Métriques invariantes en analyse complexe

Métriques invariantes en analyse complexe
Léa Blanc-Centi
Le but est ici de présenter des objets (métrique de Kobayashi, métrique de Poincaré,. . .)
intervenant dans diverses thématiques de recherche développées au sein du laboratoire :
analyse complexe, mais aussi géométrie hyperbolique ou géométrie algébrique complexe.
Les applications holomorphes conservent les angles, mais pas la distance euclidienne :
la notion de ”plus court chemin” n’est pas préservée. A la fin du dix-neuvième siècle, H.
Poincaré eut l’idée de munir le disque unité du plan complexe d’une métrique pour laquelle
les bijections holomorphes sont des isométries. L’objectif de ce cours est de décrire trois
généralisations possibles de cette métrique à un domaine quelconque du plan complexe, et
d’en donner des applications en théorie géométrique des fonctions holomorphes. En effet,
l’utilisation en analyse complexe d’outils métriques (longueur, courbure...) se révèle très
fructueuse.
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Métriques infinitésimales sur un domaine de C.
L’exemple du disque de Poincaré.
Construction de la métrique de Bergman.
Métriques de Carathéodory et de Kobayashi.
Hyperbolicité et complétude.
Comparaison des métriques.
Si le temps le permet, on généralisera ensuite la construction de la métrique de Kobayashi au cas d’un domaine de Cn , en introduisant les bases de l’analyse complexe à
plusieurs variables.
Bibliographie
[1] B. Chabat, Introduction à l’analyse complexe, tome 2. Editions Mir, Moscou, 1990.
[2] Sh. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[3] S. Krantz, Complex analysis : the geometric viewpoint. Carus Mathematical Monographs, 23. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1990.
[4] S. Krantz, The Carathéodory and Kobayashi metrics and applications in complex analysis. http ://arxiv.org/abs/math/0608772 .
[5] R. Sà Earp, E. Toubiana, Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de
Riemann. Cassini, 2009.