Produit scalaire de deux vecteurs

Nom :
Groupe :
5.3
Date :
Manuel de l’élève, volume 2, p. 43
PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS
Le produit scalaire est une opération qui fait intervenir deux vecteurs dont le résultat est
un scalaire. Le produit scalaire des vecteurs u et v se note u√ • v√ et se lit « u√ produit scalaire v√ ».
Constructions géométriques
Le nombre qui correspond au produit scalaire de deux vecteurs u et v est donné par :
u√ • v√ u√ v√ cos , où correspond
à la mesure de l’angle formé par u√ et v√.
u√
v√
Géométriquement, ce nombre correspond à la longueur orientée de la projection
orthogonale de u√ sur la droite qui supporte v√ multipliée par la norme de v√.
Ex. : 1)
u√ 5 et v√ 6,5
u√
30°
P
2)
u√ 2 et v√ 5
v√
u√ 140°
A
u√ • v√ m AP v√ v√
A
P
u√ • v√ – m AP v√ , car AP n’est pas orienté selon v√ .
u√ cos 30° v√ u√ cos 140° v√ 5 cos 30° 6,5
2 cos 140° 5
28,15
– 7,66
Manipulations algébriques
Le nombre qui correspond au produit scalaire d’un vecteur u dont les composantes sont (a, b)
et d’un vecteur v dont les composantes sont (c, d) est donné par :
Ex. : 1) u√ (5, 1) et v√ (– 2, 7)
u√ • v√ 5 – 2 1 7
–3
y
2)
4
u√ (-1, 2)
-4
-2
2
v√ (4, 2)
0
2
4
x
u√ • v√ ac bd
u√ • v√ (– 1, 2) • (4, 2)
–1 4 2 2
0
Puisque u√ • v√ 0,
alors u√ et v√ sont
orthogonaux.
Propriétés du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs possède les propriétés suivantes.
• Commutativité
• Associativité des scalaires
• Distributivité sur une somme vectorielle
© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
Ex. : u√ • v√ v√ • u√
Ex. : k1u√ • k2v√ k1k2u√ • v√ Ex. : u√ • v√ w√ u√ • v√ u√ • w√
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