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Chapitre 7 : Produit scalaire.
Ch7- Produit scalaire. Chapitre 7 : Produit scalaire. I Différentes expressions du produit scalaire 1 Définitions Activité "Un défaut d’orthogonalité." Définition 1 Ð→ Ð→ → → → → - Ð u et Ð v sont deux vecteurs non nuls tels que Ð u = AB et Ð v = AC. → → → → Le produit scalaire de Ð u par Ð v est le nombre réel, noté Ð u .Ð v , défini par : Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → ● u . v = ∥ u ∥ × ∥ v ∥ × cos θ avec θ = ( u , v ) ou Ð→ ÐÐ→ ⎧ ⎪ Ð→ Ð→ ⎪ AB × AH, si AB et AH ont le même sens → → ● Ð u .Ð v = AB.AC = ⎨ Ð→ ÐÐ→ ⎪ ⎪ ⎩ −AB × AH, si AB et AH sont de sens opposé où H est le projeté orthogonal de C sur (AB). C b b b A Ð → → → → → - Si Ð u ou Ð v est nul, on pose, par définition, Ð u .Ð v = 0 H b B Exemple 1 ABCD est un carré de côté a et de centre O. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [BC]. Calculer les produits scalaires suivants : Ð→ Ð→ Ð→ Ð→ Ð → Ð→ Ð → Ð→ AI.AJ ; AO.OI ; IJ.AC ; IJ.BO Remarques : Ð→ Ð→ ● Le produit scalaire AB.AC se ramène par projection au produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Ð→ ÐÐ→ AB.AH. ● Le produit scalaire ne dépend pas du sens de l’angle. 2 Produit scalaire dans un repère orthonormal Théorème 1 (Admis) x′ x → → v ( ′ ) dans un repère orthonormal. On a alors : Soit deux vecteurs Ð u ( ) et Ð y y Ð → → u .Ð v = xx′ + yy ′ Exemple 2 On considère la figure de l’exemple précédent. Ð→ Ð→ En exprimant de deux façons différentes le produit scalaire AJ.AC, déterminer, au dixième de degrés prés, ̂ une valeur approchée de l’angle JAC. II Produit scalaire et orthogonalité Définition 2 → → Dire que deux vecteurs Ð u et Ð v sont orthogonaux signifie : → → ● Soit que Ð u ou Ð v est nul. Ð→ Ð→ → → ● Soit que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires avec Ð u = OA et Ð v = OB. Théorème 2 → → → → Deux vecteurs Ð u et Ð v sont orthogonaux si et seulement si Ð u .Ð v =0 1ere S2 1 2008-2009 Ch7- Produit scalaire. Démonstration Exemple 3 Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−2; −3), B(1; 1) et C(−3; −1). Le triangle ABC est-il rectangle en C ? III Propriétés algébriques du produit scalaire. Proposition 1 (Symétrie) → → Le produit scalaire est symétrique en Ð u et Ð v , c’est-à-dire : Ð → → → → u .Ð v =Ð v .Ð u Proposition 2 (Linéarité) → → → du plan et tout réel k, on a les égalités suivantes : Pour tous vecteurs Ð u, Ð v et Ð w Ð → Ð → Ð → Ð → → → ● u .(k v ) = (k u . v ) = k × (Ð u .Ð v) Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → ● u .( v + w ) = u . v + u . w Démonstration dans un repère orthonormé. Définition 3 → → → → → On appelle carré scalaire de Ð u le produit scalaire du vecteur Ð u par lui-même : Ð u .Ð u =Ð u 2. On a alors : Ð→ Ð→ Ð→ Ð → → u 2 = x2 + y 2 = ∥Ð u ∥2 et AB 2 = AB.AB = AB 2 Proposition 3 (Egalités remarquables) → → Pour vecteurs Ð u et Ð v du plan, on a les égalités remarquables : ● ● ● → → → → → → (Ð u +Ð v)=Ð u 2 + 2Ð u .Ð v +Ð v2 Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → 2 (u − v )= u −2u.v + v 2 → → → → → → (Ð u −Ð v ).(Ð u +Ð v)=Ð u2−Ð v2 ● ● ● → → → → → → 2Ð u .Ð v = ∥Ð u +Ð v ∥2 − ∥Ð u ∥2 − ∥Ð v ∥2 Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → 2 2 2 u . v = ∥ u ∥ + ∥ v ∥ − ∥ u − v ∥2 → → → → → → (Ð u −Ð v ).(Ð u +Ð v ) = ∥Ð u ∥2 − ∥Ð v ∥2 Exemple 4 → → → → → → Deux vecteurs Ð u et Ð v vérifient : ∥Ð u ∥ = 3, ∥Ð v ∥ = 2 et Ð u .Ð v = −2. Ð → Ð → Ð → Ð → Ð → Calculer (3 u ).(−5 v ) et u .(3 u + v ). → → → → Calculer (Ð u +Ð v )2 et en déduire ∥Ð u +Ð v ∥. 1ere S2 2 2008-2009
