0, +Œ[. L’égalité des AF
x
donne, pour tout n Ø 2, l’existence d’un c tel que n ≠ 1 < c < n et
1
1
–≠1
–≠1
Õ
≠
=
(n
≠
(n
≠
1))f
(c)
=
Ø
(n ≠ 1)–≠1 (n)–≠1
c–
n–
f (n) ≠ f (n ≠ 1) =
1
1
1
ı Puisque – ≠ 1 > 0, lim –≠1 = 0, la série télescopique de t.g.
≠
n
(n ≠ 1)–≠1
n–≠1
converge.
–≠1
ı Il en va de même de la série de t.g.
n–
ÿ 1
ı Par conséquent la série
est cv si – > 1.
n–
• Il faut connaître le résultat sur les séries de Riemann par cœur ! !
Critère de Riemann. Soit
1. Si lim n– un = l > 0,
q
q
un cv ssi – > 1.
2. Si – > 1 et lim n– un = 0,
3. Si lim nun = +Œ,
q
un une série à termes positifs ou nuls et soit – Ø 0.
q
un cv.
un est divergente.
2012/2013 : fin du cours 4
Démonstration. • Csq du théorème de comparaison !
ı Cas 1 :
q
un et
q ≠–
n
ont même nature
ı Cas 2 : pour n Ø n0 , un Æ n≠– .
ı Cas 3 : pour n Ø n0 , un Ø n≠1 .
Exemple.
1. Étude de la série de t.g. un =
• n 2 un =
•
q
e2 ln n
eln n ln(ln n)
1
(ln n)ln n
= eln n(2≠ln(ln n)) ≠æ 0 ;
un est convergente puisque 2 > 1
2. Série harmonique alternée — On étudie la série de terme général un =
pour tout n Ø 1,
S2n
3
n
ÿ
1 1 1 1
1
1
1
1
= ≠ + ≠ + +...≠
+
=
≠
+
1 2 3 4
2n ≠ 1 2n k=1
2k ≠ 1 2k
4
4
=
n
ÿ
k=1
(≠1)n
. On a,
n
≠
1
.
2k(2k ≠ 1)
n2
1
≠æ , le critère de Riemann montre que S2n converge vers l œ R.
2n(2n ≠ 1)
4
D’autre part, nous avons, pour n Ø 1,
Puisque
S2n+1 = S2n ≠
1
≠æ l
2n + 1
Comme (S2n ) et (S2n+1 ) converge vers l, lim Sn = l. La série
ÿ -- (≠1)n -- n -
ÿ
(≠1)n
est convergente.
n
1
est divergente, la série harmonique alternée
n
est une série semi-convergente. On verra que la valeur de la somme est ≠ ln(2).
Comme d’autre part,
=
ÿ
4. Comparaison à une intégrale.
• Soit n0 œ N et f : [n0 , +Œ[≠æ R une fonction positive et décroissante.
• Pour n Ø n0 , on note
Sn =
n
ÿ
f (k),
Fn =
k=n0
⁄ n
n0
f (t) dt.
ı (Sn )nØn0 et (Fn )nØn0 sont croissantes et positives.
• Soit k Ø n0 . Puisque f est décroissante,
’t œ [k, k + 1],
f (k + 1) Æ f (t) Æ f (k),
et, en intégrant,
f (k + 1) =
⁄ k+1
k
f (k) dt Æ
⁄ k+1
k
f (t) dt Æ f (k) =
⁄ k+1
k
f (k) dt
• On fait la somme de ces inégalités de k = n0 à k = n ≠ 1, pour obtenir
f (n0 + 1) + . . . + f (n) Æ
⁄ n
n0
f (t) dt Æ f (n0 ) + . . . + f (n ≠ 1),
soit encore, puisque f est positive,
Sn ≠ f (n0 ) Æ Fn Æ Sn ≠ f (n) Æ Sn
• En résumé, pour tout n Ø n0 ,
Fn Æ Sn Æ Fn + f (n0 ).
Proposition. Soient n0 un entier et f : [n0 , +Œ[ positive et décroissante.
q
La série f (n) converge ssi la suite (Fn )nØn0 converge .
• Comme f est positive, (Fn )nØn0 est croissante
5
(*)
• Donc (Fn )nØn0 converge ssi elle est majorée !
Démonstration. • (Sn ) et (Fn ) sont croissantes
• Via (*), (Sn ) est majorée ssi (Fn ) l’est
q ≠–
n
Exemple. • Montrons que
converge pour – > 1.
• x ‘≠æ n≠– est positive et décroissante sur [1, +Œ[ et
Fn =
⁄ n
• Comme – > 1, Fn ≠æ
1
≠–
t
3
2
1 1 1≠–
1
1
dt =
n
≠1 =
1 ≠ –≠1
1≠–
–≠1
n
4
1
.
–≠1
Séries de Bertrand. On étudie la série de t.g. un =
• Si – > 1, “ = (1 + –)/2 > 1 et n“ un =
de Riemann
1
1
pour – et — réels.
n– (ln n)—
n(–≠1)/2 (ln n)—
≠æ 0 :
q
un cv d’après le critère
n1≠–
q
• Si – < 1, nun =
≠æ +Œ : un dv d’après le critère de Riemann.
—
(ln n)
• Cas – = 1
ı — Æ 0 : un Ø
1
q
et un dv
n
1
est positive et décroissante sur [2, +Œ[. La série
x(ln x)—
⁄ +Œ
dt
q
un a même nature que
. Or pour tout x Ø 2, t = es ,
t(ln t)—
2
ı — > 0 : la fonction x ‘≠æ
F (x) =
⁄ x
2
Y
⁄ ln x
dt
ds ]ln ln1x ≠ ln ln 2,
2
=
=[ 1
1
1
t(ln t)—
ln 2 s—
≠
,
—≠1
—≠1
1≠— (ln x)
(ln 2)
ı — > 0 : F est majorée ssi — > 1.
• En conclusion,
1. – > 1 :
ÿ
1
n– (ln n)—
converge pour tout —
1
diverge pour tout —
n– (ln n)—
ÿ
1
3. – = 1 :
converge ssi — > 1
n(ln n)—
2. – < 1 :
ÿ
6
si — = 1,
si — =
” 1>0