fiche produit scalaire

RAPPELS SUR LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN
propriétés calculatoires
symétrie: u . v = v . u
distributivité: u . (v + w) = u . v + u + w
produit par un réel: u .(kv)=k ×(u . v)
carré scalaire et norme
exercice1: en lisant sur le quadrillage et en sachant que AB=3, calculer chacun des produits scalaires
suivants de trois façons différentes:
* avec les longueurs
* avec les projetés orthogonaux
* avec des coordonnées
puis calculer l'angle entre les deux vecteurs
AB . AC
2
u . u=∥u∥
;
BA . AD
;
AB . CD
Comment calculer un produit scalaire
* avec deux vecteurs et un angle
u
⃗ . ⃗v =∥u
⃗∥×∥⃗v∥×cos( u
⃗ , ⃗v )
* avec trois longueurs
1
2
2
2
u.v= (∥u∥ +∥v∥ −∥u−v∥ )
2
2
(s'obtient en développant le carré ∥u−v∥ avec l'identité remarquable (a-b)² )
application dans un triangle ABC, pour deux vecteurs de même origine
on pose u = AB, v = AC, u – v = AB – AC = CB donc
AB.AC=½( AB 2+ AC ² – BC 2 )
* avec des coordonnées
u ( x ; y ; z} et ⃗v (x' ; y' ; z' ) alors
⃗
u.v=xx ' + yy ' +zz '
* en décomposant suivant des composantes orthogonales et colinéaires
u et v colinéaires de même sens ssi u
⃗ . ⃗v =∥u
⃗∥×∥⃗v∥
u et v colinéaires de sens cnotraires ssi
u et v orthogonaux ssi u.v = 0
{
+∥⃗
u∥×∥v⃗1∥ si u et v 1 de même sens
+0
−∥⃗
u∥×∥v⃗1∥ si u et v 1 de sens contraires
Formule d'Al-Kashi (Généralisation du théorème de Pythagore)
a² = b² + c² – 2bc cos (A)
AB2
2
⃗
⃗
MA . MB=MI –
4
2
2
2
MA +MB =2 MI +½ AB 2
2
2
⃗ . AB
⃗
MA – MB =2 %IM
u . ⃗v =−∥⃗u∥×∥⃗v∥
⃗
application: utilisation du projeté orhogonal d'un vecteur sur un autre
u.v = u.(v1+v2) = u.v1 + u.v2
=
exercice2: démontrer en utilisant uniquement les propriétés calculatoires du produit scalaire et
la relation de Chasles:
* les identités remarquables
* la formule d'Al-Kashi
* les égalités de la médiane:
si I est le mileu de [AB] dans un triangle MAB, on a les égalités suivantes:
exercice3: On donne A(1;0), B(2 3 ; -1) et C(2;1) ; déterminer, en utilisant le produit scalaire:
* une équation de la perpendiculaire à (AB) passant par C
* une équation du cercle de diamètre [AB] (deux méthodes)
* une équation de la médiatrice de [BC] (deux méthodes)
* l'angle de vecteurs (AB, AC)
exercice4
AB = 6, O est le milieu de [AB] et OH=2; calculer CB² - CA²