Notes de Cours PS 91 Rappel de Math

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PS91
Notes de Cours PS 91
Rappel de Math...
Produit scalaire et vectoriel
~ et B.
~ Ces deux vecteurs font un angle θ, (voir la vue en
Prenons deux vecteurs quelconques A
perpective). Le produit scalaire (noté par le point ‘·’) de ces deux vecteurs est défini par :
~ ·B
~ = ||A||||
~ B||
~ cos θ.
A
Le produit vectoriel (noté par le chapeau ‘∧’) de ces deux vecteurs est défini par :
~ =A
~ ∧ B.
~
C
~ est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs A
~ et B.
~ Sa norme vaut :
Le vecteur C
~ = ||A||||
~ B||
~ sin θ.
||C||
~ est donné par la fameuse “règle
Ici, θ est compris entre 0 et π (sinon c’est négatif !). Le sens de C
~ et B,
~ on change de signe :
du tire-bouchon”. Ainsi, si on permute A
~ ∧A
~ = −C.
~
B
~
C
~
B
θ
~
A
Figure 1 – Produit scalaire et vectoriel.
Maintenant, si on considère le repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ) orthonormé, c’est-à-dire qu’il vérifie :
||~ex || = ||~ey || = ||~ez || = 1,
~ex · ~ey = 0 et ~ez = ~ex ∧ ~ey .
On peut écrire les deux vecteurs dans cette base :
~ = a1~ex + a2~ey + a3~ez
A
et
1
~ = b1~ex + b2~ey + b3~ez .
B
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~ey
~e y′
~e x′
φ
~ex
O
Figure 2 – Base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le repère fixe ~ex et ~ey .
Comme la base est orthonormée, les composantes a1 , a2 , etc... du vecteur s’obtiennent simplement
~ · ~ex etc... De
en faisant le produit scalaire avec les vecteurs de la base : ainsi par exemple : a1 = A
plus le produit scalaire peut s’exprimer en fonctions des composantes, on trouve facilement que :
~·B
~ = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
A
Pour illustrer l’emploi du produit scalaire, prenons le cas de la base tournante ~ex′ et ~ey′ dans le repère
fixe ~ex et ~ey . Calculons les composantes :
~ex′ · ~ex = cos φ et ~ex′ · ~ey = cos(π/2 − φ) = sin φ
~ey′ · ~ex = cos(φ + π/2) = − sin φ et ~ey′ · ~ey = cos φ.
Ainsi, on trouve bien
~ex′ = cos φ ~ex + sin φ ~ey
et ~ey′ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey .
Pour le produit vectoriel, il suffit de “voir” que
~ex = ~ey ∧ ~ez ,
~ey = ~ez ∧ ~ez
et ~ez = ~ex ∧ ~ey .
Après calcul on trouve que :
~∧B
~ = (a1~ex + a2~ey + a3~ez ) ∧ (b1~ex + b2~ey + b3~ez )
A
= (a2 b3 − a3 b2 )~ex + (a3 b1 − a1 b3 )~ey + (a1 b2 − a2 b1 )~ez .
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Un peu d’analyse...
Prenons deux fonctions du temps (par exemple) f (t) et g(t). Alors
d(f ∗ g)
df
dg
=
g+f
dt
dt
dt
df n
df n−1
=n f
dt
dt
df (g(t))
dg df
=
(g(t))
dt
dt dt
Si la fonction f vérifie
alors
df
= g,
dt
Z
f (t) = g(t′ ) dt′ + cte
ou bien encore
f (t) − f (t0 ) =
Z
t
g(t′ ) dt′ .
t0
Equations différentielles
La solution de
df
+ af = C
dt
où a et C sont des constantes est donnée par
f (t) = Ae−at + C/a
où A doit être déterminé à partir des conditions initiales en t = 0.
La solution de
d2 f
+ ω2 f = C
dt2
où ω et C sont des constantes est donnée par
f (t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) + C/ω 2
où A et B doivent être déterminés à partir des conditions initiales en t = 0.
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