Produit scalaire, cours, première STD2A - MathsFG

Produit scalaire, cours, première STD2A
F.Gaudon
17 avril 2011
Table des matières
1 Orthogonalité de vecteurs
2
2 Défaut d'orthogonalité et produit scalaire
2
3 Propriétés du produit scalaire
3
Ce cours a été écrit d'après une recherche faite par le réseau "Ampères" de l'INRP/ADIREM initiée
par la commission inter-IREM de Didactique. Il repose sur des travaux eectués par l'IREM de Clermont
Ferrand par F. Barachet, G. Le Quang et R. Noirfalise publiés dans le bulletin n485 des mois de
novembre-décembre 2009 de l'APMEP.
1
Produit scalaire, cours, classe de première STD2A
1
Orthogonalité de vecteurs
Dénition :
Soient ~u et ~v deux vecteurs. ~u et ~v sont orthogonaux si l'un des deux
vecteurs est nul ou si leurs directions sont perpendiculaires.
Propriété :
Soit (O;~i; ~j) un repère orthonormé.
les vecteurs ~u et ~v de
On0 considère
x
x
coordonnées respectives y et y0 dans ce repère. Alors ~u et ~v
sont orthogonaux si et seulement si xx0 + yy0 = 0.
Preuve :
Supposons ~u et ~v non nuls, le cas où l'un des deux vecteurs est nul étant évident. Soient A et B deux
~ et ~v = OB
~ . Les deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si le triangle
points tels que ~u = OA
OAB est rectangle en O c'est à dire OA2 + OB 2 = AB 2 d'après le théorème de Pythagore ce qui s'écrit
encore x2 + y2 + x02 + y02 = (x − x0)2 + (y − y0)2 soit x2 + y2 + x02 + y02 = x2 − 2xx0 + x02 + y2 − 2yy0 + y02
d'où 2xx0 + 2yy0 = 0 ou encore xx0 + yy0 = 0.
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Défaut d'orthogonalité et produit scalaire
Propriété et dénition :
On considère les vecteurs ~u et ~v de
x0
y0
dans un repère orthonormé
autre repère orthonormé R0. Alors :
x
coordonnées respectives y et
0 X
R et
et X
dans un
Y
Y0
• xx0 + yy 0 = XX 0 + Y Y 0 = 12 (k~u + ~v k2 − k~uk2 − k~v k2 ) ;
• on appelle produit scalaire de ~u et ~v et on note ~u.~v le nombre indépen-
dant du repère orthonormé considéré :
1
~u.~v = xx0 + yy 0 = (k~u + ~v k2 − k~uk2 − k~v k2 )
2
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Produit scalaire, cours, classe de première STD2A
Preuve :
De même que précédemment, on peut supposer ~u et ~v non nuls. Soient C et B deux points tels que
~ = ~u et OB
~ = ~v . On a donc ~u + ~v = CB
~ d'où 1 = (k~u + ~v k2 − k~uk2 − k~v k2 ) = 1 (CB 2 − OC 2 − OB 2 ).
CO
2
2
Dans le repère R ceci est égal à 21 ((x − x0)2 + (y − y0)2 − (x2 + y2) − (x02 + y02)) = 2xx0 + 2yy0 et dans le
repère R0 c'est égal à 2XX 0 + 2Y Y 0 d'où le résultat et la formule annoncée.
3
Propriétés du produit scalaire
Propriété :
Soient ~u et ~v deux vecteurs non nuls et O, A et B des points tels que
~ et OB
~ = ~v . On note θ une mesure de AOB
[.
~u = OA
Alors
~u.~v = OA × OB × cos(θ) = k~ukk~v k cos(θ)
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Produit scalaire, cours, classe de première STD2A
Propriété :
Pour tous les vecteurs ~u, ~v, w~ et pour tous les nombres réels k, on a :
• ~u.(~v + w)
~ = ~u.~v + ~u.w
~;
• (k~u).~v = k(~u.~v )
Preuve :
Dans un repère orthonormé, ~u a pour coordonnées
x
y
, ~v a pour coordonnées
x0
y0
et w~ ,
x00
y 00
.
x(x0 + x00 )
x0 + x00
et
~
u
.(~
v
+
w)
~
.
0
0
00
y
+ y 00 y(y
+
y
xx0 + xx00
xx00
xx0
Par ailleurs, ~u.~v a pour coordonnées yy0 , ~u.w~ yy00 donc ~u.~v +~u.w~ yy0 + yy00 ce qui assure
Donc ~v + w~ a pour coordonnées
la première égalité.
On montre de même la deuxième égalité.
Propriété et dénition :
Le produit scalaire de ~u par lui-même ~u.~u est noté ~u2 et on a ~u2 = ~u.~u =
k~uk2 .
~ = ~u, on a OA
~ 2 =
En outre, si O et A sont deux points tels que OA
~ 2 = OA2 .
kOAk
Preuve :
~ 2 = OA2
~u.~u = k~ukk~uk = k~uk2 = kOAk
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