Chapitre 14

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Chapitre 14
Chapitre 14
S ÉRIES DE F OURIER
Mohamed TARQI
Table des matières
1 Introduction : analyse de Fourier
1
2 Généralités
2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3 Convergence en moyenne quadratique
3.1 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Un exemple d’espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
10
4 Développement en série de Fourier
4.1 Convergence Ponctuelle : Cas particuliers . . . .
4.2 Convergence ponctuelle : Théorème de Dirichlet
4.3 Exemples de développements . . . . . . . . . . .
4.4 Premier théorème de Weierstrass . . . . . . . . .
15
15
17
19
20
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•••••••••
1 Introduction : analyse de Fourier
Analyse de Fourier, méthode mathématique utilisée pour décomposer une fonction complexe
en somme de fonctions périodiques.
Pour décrire la propagation de la chaleur, le mathématicien français Joseph Fourier a introduit
une méthode mathématique consistant à décomposer une fonction quelconque en une somme
de fonctions sinusoïdales, d’amplitudes différentes et de longueurs d’onde harmoniques, c’està-dire des sous-multiples d’une même longueur d’onde dite fondamentale. L’image concrète
de cette méthode est donnée par la surface complexe d’un océan qu’on peut décrire comme résultant de la composition de vagues (les fonctions sinusoïdales), de hauteurs (les amplitudes)
et de distances entre vagues (les longueurs d’onde) différentes. Cette méthode qui permet aussi
de représenter une fonction discontinue par une somme d’une infinité de fonctions continues
(série de Fourier) a d’abord été rejetée par les mathématiciens de l’époque que cette idée choquait. La rigueur mathématique de la méthode de Fourier a finalement été démontrée par le
physicien Josiah Gibbs1 en 1899.
1
Physicien américain (1876 - 1878), par ses travaux fondamentaux sur la thermodynamique étendue à la chimie,
fonde la chimie physique. Il élabore notamment la règle des phases, qui décrit l’équilibre de systèmes hétérogènes
1
C HAPITRE 14
S ÉRIES
DE
F OURIER
L’intérêt des séries de Fourier réside principalement dans leur application à la résolution des
équations complexes qui régissent l’évolution de nombreux systèmes physiques. Elles peuvent
aussi bien être appliquées à une fonction analytique qu’à une fonction connue numériquement.
Dans ce dernier cas, on utilise des algorithmes dits de transformée de Fourier rapide (FFT : Fast
Fourier Transform). L’analyse de Fourier est d’une telle richesse qu’elle est devenue un outil
indispensable de la physique actuelle et tout particulièrement de la physique des particules.
Elle permet, entre autres, de comprendre la décomposition et la diffraction des ondes électromagnétiques, comme la lumière visible. Appliquée à la diffraction des rayons X, elle a permis
notamment la découverte de la structure en double hélice des molécules d’ADN (voir cristallographie). Elle est applicable plus généralement dans tous les domaines faisant intervenir des
ondes et notamment dans le cas de la décomposition d’un son quelconque en une somme de
sons purs. En éliminant certaines sinusoïdes, donc certaines longueurs d’onde ou certaines fréquences (la fréquence étant l’inverse de la longueur d’onde), on peut ainsi filtrer un son (ou
une image) du bruit de fond.
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2 Généralités
2.1 Rappels et notations
2π l’ensemble des applications de R dans C, 2π périodiques et continues par morOn note Cm
2π , formé des applications de R dans C, continues et
ceaux. On note C 2π le sous-ensemble de Cm
2π périodiques.
2π , muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, est un espace
On rappelle que Cm
vectoriel sur le corps des nombres complexes C.
Si f est une fonction T -périodique, on peut se ramener à une fonction 2π-périodique en posant :
T
g(x) = f
x .
2π
Si f : R −→ C est une fonction réglée et 2π-périodique, alors ∀a ∈ R,
Z
et si f est paire, alors
a+2π
f (t)dt =
a
Z
2π
f (t)dt = 2
0
et si f est impaire, alors
Z
2π
f (t)dt =
0
Remarque :
Z
Z
2π
f (t)dt
0
Z
π
f (t)dt
0
π
f (t)dt = 0.
−π
On peut munir l’espace vectoriel C 2π d’une norme en posant, pour tout f ∈ C 2π :
1
kf k1 =
2π
Z
2π
|f (t)|dt.
0
formés de plusieurs parties aux propriétés différentes.
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DE
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2.2 Coefficients de Fourier
Définition 2.1 Soient f : R −→ C une fonction réglée et 2π-périodique et n ∈ Z, on appelle coefficient
de Fourier2 d’indice n le nombre complexe, noté fb(n) ou cn (f ), défini par :
Z π
1
b
f (n) = cn (f ) =
f (t)e−int dt.
2π −π
On définit aussi les coefficients de Fourier trigonométriques de f , notés an (f ) et bn (f ) par :
Z
Z
1 2π
1 2π
an (f ) =
f (t) cos ntdt et bn (f ) =
f (t) sin ntdt.
π 0
π 0
Remarques :
• b0 (f ) = 0.
1
• c0 (f ) =
2π
Si f : R −→ C est une fonction réglée et 2π-périodique, on a :
Z
2π
f (t)dt est la valeur moyenne de f sur [0, 2π].
Z
2 π
• Si f est paire, alors ∀n ∈ N, bn (f ) = 0 et an (f ) =
f (t) cos ntdt.
π 0
Z
2 π
• Si f est impaire, alors ∀n ∈ N, an (f ) = 0 et ∀n ∈ N∗ bn (f ) =
f (t) sin ntdt.
π 0
0
Proposition 2.1 Soit f une fonction réglée et 2π-périodique, alors on a :
∀n ∈ N, an (f ) = cn (f ) + c−n (f ).
∀n ∈ N, cn (f ) = 12 (an (f ) − ibn (f )).
et
∀n ∈ N, bn (f ) = i(cn (f ) − c−n (f )).
∀n ∈ N, c−n (f ) = 12 (an (f ) + ibn (f )).
Démonstration :
Pour tout n ∈ N, on a :
Z
Z 2π
1 2π
1
an (f ) =
f (t) cos ntdt =
f (t)(eint + e−int )dt = c−n (f ) + cn (f ).
π 0
2π 0
et ∀n ∈ N
1
bn (f ) =
π
Z
0
2π
i
f (t) sin ntdt =
2π
∀n ∈ N
cn (f ) =
1
2π
Z
2π
0
Z
2π
f (t)(−eint + e−int )dt = i(cn (f ) − c−n (f )).
0
1
f (t)e−int dt = (an (f ) − ibn (f )).
2
2
Fourier, Joseph, baron Fourier, Joseph, baron (1768-1830), mathématicien français connu pour la découverte des séries trigonométriques qui portent son
nom. Né à Auxerre, il fit ses études au monastère de Saint-Benoît-sur-Loire. Il
enseigna en 1795 à l’École normale où il avait été étudiant, et à l’École polytechnique de Paris de 1795 à 1798, puis il rejoignit la campagne d’Égypte de
Bonaparte. De retour en France en 1802, il publia d’importants travaux sur les
antiquités égyptiennes et occupa le poste de préfet de l’Isère jusqu’en 1815. En
1808, Napoléon lui donna le titre de baron. En 1816, il fut élu à l’Académie des
sciences et, en 1827, à l’Académie française. Il doit sa réputation à ses travaux
sur les mathématiques et sur la physique mathématique. Dans son traité sur
la Théorie analytique de la chaleur (1822), il utilisa une série trigonométrique,
appelée la série de Fourier, qui permet d’exprimer des fonctions discontinues
comme somme d’une série infinie de sinus et de cosinus.
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F ourier
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et
c−n (f ) =
1
2π
Z
2π
0
DE
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1
f (t)eint dt = (an (f ) + ibn (f )).
2
u
t
Remarque : Soit B(Z, C) l’espace vectoriel des suites complexes définies sur Z et bornées, et
F l’application définie par :
F : C 2π −→ B(Z, C)
f
7−→ F (f ) = fb
2π ,
F est une application linéaire, continue de (C 2π , k.k1 ) dans B(Z, C), k.k∞ ), puisque ∀f ∈ Cm
on a pour tout entier relatif n :
Z 2π
Z 2π
1
1
−int |F (f )(n)| = |cn (f )| = f (t)e
dt ≤
|f (t)|dt = kf k1
2π 0
2π 0
d’où
kF (f )k∞ ≤ kf k1 et kF k ≤ 1.
De plus kF k = 1, car pour f = 1, on a kF (f )k∞ = 1.
Proposition 2.2 Soit f : R −→ C une fonction réglée et 2π-périodique.
1. ∀n ∈ Z, cn (f ) = c−n (f ), en particulier : ∀n ∈ N, an (f ) = an (f ) et bn (f ) = bn (f ).
2. Si de plus f continue sur R et C 1 par morceaux sur R, alors cn (f 0 ) = incn (f ).
Démonstration :
Z 2π
Z 2π
1
1
−int
1. ∀n ∈ Z, cn (f ) =
f (t)e
dt =
f (t)eint dt = c−n (f ).
2π 0
2π 0
2. Une intégration par parties fournit, pour tout n ∈ Z,
Z 2π
Z 2π
1
1
1
0
0
−int
int 2π
cn (f ) =
f (t)e
dt =
[f (t)e ]0 + in
f (t)e−int dt = incn (f )
2π 0
2π
2π 0
Lemme 2.1 ( de Lebesgue )
réglée. Alors
3
u
t
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f : [a, b] −→ C une fonction
lim
Z
λ→+∞ a
b
f (t)eiλt dt = 0.
3
Lesesgue(Henri), mathématicien français (Beauvais 1875- Paris 1941). Il est
l’auteur d’une théorie de l’intégration placée dans le cadre d’une théorie de
la mesure. Le petit larousse.
Lebesgue
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Démonstration :
S ÉRIES
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La propriété est claire si f = 1, puisque :
Z b
iλb
e − eiλa iλt
≤ 2
e dt = |λ|
iλ
a
Donc, par linéarité et la relation de Chasles, la propriété est vraie pour toutes les fonction en
escalier sur [a, b].
Soit maintenant, f : [a, b] → C réglée, alors pour tout ε > 0, il existe ϕ en escalier sur [a, b] tel
que
kf − ϕk∞ ≤ ε.
On a alors, pour tout réel λ > 0 :
Z b
Z b
(f − ϕ)(t)eiλt dt ≤
|f (t) − ϕ(t)| dt ≤ (b − a)ε,
a
a
d’autre part, il existe λ0 > 0 tel que ∀λ ≥ λ0 on a :
Z b
iλt ϕ(t)e ≤ ε.
a
On obtient ainsi, ∀λ ≥ λ0 ,
Z b
Z b
Z b
iλt iλt iλt f (t)e dt ≤ (f (t) − ϕ(t))e dt + ϕ(t)e dt ≤ (1 + (b − a))ε
a
a
a
ce qui preuve que
lim
Z
λ→+∞ a
b
f (t)eiλt dt = 0.
u
t
Remarque : Si f : [a, b] → R une fonction réglée, alors
Z b
Z b
lim
f (t) cos λt = lim
f (t) sin λt = 0.
λ→+∞ a
λ→+∞ a
Corollaire 2.1 Si f est une fonction réglée et 2π-périodique, alors lim cn (f ) = 0
n→∞
Définition 2.2 Soit f une fonction réglée et 2π-périodique. On appelle série de Fourier de f la série
∞
P
d’applications
un (f ) où
n=0
u0 (f ) : R −→ C
t 7−→ c0 (f )
et
un (f ) : R −→ C
t 7−→ cn (f )eint + c−n (f )e−int
La somme partielle de la série de fourier de f d’ordre p ∈ N est l’application Sp (f ) : R → C
définie par :
p
X
∀t ∈ R, Sp (f )(t) =
cn (f )eint .
n=−p
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Remarque : Calculons Sp (f ) en fonction de an (f ) et bn (f ) : on a
Sn (f )(t) =
p
X
cn (f )eint
n=−p
=
−1
X
cn (f )eint + c0 (f ) +
n=−p
=
a0 (f )
+
2
p
X
cn (f )eint
n=1
p
X
(an (f ) cos nt + bn (f ) sin nt)
n=1
3 Convergence en moyenne quadratique
3.1 Espace de Hilbert
Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien sur K ( K = R ou C ), k.k désigne la norme associée au
produit scalaire.
Définition 3.1 On dit que (E, (.|.)) est un espace de Hilbert si (E, k.k) est complet.
Exemples :
1. Si n ∈ N∗ , Kn est espace de Hilbert pour le produit scalaire usuel.
P
|xi |2 < ∞} est un
2. Soit I un ensemble non vide d’indices. L’ensemble l2 (I) = {(xi )i∈I /
i∈I
P
espace de Hilbert pour le produit scalaire (x, y) 7−→ (x|y) =
xi yi
i∈I
Théorème 3.1 Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien et (ei )i∈I une famille orthonormale de
E. Pour tout x ∈ E la famille (|(ei |x)|2 )i∈I est sommable et sa somme vérifie l’inégalité :
X
|(ei |x)|2 ≤ kxk2
(Inégalité de Bessel)
i∈I
En particulier, si (en )n∈N est orthonormale, alors la série
P
|(en |x)|2 converge et lim (en |x) =
n∈N
0.
Démonstration : On note F = Vect{ei /i ∈ I} =
S
n→∞
FJ avec FJ = {ei /i ∈ J} et Pf (I)
J∈Pf (I)
l’ensemble de parties finies de I.
On désigne par PFJ la projection orthogonale sur FJ . Si x ∈ E, alors pour tout J ∈ Pf (I), on
d’après la relation de Pythagore,
X
|(ei |x)|2 = kPFJ (x)k2 ≤ kxk2 ,
i∈J
d’où le résultat par passage au borne supérieure.
u
t
Définition 3.2 Soit (ei )i∈I une famille orthonormée de vecteurs d’un espace préhilbertien (E, (.|.)).
On dit que la famille (ei )i∈I est totale si Vect{ei /i ∈ I} est dense dans (E, k.k).
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Théorème et définition 3.1 Soit (E, (.|.)) un espace préhilbertien et (ei )i∈I une famille orthonormale de E, les propositions suivantes sont équivalentes :
1. (ei )i∈I est totale.
2. Pour tout x ∈ E, x =
P
(ei |x)ei
i∈I
3. Pour tout x ∈ E, kxk2 =
P
|(ei |x)|2 ( égalité de Bessel ).
i∈I
Si l’une des propositions est satisfaite, on dit que (ei )i∈I est une base hilbertienne de E.
Les (ei |x) sont appelés coefficients de Fourier de x dans cette base hilbertienne.
Démonstration :
1) =⇒ 2) Soient x ∈ E et ε > 0, il existe y ∈ F tel que kx − yk ≤ ε. D’autre part il existe
J0 ∈ Pf (I) tel que y ∈ FJ0 et donc J0 ⊂ J ∈ Pf (I) entraîne y ∈ FJ et par suite
kx −
X
(ei |x)ei k = kx − PFJ (x)k ≤ kx − yk ≤ ε.
i∈J
2) =⇒ 3) Soient x ∈ E et ε > 0, alors il existe J ∈ Pf (I) tel que
kx −
X
(ei |x)ei k2 = kx − PFJ (x)k2 ≤ ε,
i∈J
alors
kxk2 = kx − PFJ (x)k2 + kPFJ (x)k2 ≤ ε +
X
|(ei |x)|2
i∈J
≤ ε+
X
|(ei |x)|2 ,
i∈I
on fait tendre ε vers 0 et on conclut avec l’inégalité de Bessel.
3) =⇒ 1) Soient x ∈ E et ε > 0, il existe J ∈ Pf (I) tel que :
kxk2 ≤
X
|(ei |x)|2 = kPFJ (x)k2 ≤ kxk2
i∈J
donc
kx − PFJ (x)k2 = kxk2 − kPFJ (x)k2 ≤ ε2
et PFJ (x) ∈ F .
u
t
Proposition 3.1 Si (ei )i∈I est une base hilbertienne de E, alors
∀x ∈ E, x =
X
xi ei =⇒ ∀i ∈ I, xi = (ei |x).
i∈I
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Démonstration : On suppose que (xi ei )i∈I est sommable de somme x, appliquons pour j ∈ I
la forme linéaire continue ϕj : y 7−→ (ej |y) :
(ej |x) = (ej |
X
xi ei ) =
i∈I
X
xi (ej |ei ) = xj .
i∈I
u
t
Théorème 3.2 Soit (E, (.|.)) un espace de Hilbert et (ei )i∈I une famille orthonormale de E,
F = Vect{ei /i ∈ I}. Alors la projection orthogonale PF sur F est définie par :
∀x ∈ E, PF (x) =
X
(ei |x)ei .
i∈I
Démonstration : F est un sous-espace fermé d’un espace de Hilbert, on peut donc projeter,
dans l’espace de Hilbert F muni de sa base hilbertienne (ei )i∈I , on a pour tout x ∈ E, PF (x) =
P
u
(ei |PF (x))ei , or ∀i ∈ I, (ei |PF (x)) = (ei |x).
t
i∈I
3.2 Un exemple d’espace préhilbertien
Notation : on note L(T) l’ensemble des fonctions réglées 2π-périodiques sur R, à valeurs complexes, et telles que
f (t+ ) + f (t− )
∀t ∈ R, f (t) =
.
2
on rappelle le résultat suivant :
Théorème 3.3 Soit f : [a, b] → R une fonction réglée positive. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
Z b
1.
f (t)dt = 0.
a
2. f s’annule sur l’ensemble de ses points de continuité.
3. L’ensemble des points où f s’annule pas est dénombrable.
Démonstration :
(1) =⇒ (2) Supposons que f admet un point de continuité x0 en lequel ne s’annule pas,
alors il existe α > 0 tel que ]x0 − α, x0 + α[⊂ [a, b] et tel que pour tout x ∈]x0 − α, x0 + α[
|f (x) − f (x0 )| <
Ainsi f est minorée par
f (x0 )
2
f (x0 )
sur ]x0 − α, x0 + α[, il en résulte que
2
Z b
Z x0 +α
f (x0 )
f (t)dt ≥
dt = αf (x0 ),
2
a
x0 −α
ce permet de conclure.
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(2) =⇒ (3) Soit (ϕn )n∈N une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément sur
[a, b] vers f . Pour tout n ∈ N, S
l’ensemble Dn des points de discontinuité de ϕn est fini, car
ϕ est en escalier. La reunion
Dn est donc dénombrable.
n∈N
S
Si x ∈ [a, b]\
Dn , les fonctions ϕn sont tous continues en x, et comme (ϕn )n∈N converge
n∈N
uniformément sur [a, b] vers f , donc f est aussi continue
au point x. Ainsi l’ensemble
S
Dn . Par hypothèse f s’annule sur
des points de discontinuité de f est inclus dans
n∈N
l’ensemble des ses points de continuité, donc l’ensemble des points où f ne s’annule pas
est dénombrable.
(3) =⇒ (1) Supposons que f ne s’annule pas sur [a, b]\D où D est dénombrable. Soit
ε > 0, alors il existe ϕ en escalier sur [a, b] telle que
Z b
Z b
ε
ε
kf − ϕk∞ ≤
et f (t)dt −
ϕ(t)dt ≤
2(b − a)
2
a
a
Soit (ai )0≤i≤n une subdivision adaptée à ϕ, pour tout i = 1, 2, ..., n, l’intervalle ]ai−1 , ai [
contient au moins un point ξi de [a, b]\D car D est dénombrable, et comme f (ξi ) = 0 par
ε
, on en déduit que
hypothèse, il s’ensuit que |ϕ(ξi )| <
2(b − a)
n
X
ε
(xi − xi−1 )ϕ(ξi ) ≤ ,
2
i=1
ainsi
Z b
Z b
Z b
Z b
f (t)dt ≤ f (t)dt −
ϕ(t)dt + f (t) ≤ ε.
a
a
a
a
Z b
ε étant arbitraire, on conclut que
f (t)dt = 0.
u
t
a
Pour (f, g) ∈ L(T), on pose
1
(f, g) → (f |g) =
2π
Z
2π
f (t)g(t)dt.
0
Proposition 3.2 (L(T), (.|.)) est un espace préhilbertien complexe.
Démonstration : Il est clair que l’application (f, g) → (f |g) =
sesquilinéaire positive.
Soit f ∈ L(T) tel que (f |f ) = 0. Donc
Z
2π
1
2π
Z
2π
f (t)g(t)dt est une forme
0
|f (t)|2 dt = 0. La fonction t 7−→ |f (t)|2 étant réglée et
0
positive sur [0, 2π], donc il existe un ensemble de points (xi )i∈I de [0, 2π] au plus dénombrable
2
tel
Z que la restriction de t 7−→ |f (t)| à tout intervalle ]xi , xi+1 [, i ∈ I est continue, comme
xi+1
xi
−
|f (t)|2 dt = 0, donc f est nulle sur ]xi , xi+1 [ et par suite f (x+
i ) = f (xi ) = 0 pour tout
−
f (x+
i ) + f (xi )
pour tout x ∈ [0, 2π], on déduit que f est
2
u
nulle sur [0, 2π] et par périodicité f est partout nulle.
t
i ∈ I et tenant compte que f (x) =
Proposition 3.3 La famille (en )n∈Z est orthonormale dans (L(T), (.|.)) où en est l’application de R dans C définie par : ∀t ∈ R, en (t) = eint .
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Démonstration :
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∀(p, q) ∈ Z2 , on a :
 (q−p)2π
−1
e



= 0 si p 6= q;
2π
1
i(qZ− p)2π
(ep |eq ) =
ei(q−p)t dt =
2π

1
2π 0


dt = 1
si p = q
2π 0
Z
Remarque :
effet,
u
t
Pour toute fonction f réglée et 2π-périodique et tout n ∈ Z, cn (f ) = (en |f ), en
1
cn (f ) =
2π
Z
2π
−int
f (t)e
0
1
=
2π
Z
2π
eint f (t)dt = (en |f ).
0
3.3 Théorème de Parseval
Pour tout p ∈ N, on note Pp le sous-espace vectoriel de L(T) engendré par la famille (en )−p≤n≤p .
Soit f ∈ L(T), on note Sp (f ) la somme partielle de la série de Fourier de f :
Sp (f ) =
p
X
cn (f )en .
n=−p
Alors, on a le résultat suivant :
Proposition 3.4 Pour tout p ∈ N et toute application f ∈ L(T), la projection orthogonale
de f sur Pp est Sp (f ), la somme partielle d’ordre p de la série de Fourier de f .
D’après le théorème de Pythagore ,
on a :
kf k22 = kSp (f )k22 + kf − Sp (f )k22
f
et
d(f, Pp ) = kf − Sp (f )k2 .
En particulier, on obtient l’inégalité
de Bessel :
Z 2π
p
X
1
∀p ∈ N,
|cn (f )|2 ≤ kf k22 =
|f (t)|2 dt,
2π
0
n=−p
Pp
puisque
−
→
P
−
→
0
Sp (f )
p
2
p
X
X
kSp (f )k22 = cn (f )en =
|cn (f )|2 .
n=−p
n=−p
Inégalité s’écrit aussi, avec les coefficients trigonométriques :
p
a0 (f ) 2 1 X
+
∀p ∈ N, (|an (f )|2 + |bn (f )|2 ) ≤ kf k2 .
2 2 n=1
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S ÉRIES
Ceci montre que la série
∞
P
DE
F OURIER
(|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ), à termes positifs, est convergente, et donc
n=1
une autre fois
lim cn (f ) = lim c−n (f ) = 0.
n→∞
n→∞
Dans la suite, on note P2π l’ensemble des polynômes trigonométriques, admettant 2π pour
période, c’est-à-dire le sous-espace vectoriel engendré par (en )n∈Z .
Proposition 3.5 ( Deuxième théorème de Weierstrass )Soit f : R −→ C continue et 2π-périodique.
Alors f est limite uniforme d’une suite de polynômes trigonométriques. Autrement dit,
P2π dense dans (C 2π , k.k∞ ).
Démonstration : Comme f est continue sur [−π, π] elle est bornée et uniformément continue
sur [−π, π], donc il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ [−π, π], |f (x)| ≤ M , et pour tout ε > 0,
ε
il existe 0 ≤ δ ≤ π tel que ∀x, y ∈ [−π, π] avec |x − y| ≤ δ on ait |f (x) − f (y)| ≤ .
2
Soit n ∈ N, on a :
Z π
Z π
1 + cos t n
1 + cos t n
2
π≤
dt ≤
sin tdt =
.
2
2
n+1
0
0
Z π −1
1 + cos t n
1
n+1
dt
, on a donc ≤ δn ≤
.
Posons δn =
2
π
2
0
Soit Tn l’élément de P2π défini par :
!2n
t
t
δn 1 + cos t n δn
t 2n δn ei 2 + e−i 2
Tn (t) =
=
cos
=
,
2
2
2
2
2
2
Z π
Z π
et pour 0 ≤ δ ≤ π, on pose Iδ (n) =
Tn (t)dt, alors
Tn (t)dt = 1 et si δ > 0
δ
δ
0 ≤ 2Iδ (n) ≤ δn (π − δ) cos
2
donc lim Iδ (n) = 0.
n
−π
n+1
δ n
≤
,
π cos
2
2
n→∞
Z
π
Soit maintenant le polynôme trigonométrique Pn défini par Pn (t) =
f (x)Tn (t − x)dx, par
−π
Z t+π
périodicité de x 7−→ f (x)Tn (t − x), on a : Pn (t) =
f (x)Tn (t − x)dx, en posant x = t + u,
t−π
on obtient :
Pn (t) =
=
Z
π
f (t + u)Tn (−u)du =
−π
Z −δ
f (t + u)Tn (u)du +
−π
et
f (t) =
=
Z
Z
Z
π
f (t + u)Tn (u)du
−π
δ
f (t + u)Tn (u)du +
Z
π
f (t + u)Tn (u)du
δ
−δ
π
f (t)Tn (u)du
−π
Z −δ
f (t)Tn (u)du +
−π
= 2f (t)Iδ (n) +
Z
δ
Z
δ
f (t)Tn (u)du +
−δ
Z
π
f (t)Tn (u)du
δ
f (t)Tn (u)du
−δ
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de même on a :
Z −δ
Z
f (t + u)Tn (u)du =
π
f (t − u)Tn (−u)du =
δ
−π
Z
DE
F OURIER
π
f (t − u)Tn (u)du
δ
donc pout t ∈ [−2π, 2π],
Z π
Z
|f (t) − Pn (t)| = [f (t − u) + f (t + u)]Tn (u) + 2f (t)Iδ (n) +
δ
δ
−δ
ε
≤ 4M Iδ (n) + ≤ ε
2
[f (t) − f (t + u)]Tn (u)du
pour n assez grand.
u
t
Remarque : Le résultat de ce théorème montre que la famille (en )n∈Z est une base hilbertienne
de C 2π . En général une base hilbertienne n’est pas une base algébrique, en effet, si c’est le cas,
tout élément de C 2π se décomposerait en une combinaison linéaire finie des en (n ∈ Z), donc
serait de classe C 1 . Or C 2π contient des applications qui ne sont pas de classe C 1 .
Proposition 3.6 Soit f : R −→ C 2π-périodique réglée, alors ∀ε > 0, il existe g : R −→ C
2π-périodique et continue telle que kf − gk2 ≤ ε.
Démonstration :
Supposons d’abord f est en escalier et soit
0 < a0 < a1 < ... < ap = 2π
une subdivision de [0, 2π] adaptée à f , avec f (t) = ci pour tout t ∈]ai−1 , ai [.
2
Soit δ le pas de la subdivision. Pour tout entier n tel que < δ définissons la fonction gn par :
n
• ∀i ∈ [0, p], gn (ai ) = 0.
• ∀i ∈ [1, p], ∀t ∈ [ai−1 + n1 , ai − n1 ], gn (t) = ci .
• gn est affine sur chacune des intervalles [ai−1 , ai−1 + n1 ] et [ai − n1 , ai ].
Il est clair que gn est continue, affine par morceaux, comme de plus gn (0) = gn (2π) = 0 elle se
prolonge en une fonction continue et 2π-périodique sur R.
On a
1
Z
Z
Z
ai
ai−1 + n
|f (t) − gn (t)|2 dt =
ai−1
|f (t) − gn (t)|2 dt +
ai−1
ai
|f (t) − gn (t)|2 dt.
1
ai − n
Mais on a
g(t) =
nci (t − ai−1 ) si t ∈ [ai−1 , ai−1 + n1 ]
.
−nci (t − ai ) si t ∈ [ai − n1 , ai ]
On a donc
Z ai
|f (t) − gn (t)|2 dt = |ci |2
ai−1
=
Z
1
ai−1 + n
(1 − n(t − ai−1 ))2 dt +
ai−1
2|ci |2
.
3n
et par conséquent
Z
ai
1
ai − n
(1 + n(t − ai ))2 dt
!
p
2πkf − gn k22 =
2 X 2
|ci | .
3n
i=1
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2
On en déduit que lim kf −gn k2 = 0 et donc on peut trouver un n tel que < δ avec kf −gn k2 ≤
n→∞
n
ε
.
2
Supposons maintenant f est réglée et donc on peut trouver une fonction ϕ en escalier sur [0, 2π],
ε
que l’on peut prolonger par périodicité telle que kf − ϕk∞ ≤ . Puisque
2
Z 2π
1
kf − ϕk22 =
|f (t) − ϕ(t)|2 dt ≤ kf − ϕk2∞ ,
2π 0
alors
kf − ϕk2 ≤
ε
.
2
ε
Mais ϕ est en escalier, on peut trouver g continue et affine par morceaux telle que kϕ − gk ≤ .
2
On a alors
kf − gk2 ≤ kf − ϕk2 + kϕ − gk ≤ ε.
u
t
Théorème 3.4 ( de Parseval ) Pour tout f ∈ L(T), lim kf − Sp (f )k2 = 0.
p→∞
ε
Soient ε > 0 et f ∈ L(T), il existe alors g ∈ C 2π tel que kf − gk2 ≤ . D’autre
2
ε
ε
part, d’après Weierstrass, il existe P ∈ P2π tel que kg − P k∞ ≤ et donc kg − P k2 ≤ puisque
2
2
pour tout f S
∈ L(T), kf k2 ≤ kf k∞ . Ainsi on a kf − P k2 ≤ ε.
Pp , il existe alors N ∈ N tel que P ∈ PN . Soit p ∈ N tel que p ≥ N , puisque
Or P2π =
Démonstration :
p∈N
Sp (f ) est la projection orthogonale de f sur Pp , on a :
∀g ∈ Pp , (g|f − Sp (f )) = 0,
en particulier :
(P − Sp (f )|f − Sp (f )) = 0.
D’où
kf − P k22 = k(f − Sp (f )) − (P − Sp (f ))k22
= kf − Sp (f )k22 + k(P − Sp (f ))k22
≥ kf − Sp (f )k22
et donc kf − Sp (f )k2 ≤ ε.
Ceci montre que lim Sp (f ) = f dans (L(T), (.|.)).
u
t
p→∞
Corollaire 3.1 ( Formules de Parseval ) Soit f ∈ L(T), alors on a les propriétés suivantes :
∞ P
1. la série
|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 est convergente et
n=1
|c0 (f )|2 +
∞
X
[|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ] =
n=1
2. Si f (R) ⊂ R, la série
∞
P
1
2π
Z
2π
|f (t)|2 dt.
0
[|an (f )|2 + |bn (f )|2 ] est convergente et
n=1
Z 2π
∞
a0 (f ) 2 1 X
1
2
2
+
[|a
(f
)|
+
|b
(f
)|
]
=
|f (t)|2 dt.
n
n
2 2
2π 0
n=1
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Démonstration : 1. D’après le théorème de Parseval, Sp (f ) tend vers f au sens de la norme
k.k2 , et puisque l’application
k.k22 : L(T) −→ R
f
7−→ kf k22
est continue, alors kSp (f )k22 tend vers kf k22 pour p infini.
D’autre part
kSp (f )k22 = k
n=p
X
cn (f )en k22 =
n=−p
et kf k22 =
1
2π
Z
2π
p
X
|cn (f )|2 = |c0 (f )|2 +
n=−p
n=p
X
(|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 )
n=1
|f (t)|2 dt, d’où
0
|c0 (f )|2 +
∞
X
(|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 ) =
n=1
2. Il suffit de vérifier que : c0 (f ) =
|cn (f )|2 + |c−n (f )|2 =
1
2π
Z
2π
|f (t)|2 dt.
0
a0 (f )
et
2
1
1
1
|(an (f ) − ibn (f )|2 + |(an (f ) + ibn (f ))|2 = (an (f )2 + bn (f )2 ).
4
4
2
u
t
Corollaire 3.2 L’application linéaire
φ : L(T) −→ B(Z, C)
f
7−→ fb
est injective.
Démonstration : Soit f ∈ ker φ, c’est-à-dire ∀n ∈ Z, cn (f ) = 0, d’après la formule de Parseval,
+∞
P
u
on a alors kf k22 =
|cn (f )|2 = 0, donc kf k22 = 0 et par conséquent f = 0.
t
n=−∞
Remarque important : Pour toute fonction f réglée et 2π-périodique, on appelle régularisée
de f et on note fe, la fonction fe : R −→ C définie par :
∀t ∈ R,
f (t+ ) + f (t− )
fe(t) =
.
2
En appliquant les résultats précédents à fe et en remarquant que les coefficients de Fourier de f
sont les mêmes que ceux de fe ∈ L(T), on voit bien que les résultats précédents ( théorème de
Parseval, formule de Parseval, inégalité de Bessel ) 4 sont applicables à f .
4
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4 Développement en série de Fourier
4.1 Convergence Ponctuelle : Cas particuliers
Définition 4.1 On appelle série de trigonométrique toute série de fonctions dont le terme général est de
la forme
un (x) = an cos nx + bn sin nx.
(an )n∈N et (bn )n∈N étant deux suites de nombres réels, indépendantes de x.
Les fonctions un sont définies et continues sur R, et elles admettent la période 2π. Donc si la
∞
P
série de fonctions
un converge, sa somme f est alors une fonction 2π-périodique.
n=0
Nous allons donner des cas particuliers dans lesquels on peut reconnaître la convergence d’une
série trigonométrique.
Proposition 4.1 Si les séries numériques
la série trigonométrique
∞
P
∞
P
an et
n=0
∞
P
bn sont absolument convergentes,
n=0
an cos nx + bn sin nx converge absolument et uniformément
n=0
sur R.
Démonstration :
En effet, ∀n ∈ N, ∀x ∈] − ∞, +∞[,
|un (x)| ≤ |an | + |bn |.
Donc la série converge normalement et par conséquent uniformément convergente sur R.
u
t
Théorème 4.1 Si (an )n∈N et (bn )n∈N sont deux suites à termes positifs, décroissantes, qui
admettent la limite 0, la série de fonction
∞
X
an cos nx + bn sin nx
n=0
est convergente pour tout x 6= 2kπ.
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), astronome et mathématicien allemand,
connu principalement pour avoir effectué les premières mesures précises de
la distance d’une étoile et pour être le fondateur de l’école allemande d’astronomie d’observation.
Né à Minden, Bessel supervise la construction de l’observatoire de Königsberg, dont il sera le directeur de 1813 jusqu’à sa mort. Il élabore le système
unifié de calcul des positions des étoiles, encore utilisé de nos jours. De 1821
à 1833, il détermine avec précision les positions des étoiles jusqu’à la magnitude 9, portant à 50 000 le nombre des étoiles répertoriées selon cette méthode.
Auteur de plus de 350 articles, il publie ses Observations astronomiques (Astronomische Untersuchungen) en 1842. Bessel est le premier à déterminer avec
succès la parallaxe, et par là-même la distance d’une étoile fixe, 61 Cygni, apportant une preuve supplémentaire de la nature héliocentrique du Système
solaire.
Bessel
Il précise également, pour la Terre, le diamètre, la masse et la valeur de l’aplatissement aux pôles. Il introduit, dans la
résolution des problèmes de mécanique céleste faisant intervenir la théorie des perturbations, (voir Orbite), les fonctions mathématiques dites de Bessel, solutions d’équations différentielles particulières. Ces fonctions jouent un rôle
important dans l’analyse de la répartition et de la conduction de la chaleur ou de l’électricité à travers un cylindre.
Elles sont aussi utilisées pour résoudre des problèmes de mécanique ondulatoire, d’élasticité et d’hydrodynamique.
Microsoft Encarta 2006.
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Démonstration : Considérons la série
a0
2
∞
P
+
an cos nx et posons Sn (x) =
n=0
a0
2
DE
F OURIER
+ a1 cos x +
a2 cos 2x + ... + an cos nx. En supposant x 6= 2kπ, formons :
2Sn (x) sin
x
2
x
x
x
+ 2a1 sin cos x + ... + 2an sin cos nx
2
2
2
x
3x
x
2n + 1
2n − 1
= a0 sin + a1 (sin
− sin ) + ... + an (sin
x − sin
x)
2
2
2
2
2
x
3x
2n − 1
2n + 1
+ ... + (an−1 − an ) sin
x + an sin
x
= (a0 − a1 ) sin + (a1 − a2 ) sin
2
2
2
2
n
X
2n + 1
=
vp (x) + an sin
x
2
= a0 sin
n=1
avec vp (x) = (ap−1 − ap ) sin 2p−1
2 x. Or |vp (x)| ≤ ap−1 − ap , donc la série
la suite de terme 2Sn (x) sin x2 admet une limite, donc la série
On étudie de la même façon la série
b0
2
Exemple : Nous savons que la série
+
∞
P
a0
2
bn sin nx.
+
∞
P
∞
P
vp (x) converge, donc
p=1
an cos nx converge.
n=1
u
t
n=1
∞
P
n=1
zn
n
admet 1 pour rayon de convergence ; étudions-la
sur le cercle de convergence ; soit z = cos θ + i sin θ et
un (θ) =
an =
1
n
cos nθ
sin nθ
+i
.
n
n
est un nombre positif qui tend vers 0, en décroissant, donc les séries
sont convergentes pour θ 6= 2kπ et la série
Pour θ = 2kπ, z = 1, et la série
∞
P
n=1
∞
P
∞
P
n=1
sin nθ
n
et
∞
P
n=1
cos nθ
n
un (θ) est aussi convergente pour θ 6= 2kπ.
n=1
1
n
diverge.
Théorème 4.2 ( Convergence normale ) Si f : R → C est 2π-périodique, continue, et de classe
C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de f converge normalement sur R et a
pour somme f .
Démonstration :
On a, puisque f ∈ C 2π et C 1 par morceaux, ∀n ∈ N, cn (f 0 ) = incn (f ). D’où :
|cn (f )| =
1
|cn (f 0 )|.
n
Notons u0 (f ) = c0 (f )e0 et pour tout ∈ N∗ , un (f ) = cn (f )en +c−n (f )e−n . On a, pour tout n ∈ N∗ ,
kun (f )k∞ ≤ |cn (f )| + |c−n (f )|.
D’autre part, remarquons : ∀u, v > 0, uv ≤ 12 (u2 + v 2 ), d’où :
1
1 1
0
0 2
∀n ∈ Z, |cn (f )| = |cn (f )| ≤
+ |cn (f ) | ,
n
2 n2
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DE
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ce qui entraîne :
∗
∀n ∈ N , kun (f )k∞
1
≤
2
2
0 2
0 2
+ |c−n (f )| + |cn (f )| .
n2
∞
X
X
1
Comme
converge
et
(|cn (f 0 )|2 + |c−n (f 0 )|2 ) converge ( inégalité de Bessel), on en
2
n
n=1
∞
X
un (f ), est normalement convergente sur R, donc unidéduit que la série de Fourier de f ,
n=0
formément et simplement convergente sur R.
∞
∞
X
X
Reste à montrer que f =
un (f ), posons g =
un (f ). Il est clair que g est 2π-périodique et
n=0
n=0
puisque chaque un (f ) est continue sur R et que la série
∞
X
un (f ) est uniformément convergente
n=0
sur R, alors g est continue sur R. Donc g ∈ C 2π . Comme (Sp (f ))p∈N converge uniformément
vers g sur R, elle converge aussi en moyenne quadratique vers g. Mais, d’après le théorème de
u
Parseval, la suite (Sp (f ))p∈N converge en moyenne quadratique vers f sur R, donc g = f .
t
4.2 Convergence ponctuelle : Théorème de Dirichlet
Une fonction f étant donnée, existe-t-il une série trigonométrique dont elle soit la somme ? Une
condition nécessaire est que f soit 2π-périodique ; nous la supposons réalisée.
Supposons qu’on puisse écrire
∞
f (x) =
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx).
2
n=1
Si l’on admet la possibilité d’intégrer terme à terme, un calcul donnera :
(1)
1
an =
π
Z
0
2π
1
f (t) cos ntdt et bn =
π
Z
2π
f (t) sin ntdt.
0
Ainsi, à toute fonction f intégrable on peut associée une série de Fourier dont les coefficients
sont données par (1). Deux problèmes se posent :
1 La série de Fourier d’une fonction f est-elle convergente ?
2 Si oui, sa somme en x est-elle f (x) ?
On le théorème fondamental suivant :
Théorème 4.3 ( de Dirichlet )
5 Soit f une fonction 2π-périodique de classe C 1 par morceaux sur R, alors pour tout
nombre réel x, la série de Fourier de f est convergente en ce point et sa somme est égale
à
f (x+ ) + f (x− )
.
2
En particulier, en tout point x où f est continue, la somme de la série de Fourier de f est
égale à f (x).
5
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Démonstration :
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∀n ∈ N, ∀x ∈ R, on peut écrire :
Sn (f ) =
n
X
ck (f )eikx =
k=−n
avec
Dn (u) =
n
X
eiku =
k=−n
1
2π
Z
2π
f (t)Dn (x − t)dt,
0
sin(n + 12 )u
, (u 6= 2kπ).
sin u2
Les Dn sont paires, 2π-périodiques et de classe C ∞ sur R et vérifiant
Z π
1
Dn (u)du = 1.
2π −π
En effet,
Z
π
Dn (u)du =
−π
n Z
X
π
eiku du =
k=−n −π
Z
π
du = 2π.
−π
Preuve du théorème : Soit n ∈ N et x ∈ R, à l’aide de la parité et de la 2π-périodicité de Dn et
de f , on obtient :
Z π
1
Sn (f )(x) =
f (x − t)Dn (t)dt
2π −π
Z π
1
=
f (x + t)Dn (t)dt
2π −π
Z π
1
f (x − t) + f (x + t)
=
Dn (t)dt,
2π −π
2
alors
Sn (f )(x) −
f (x+ ) + f (x− )
2
=
=
=
=
Z π
1
f (x − t) + f (x + t) f (x+ ) + f (x− )
−
)Dn (t)dt,
(
2π −π
2
2
Z π
1
f (x − t) − f (x− ) f (x + t) − f (x+ )
(
+
)Dn (t)dt
2π −π
2
2
Z π
f (x − t) − f (x− ) f (x + t) − f (x+ ) 2t
2n + 1
1
(
−
)
sin
tdt
t
2π −π
t
t
2
sin 2
Z π
1
2n + 1
g(t) sin
tdt
2π −π
2
Dirichlet, Peter Gustav Lejeune- (1805-1859), mathématicien allemand qui
s’est illustré en analyse et dans la théorie des nombres.
Né à Düren, en Prusse rhénane, Dirichlet est l’élève de Jacobi et de Gauss qui
l’influencent dans ses recherches. Considéré comme l’un des pères fondateurs
de la grande école allemande de mathématiques du xixe et du xxe siècle, il
s’intéresse principalement aux domaines de l’analyse, où il fait preuve d’une
grande rigueur, et à la théorie des nombres. En analyse, il définit des critères
de convergence des séries (conditions de Dirichlet) et précise la notion de fonction dans son sens moderne de correspondance. Il étudie aussi la convergence
des séries de Fourier, et pose ce qu’on appelle aujourd’hui le " problème de
Dirichlet " concernant les conditions aux limites d’équations aux dérivées partielles (voir Différentielles, équations).
Dirichlet
Mais c’est dans la théorie des nombres qu’il connaît ses plus belles réussites. Il élabore de nouvelles méthodes pour
déterminer le comportement asymptotique de fonctions arithmétiques, et démontre le théorème de Fermat pour
n = 5, puis pour n = 14.
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C HAPITRE 14
S ÉRIES
DE
F OURIER
où g est une fonction continue par morceaux sur [−π, π] (elle admet une limite en 0) ; le lemme
u
de Lebesgue indique que cette intégrale a une limite nulle quand n tend vers l’infini.
t
4.3 Exemples de développements
a. Développement de la fonction f , de période 2π définie par :
x si x ∈] − π, π[,
f (x) =
0 si x = π.
Rπ
Comme f est impaire, an = 0 et il suffit de calculer bn = π1 −π t sin t = n2 (−1)n .
D’après le théorème de Dirichlet :
f (x) = 2
∞
X
(−1)n
n
n=1
sin nx.
Si x ∈] − π, π[, la série du second membre a pour somme x, pour x = π, la série a pour somme
f (π − )+f (π + )
= 0.
2
Remarque : On voit, sur cette exemple, qu’une série de fonctions continues peut avoir pour
somme une fonction discontinue.
b. Développement de la fonction f , de période 2π définie par :
x si x ∈]0, 2π[,
f (x) =
π si x = 0.
R 2π
R 2π
a0 = π1 0 tdt = 2π, an = π1 0 t cos ntdt, n ∈ N∗ , le changement de variable t = 2π − u, donne
R 2π
an = −an , d’où : an = 0. bn = π1 0 t sin ntdt = −2
n . D’où :
f (x) = π − 2
∞
X
1
sin nx.
n
n=1
Pour x = π2 , on obtient
π
2
=π−2
∞
P
p=0
(−1)p
2p+1 ,
c’est-à-dire
∞
X
π
(−1)p
= .
2p + 1
4
p=0
c. Développement de la fonction f , de période 2π définie par :
π − x si x ∈ [0, π],
f (x) =
π + x si x ∈ [−π, 0].
La fonction f étant paire, donc bn = 0 pour tout n.
Z
Z
Z π
1 π
1 0
an =
f (t) cos ntdt = [
(π + t) cos ntdt +
(π − t)) cos ntdt
π −π
π −π
0
et
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Z
0
t cos ntdt = −
−π
Z
π
t cos ntdt,
0
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Donc
−2
an =
π
On obtient donc
(
et
1
a0 =
π
Finalement,
f (x) =
Z
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π
t cos ntdt
0
a2p = 0,
a2p+1 =
Z
DE
4
.
π(2p+1)2
π
f (t)dt =
−π
2 π2
= π.
π 2
∞
π
4X
1
+
cos(2p + 1)x.
2 π
(2p + 1)2
p=1
Pour x = 0, on obtient :
∞
π2 X
1
=
8
(2p + 1)2
p=0
En posant S =
∞
P
p=0
1
,
p2
on obtient S =
∞
P
p=0
1
p2
=
π2
8
+
∞
P
p=0
1
(2p)2
=
π2
8
+ S4 , d’où :
∞
X
1
π2
S=
=
.
p2
6
n=1
4.4 Premier théorème de Weierstrass
Théorème 4.4 ( Premier théorème de Weierstrass )Si f : [a, b] −→ C est une fonction continue,
il existe une suite (Pn )n∈N de polynômes de C[X] convergeant uniformément vers f sur
[a, b].
Démonstration :
En considérant la fonction g : [0, π] −→ C définie par :
t
g(t) = f a + (b − a)
π
on se ramène à travailler sur [0, π] ce qui est suffisant pour conclure, puisqu’en composant un
polynôme avec une fonction affine, en retrouve polynôme . On peut ensuite prolonger g par
parité et 2π-périodicité pour obtenir une fonction à laquelle on peut appliquer le deuxième
théorème de Weierstrass, on peut trouver alors un polynôme trigonométrique P vérifiant
ε
kP − gk∞ ≤ .
2
P est somme sur R d’une série entière de rayon de convergence infini (combinaison linéaire des
fonctions exponentielles ). Cette série entière converge uniformément sur [0, π], on peut trouver
une de ses sommes partielles Sn vérifiant :
kSn − P k∞ ≤
ce qui donnera bien kg − Sn k∞ ≤ ε.
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ε
2
u
t
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DE
F OURIER
Remarques :
1. Ce théorème peut s’exprimer en disant que l’ensemble des applications polynomiales de
[a, b] est dense dans C ([a, b], R) muni de k.k∞ .
2. Puisque toute application plynomiale est de classe C ∞ , on déduit que toute fonction
continue sur [a, b] dans R est limite uniforme sur [a, b] d’une suite d’applications polynomiales de classe C ∞ sur [a, b].
Application : Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue. Si, pour tout n ∈ N, on a
Z
b
xn f (x)dx =
a
0, alors f = 0.
En effet, puisque tout polynôme est combinaison linéaire de monômes, on a pour tout polyZ b
nôme P,
P (t)f (t)dt = 0.
a
D’après le premier théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Pn )n∈N qui
converge uniformément vers f sur [a, b]. On a alors pour n ∈ N :
0≤
Z
b
2
(f (x)) dx =
a
Z
b
(f (x) − Pn (x)) f (x)dx ≤ (b − a)kf − Pn k∞ kf k∞
a
Comme la suite (kf − Pn k∞ )n∈N tend vers 0, on déduit
continue sur [a, b], f = 0.
Z
b
(f (x))2 dx = 0, d’où, puisque f est
a
• • • • • • • • ••
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