Université Joseph Fourier L2, MAT241, 2007
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Université Joseph Fourier L2, MAT241, 2007
Université Joseph Fourier L2, MAT241, 2007-2008 Examen du mardi 27 mai 2008, durée 2h, 14h-16h Documents et calculatrices interdits, seule une feuille recto verso de formules est autorisée. Barêmes indicatifs : autour du cours = 6 points, exercice 1 = 7 points, exercice 2 = 4 points, exercice 3 = 4 points. Autour du cours (1) Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, et soit A une matrice carrée symétrique d’ordre n. Comment peut-on définir une forme bilinéaire symétrique ϕ : E × E → R dont la matrice associée est A ? Comment peut-on définir une forme quadratique q : E → R dont la forme polaire est ϕ? (2) Montrer que deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux pour ϕ si et seulement si q(u + v) = q(u) + q(v) . (3) Quand dit-on que la forme ϕ ci-dessus est définie positive ? Exprimer en termes de valeurs propres de A un critère pour que ϕ soit définie positive (le critère spectral). On va dire que A est définie positive si ϕ l’est. (4) Montrer qu’une b.o.n.1 de Rn qui diagonalise A diagonalise en même temps A2 . En déduire que les valeurs propres de A2 sont les carrés des valeurs propres de A. En déduire que la matrice A2 est définie positive si et seulement si A est non-dégénérée. Indication : On pourra appliquer le critère spectral. Exercice 1 Soit q : R3 → R la forme quadratique définie par q(x, y, z) = x2 + 3y 2 + 4z 2 − 2xy + 2xz − 6yz . (1) Montrer que la forme bilinéaire associée à q définit un produit scalaire h·, ·i. (2) Écrire la matrice de q par rapport à la base canonique (e1 , e2 , e3 ) de R3 . (3) Par rapport à ce produit scalaire, calculer les quantités suivantes : 0 3 0 3 −4 || 0 ||, || 1 ||, || 4 ||, h 1 , 0 i . 0 3 0 1 1 1On utilise l’abbréviation “b.o.n.” pour “base orthonormée”. 2 (4) Orthonormaliser la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par rapport à ce produit scalaire en utilisant le procédé de Gram-Schmidt. (5) Pour un sous espace vectoriel V de E, on note V ⊥ l’orthogonal complémentaire de V par rapport à ce produit scalaire. Soient P = (Re3 )⊥ et Q = (Ru)⊥ , où u = e2 + e3 . Écrire l’équation de P (resp. de Q) dans la base canonique. (6) Trouver une b.o.n. de P (resp. de Q), puis la compléter àfin d’obtenir une nouvelle b.o.n. de R3 avec ce produit scalaire. Exercice 2 Soit ϕ : E × E → R la forme bilinéaire symétrique sur E = R3 définie pour tout x1 y1 couple de vecteurs X = x2 et Y = y2 de E par x3 y3 ϕ(X, Y ) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 . (1) Écrire la forme quadratique q associée à ϕ et sa matrice dans la base canonique. Déterminer le rang et la signature de q. La forme q est-elle nondégénérée ? Quel est son noyau ? (2) Soit F le sous-espace vectoriel de E défini par : x1 F = {X = x2 ∈ E | x1 = x2 et x2 = 0} . x3 Déterminer l’orthogonal F ⊥ par rapport à q, comparer F et F ⊥ . (3) Le sous-espace vectoriel F est-il non-dégénéré par rapport à q, isotrope2, totalement isotrope3 ? Est-ce que F coı̈ncide avec le cône isotrope I(q) ? Justifier la réponse. Exercice 3 (1) La matrice 2 −2 1 1 A = −2 2 1 1 −1 est-elle orthogonale ? Diagonalisable ? Existe-t-il un scalaire λ ∈ R pour lequel λA soit orthogonale ? (2) Diagonaliser la matrice A dans une b.o.n. de R3 que l’on déterminera. 2C’est-à-dire 3C’est-à-dire contient un vecteur isotrope. est inclus dans le cône isotrope.