Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel
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Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel
Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel. On se place dans βπ un espace vectoriel, muni dβun produit scalaire (espace euclidien). Produit scalaire A - Produit scalaire dans lβespace βπ 1) π’ . π£ = 3π=π π₯π π¦π = π’ × π£ × cos ( π’ , π£ ) 2) π’ . π£ = 0 β π’ . β₯ π£ 3) Le p.s. est symétrique : π’ . π£ = π£ . π’ 4) Le p.s. est bilinéaire : Soit π de β, alors on a : ( π π’ ) . π£ = π ( π’ . π£ ) = π’ . (π π£ ) π’ + π£ . π€ = π’. π€ + π£. π€ B β Propriétés 1°) Inégalité de Cauchy-Schwarz : π’ . π£ β€ π’ × π£ Avec égalité ssi π’ , π£ lié (soit π’ ππ‘ π£ colinéaires) π’ , π£ lié βΊ β (a,b) β K \ {0,0} tel que π π’ + π π£ = 0 βΊ β k β K tel que π£ = π π’ 2°) Inégalité de Minkowski. : Cas dβégalité : π’ β π£ = π’ + π£ π’ β π£ β€ π’ + π£ β€ π’ + π£ ssi lβun des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de sens opposé (soit u = 0 ou β k β β β tel que v = π u ) π’ + π£ = π’ + π£ ssi lβun des deux vecteurs est nul ou si ils sont colinéaires de même sens (soit u = 0 ou β k β β+ tel que v = π u ) Produit vectoriel. 1°) Définition du Produit vectoriel dans E espace euclidien de dimension 3. Dans une base orthonormée x1 π’ β§ π£ = x2 x3 β§ y1 y2 = y3 x2 + x 3 x1 β x 3 x1 + x 2 y2 y3 y1 y3 y1 y2 x 2 . y3 β x 3 . y2 = x3 . y1 β x1 . y3 x1 . y2 β x2 . y1 2°) Propriétés. ο· Lβapplication produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique ( π’ β§ π£ = β π£ β§ π’ ). ο· ο· ο· ο· ο· π’ , π£ est liée β π’ β§ π£ = 0 π’ β§ π£ β₯ π’ ππ‘ π’ β§ π£ β₯ π£ π’ β§ π£ = π’ × π£ × π ππ π’ , π£ Lβaire du parallélogramme construit sur π’ ππ‘ π£ est égale à : π’ β§ π£ Double produit vectoriel : π’ β§ π£ β§ π€ = π’ .π€ π£ β π’ .π£ π€ ο· Identité de Jacobi : π’ β§ π£ β§π€ + π£ β§ π€ β§π’ + π€ β§ π’ β§π£ =0 M. DUFFAUD