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Tutorat TREMPLIN : 9 séance Produit Scalaire
Tutorat TREMPLIN : 9ème séance 23 Mars 2015 Produit Scalaire On s’intéressera aujourd’hui à la notion de produit scalaire entre vecteurs, on en donnera deux définitions, dont on verra qu’elles sont équivalentes Conseil : Lisez tout le sujet avant de commencer à le faire, et ne pas hésiter à admettre des questions pour la suite. Rappels Norme d’un scalaire : On définit la norme d’un scalaire a ∈ R comme sa valeur absolue notée |a| − − Norme d’un vecteur : On définit la norme d’un vecteur → u comme sa ”longueur” notée k→ uk Une première définition −→ −−→ → \ on définit le produit scalaire entre − Pour deux vecteurs OA et OB de même origine, et d’angle θ = AOB, OA et −−→ OB par : −→ −−→ −→ −−→ OA, OB = OA × OB × cos(θ) Qu’on lira ”OA scalaire OB ” Pour deux vecteurs qui n’ont pas même origine, il suffit d’en translater l’un des deux pour faire coı̈ncider les origines. 1/ On donne les points suivants : O(0, 0) A(3, 0) B(0, 2) C(1, 1) D(−1, 2) Les placer sur un schéma, et calculer : −→ −−→ −→ −−→ −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ −→ → − OA, OC OA, OB OA, OA OA, DB OA, BD OA, 0 . 2/ 3/ 4/ 5/ − → − ∀→ u , que vaut → u,− u ? → − − − − − − Montrer que ∀→ u,→ v , si → u ⊥→ v alors u,→ v = 0. Montrer la réciproque de la question précédente. Montrer que pour tous A, B on a −−→ −→ −→ −−→ OB, OA ≤ OA × OB 6/ Pour O, A et B trois points, on définit H le projeté orthogonal de B sur (OA) comme étant le point de (OA) tel que (BH) ⊥ (OA) Montrer que pour tous O, A et B on a −−→ −→ −−→ −→ OB, OA = OH, OA − → − → − − 7/ Montrer que pour tous vecteurs → u,→ v et pour tout λ ∈ R on a : → u , λ− v =λ → u,− v 1 Une seconde définition − Pour deux vecteurs → u = xu yu − et → v = xv yv on définit : − − (→ u,→ v ) = xu × xv + yu × yv 8/ Calculer avec les points de la question 1/ : −→ −−→ (OA, OC) −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (OA, OB) (OD, OC) (DC, AB) a −b 9/ Montrer que pour tous a, b ∈ R, les vecteurs et sont perpendiculaires b a − − − 10/ On pose trois vecteurs → u,→ v ,→ w et un scalaire λ ∈ R Montrer les égalités suivantes : − − − − − − − (→ u,→ v +→ w ) = (→ u,→ v ) + (→ u,→ w) − − − − (→ u,→ v ) = (→ v ,→ u) → − → − − − ( u , λ × v ) = λ × (→ u,→ v) Équivalence des deux définitions −−→ λ \=θ On pose pour cette partie trois points O, A, B et trois scalaires λ, µ, θ tels que OB = et AOB µ 1 0 → − → − On définit les vecteurs de base i = et j = 0 1 11/ Faire un schéma. −→ −→ → −− → → − − \ 12/ Montrer que OA, λ i = λ OA cos(OB, i − θ) −→ OA 2 en utilisant cos(a − b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) = −−→ λ cos(θ) + λµ sin(θ) OB −→ −→ → −− → → − − \ 13/ Montrer que OA, µ j = µ OA cos(OB, j − θ) −→ OA µ2 cos(θ) − λµ sin(θ) = − − → OB −−→ 14/ En utilisant que λ2 + µ2 = OB montrer que : −→ → − → − −→ → − −→ → − OA, λ i + µ j = OA, λ i + OA, µ j 15/ Montrer que → − → − → − → − i, j =(i, j) → − → − → − → − i, i =(i, i) → − → − → − → − j, i =(j, i) − − 16/ Montrer que pour tous vecteurs → u,→ v on a : → − − − − u,→ v = (→ u,→ v) 2 → − → − → − → − j, j =(j, j)
