Licence de Mathématiques Université Joseph Fourier Topologie A

Licence de Mathématiques
Topologie A
Université Joseph Fourier
2013-2014
Feuille d’exercices n◦ 3
Quelques exemples de distances
Exercice 1 1. Montrer que d(x, y) = | arctan x − arctan y| définit une distance sur R.
2. R, muni de la distance ci-dessus, est-il complet ?
3. Si ϕ est une fonction de R dans R, à quelle(s) condition(s) la formule d(x, y) = |ϕ(x) − ϕ(y)|
définit-elle une distance sur R ?
Exercice 2 Soit (X, d) un espace métrique, et soit ϕ une application de [0, +∞[ dans [0, +∞[,
telle que :
(a)
ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0,
(b)
ϕ est croissante,
(c)
∀u, v ≥ 0, ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v)
(on dit que ϕ est sous − additive).
1. Vérifier que l’application ϕ(d) := ϕ ◦ d est une distance sur E.
2.
Montrer que toute fonction concave non-nulle ϕ : [0, +∞[→ [0, +∞[ telle que ϕ(0) = 0
vérifie les conditions (a)-(c). En déduire que d/(1 + d), min(1, d), log(1 + d), et dα (0 < α < 1)
sont des distances sur E.
3. Si d est une distance, on note pour x ∈ E et r > 0, Bd (x, r) la boule ouverte de centre x et
de rayon r, c’est é dire {y ∈ E/d(x, y) < r}.
On suppose que ϕ est continue en 0.
Montrer que pour tout x ∈ E et r > 0, Bϕ(d) (x, ϕ(r)) ⊂ Bd (x, r).
Montrer que pour tout x ∈ E et r > 0, il existe r0 > 0 tel que Bd (x, r0 ) ⊂ Bϕ(d) (x, r).
Que se passe t-il si ϕ n’est pas continue en 0 ?
Exercice 3 (Espace de suites) Soit X l’ensemble des suites réelles x = (xn )n∈N . Montrer que
1
d(x, y) = Σn≥0 n min(|yn − xn |, 1) définit une distance sur X.
2
Soit l’application σ((xn )n∈N ) = (yn )n∈N avec yn = xn+1 pour tout n. Est ce que σ est
continue ? Uniformément continue ?
Exercice 4 Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans R. On
définit pour f ∈ E,
Z 1
kf k∞ = sup {|f (x)|; x ∈ [0, 1]} , kf k1 =
|f (t)|dt.
0
Vérifier que k.k∞ et k.k1 sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f ∈ E, kf k1 ≤ kf k∞ .
Ces deux normes sont-elles équivalentes ?
p
Exercice 5 Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ R2 , N (x, y) = a2 x2 + b2 y 2 .
1. Prouver que N est une norme.
2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1.
3. Déterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ pk.k2 et le plus grand nombre q tel que
qk.k2 ≤ N .
1
|x+ty|
.
Exercice 6 Soit N l’application de R2 dans R définie par : (x, y) 7→ supt∈R √
1+t2
2
1. Montrer que N est une norme sur R .
2.
Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , N (x, y) ≤ N2 (x, y) où N2 est la norme euclidienne
2
sur R .
3. Montrer que les deux normes N et N2 sont équivalentes.
Exercice 7 Soit E = C([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose Ng (f ) = kgf k∞ .
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que Ng soit une norme sur E.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que Ng soit équivalente à la norme
infinie sur E.
Exercice 8 (Distance SNCF) Si x et y sont deux vecteurs du plan R2 muni de la norme euclidienne k·k, on définit d(x, y) = kx − yk si x et y sont colinéaires et d(x, y) = kxk + kyk s’ils ne
le sont pas.
1. Montrer que d est une distance (appelée distance SNCF, pourquoi ?).
2. Décrire géométriquement la boule B(x, r) = {y ∈ R2 | d(x, y) < r} pour x ∈ R2 et r ∈ R?+
quelconques fixés.
3. Existe-t-il une norme N sur l’espace vectoriel R2 telle que d soit la distance associée à N ?
Exercice 9 (Distances sur l’espace des polynômes) Si P et Q sont des polynômes à coefficients
réels, on définit
d0 (P, Q) = Supx∈[0,1/2] |P (x) − Q(x)|,
Z 1
d1 (P, Q) =
|P (x) − Q(x)|dx,
0
deg(P − Q) + 1 si P 6= Q,
d2 (P, Q) =
0
sinon.
1.
2.
Montrer que ce sont des distances sur l’espace R[X].
Quel est le comportement de la suite (X n )n∈N pour chacune de ces distances ?
Exercice 10 Soit (E, d) un espace métrique. La formule
d(A, B) = inf{d(a, b)/(a, b) ∈ A × B}
définit-elle une distance sur l’ensemble des parties non vides de E ?
Exercice 11 Soit E un ensemble fini. Lorsque A et B sont deux parties de E, on note A∆B leur
différence symétrique ( défini par A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)), et on pose d(A, B) = card(A∆B).
Montrer que d est une distance sur l’ensemble des parties de E.
Distances provenant d’une norme ou d’un produit scalaire
Exercice 12 Soit E un espace vectoriel réel, et d une distance sur E. Montrer que d provient
d’une norme sur E si et seulement si les deux conditions suivantes sont réalisées :
1. invariance par translation : pour tous x, y, z ∈ E, d(x + z, y + z) = d(x, y) ;
2. action des dilatations : pour tous x, y ∈ E et λ ∈ R, d(λx, λy) = |λ|d(x, y).
2
Exercice 13 Si k · k est une norme sur Rn , on définit, pour toute matrice réelle n × n A,
|||A||| = Supx6=0
kAxk
.
kxk
Montrer que ||| · ||| est une norme sur l’espace des matrices réelles n × n, qui vérifie de plus, pour
toutes telles matrices A et B : |||AB||| ≤ |||A||| |||B|||.
Exercice 14 (Inégalité de Hölder) On fixe dans ce qui suit un réel p > 1, et on note p0 l’unique
réel tel que 1/p + 1/p0 = 1 (on a aussi p0 > 1).
1. En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, montrer que pour tous a, b ≥ 0, on a
0
ab ≤ ap /p + bp /p0
2.
Inégalité de Hölder. Lorsque x, y ∈ Rn , montrer que
n
!1/p n
!1/p0
n
X
X
X
0
xk yk ≤
|xk |p
|yk |p
,
k=1
k=1
k=1
avec égalité seulement si x et y sont colinéaires (on pourra utiliser la question précédente avec
1
P
P
0 1
a = |xk |/( nk=1 |xk |p ) p , b = |yk |/( nk=1 |yk |p ) p0 ).
3. En déduire l’inégalité de Minkowski : pour tous x, y ∈ Rn ,
n
X
!1/p
|xk + yk |p
n
X
≤
!1/p
|xk |p
+
!1/p
|yk |p
.
k=1
k=1
k=1
n
X
P
En déduire que l’application x 7→ ( nk=1 |xk |p )1/p est une norme sur Rn .
4. Procéder de même en remplaçant Rn par l’espace des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs
réelles (et les sommes, par des intégrales).
Exercice 15 (Comparaison de normes sur R2 ) Pour x = (x1 , x2 ) ∈ R2 et p > 0, on pose :
1
Np (x) = (|x1 |p + |x2 |p ) p
et
N∞ (x) = max(|x1 |, |x2 |)
On a démontré que pour tout p ≥ 1, Np est une norme sur R2 .
Démontrer que N∞ est une norme sur R2 .
Montrer que si p < 1, Np n’est pas une norme sur R2 .
2.
Montrer que pour tout vecteur x ∈ R2 , l’application p 7→ Np (x) est décroissante et
Np (x) → N∞ (x) quand p → +∞.
1.
3.
1
Pour 0 < p < q < +∞, montrer que Nq ≤ Np ≤ 2 p
− 1q
Nq
Exercice 16 (Distance ultramétrique) Soit E un ensemble et d : E × E −→ R+ telle que
i) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x)
ii) ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y
iii) ∀(x, y, z) ∈ E 3 , d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z, y))
1. Montrer que d est une distance et que si d(x, z) 6= d(z, y), iii) est une égalité. (Dans E
tous “les triangles sont isocèles”).
2. Montrer que si r > 0 et x ∈ E, pour tout y ∈ B(x, r), B(y, r) = B(x, r).
3
3. Montrer qu’une suite (xn )n≥0 de points de E est de Cauchy si et seulement si la suite
(d(xn , xn+1 ))n≥0 tend vers 0.
4. Soit p un nombre premier. Pour tout entier strictement positif, on définit vp (n) comme
étant l’exposant de p dans la décomposition de n en facteurs premiers.
Si x ∈ Z \ {0}, x = ±r avec r entier strictement positif, on pose vp (x) = vp (r).
−v (x−y)
p p
si x 6= y
Si x, y ∈ Z, on pose dp (x, y) =
0
si x = y
a) Montrer que dp est une distance ultramétrique sur Z.
b) Soit n ∈ N et x ∈ Z, déterminer les éléments de la boule ouverte B(x, p−n ) et de la
boule fermée B̃(x, p−n ).
c) Montrer que la suite de terme général un = 6n converge vers 0 dans (Z, d2 ) mais diverge
dans (Z, d5 ).
4