Topologie et espaces métriques, exercices. Table des mati`eres

Groupes 1 et 2.
TD L3, 5L12
2006-2007
Topologie et espaces métriques, exercices.
Table des matières
1 Les nombres réels
2
2 Espaces métriques-Topologie.
2.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Adhérence, intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
5
3 Espaces métriques compacts.
7
4 Espaces métriques complets.
10
4.1 Complétude. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Complétude et espaces de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Connexité.
14
6 Espaces de fonctions
18
7 Examens de 2004-2005-2006
7.1 Examen 14 décembre 2004/2005
7.2 Seconde session 2004/2005 . . .
7.3 Partiel 2005/2006. . . . . . . .
7.4 Devoir à la maison 2005/2006. .
7.5 Seconde session 2005/2006. . . .
20
20
22
23
24
25
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Merci de nous signaler toutes les fautes, coquilles, etc...
à [email protected], merci.
Gérard Grélaud, Camille Laurent-Gengoux, Yvan Meguerditchian.
1
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La plupart des exercices de cette feuille proviennent de Patrice Tauvel, que nous remercions
infiniment.
Sauf indication contraire, X est, ci-dessous, un espace métrique. Pour toute paire d’espaces
métriques X, Y , on note C0 (X, Y ) l’ensemble des applications continues de X vers Y .
1
Les nombres réels
Exercice 1.1 : SupetMax
est bornée ?
Une partie infinie a t-elle toujours un plus petit élément ? et si elle
Exercice 1.2 : SupetMax Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {1/n, n ∈ N∗ } ? Ces
bornes sont-elles un max, un min ?
Exercice 1.3 : SupetMax Quelle est la borne sup et la borne inf de E = {
Ces bornes sont-elles un max, un min ?
Exercice 1.4 : LimSupetLimMax
“limite inf”.
n+(−1)n
(−1)n
n+1+ 2
, n ∈ N∗ } ?
Reprendre les trois exos précédents avec “limite sup” et
Exercice 1.5 : Limite de sous-suite Construire une suite dont les limites supérieures et
inférieures sont 3 et −5 respectivement. Est-il d’imposer en plus u0 = 100, u1 = −10568. Est-il
possible d’imposer en plus que cette suite converge ? Est-il possible d’imposer en plus qu’il existe
un sous-suite qui tende vers 2 ? et est-il possible d’imposer en plus qu’il existe un sous-suite qui
tende vers 8, 67 ?
Exercice 1.6 : Suites denses. Construire une suite réelle (un )n∈N telle que pour tout réel r,
et pour tout ε > 0, il existe un élélement n0 tel que |un0 − un | < ε.
Montrer que tout réel est la limite d’une sous-suite de (un )n∈N .
Exercice 1.7 : (difficile) Soit E un ensemble infini de [0, 1]. Montrer que E a ou bien une
infinité d’éléments dans [0, 12 ] ou bien une infinité d’éléments dans [ 12 , 1]
Soit (un )n∈N une suite de réels de [0, 1]. Montrer qu’il existe une sous-suite convergente.
Exercice 1.8 : Croissante et majorée Soit πn le réel obtenu en tronquant le développement
décimal de π à l’ordre n. Montrer que la suite (πn )n∈N est croissante et bornée. Quelle est sa
limite ?
2
2.1
Espaces métriques-Topologie.
Exemples.
Exercice 2.1 : Somme de distances Soient d1 , . . . , dn des distances sur un ensemble X et
λ1 , . . . , λn des réels positifs ou nuls et non tous nuls. Si x, y ∈ X, on pose :
d(x, y) = λ1 d1 (x, y) + · · · λn dn (x, y)
Montrer que d est une distance sur X.
2
Exercice 2.2 : Métrique S.N.C.F. Soit d la distance euclidienne sur R2 . On fixe un point
p ∈ R2 . Pour x, y ∈ R2 on pose :
(
d(x, y) si x, y, p sont alignés
D(x, y) =
d(x, p) + d(y, p) si x, y, p ne sont pas alignés
a) Prouver que D est une distance sur R2 .
b) Soit r ∈ R∗+ .
(i) Dessiner la boule BD (p, r).
(ii) Soit m ∈ R2 \ {p}. Dessiner la boule BD (m, r) (distinguer suivant que r 6 d(p, m)
ou non).
Exercice 2.3 : Métrique discrète. Soit X un ensemble non vide. Munissons-le de la distance
discrète :
d(x, x) = 0 , d(x, y) = 1 si x 6= y
Quelles sont les parties ouvertes de X ? fermées ? Quelle est l’adhérence d’un sous-ensemble A
de X ? l’intérieur ? Quels sont les voisinages d’un point de X ?
Exercice 2.4 : Métrique sur R. Soient a, b ∈ R tels que a < b. R est muni de sa distance
usuelle.
a) Prouver que ]a, b[, ] − ∞, a[ et ]a, +∞[ sont des ouverts de R.
b) Prouver que [a, b], ] − ∞, a] et [a, +∞[ sont des fermés de R.
c) Prouver que [a, b[ n’est ni ouvert, ni fermé dans R.
Exercice 2.5 : Ultramétrique. Soit X un ensemble non vide. On suppose que X est muni d’une
distance ultramétrique, c’est à dire que, pour tous x, y, z ∈ X, on a d(x, y) 6 max{d(x, z), d(y, z)}.
a) Soient x, y, z ∈ X tels que d(x, z) 6= d(y, z). Montrer que d(x, y) = max{d(x, z), d(y, z)} (en
d’autres termes, tout triangle dans X est isocèle).
b) Montrer que tout point d’une boule est centre de cette boule. Prouver qu’une boule ouverte
ou fermée de X est ouverte et fermée dans X.
c) Si deux boules ouvertes (resp. fermées) ont un point commun, l’une est contenue dans l’autre.
d) Soit E un ensemble non vide et S l’ensemble des suites de points de E. Si u = (un )n et
v = (vn )n sont des éléments distincts de S, on note : ω(u, v) = inf {n ∈ N; un 6= vn }.
1
si u 6= v. Montrer que d est une distance ulOn pose d(u, u) = 0 et d(u, v) =
1 + ω(u, v)
tramétrique sur S.
2.2
Adhérence, intérieur.
Exercice 2.6 : Exemples d’intérieurs et d’adhérence I. Soient A, B les parties de R suivantes :
A={
1
1 1
; n ∈ N∗ } , B = { + ; n, p ∈ N∗ }
n
n p
Déterminer l’intérieur, l’adhérence et l’ensemble dérivé de A et B.
3
Exercice 2.7 : Exemples d’intérieurs et d’adhérence II. Soit A =]0, 1[∪]1, 2[∪(Q∩]2, 3[) ∪ {4}
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Déterminer A, A, A, A, A, A
Exercice 2.8 : Opérations élémentaires sur l’adhérence et l’intérieur. I
Soient X un espace
◦
◦
métrique, A et B des parties de X telles que A ⊂ B. Montrer que A ⊂ B et A ⊂ B.
Exercice 2.9 : Opérations élémentaires sur l’adhérence et l’intérieur. II
métrique, A et B des parties de X. Montrer que A ∪ B = A ∪ B.
Montrer que A ∩ B ⊂ A ∩ B. A-t-on toujours l’égalité ?
◦
Soient X un espace
◦
◦
◦
Comparer l’intérieur de A ∪ B avec A ∪ B. Comparer de même l’intérieur de A ∩ B avec A ∩ B.
Exercice 2.10 : La “saucisse de Minkowski”. Soit A une partie non vide d’un espace métrique
X.
Pour r ∈ R∗+ , on pose B(A, r) = {x ∈ X; d(x, A) < r}.
a) Montrer que B(A, r)[
est un ouvert de X.
\
b) Etablir : B(A, r) =
B(x, r) , A =
B(A, r).
x∈A
r>0
Exercice 2.11 : Généralités sur les adhérences, I. Soit E un espace métrique, (Ai )i∈I une
[
[
[
famille de parties de E. On suppose que
Ai est fermé. Montrer que :
Ai =
Ai
i∈I
i∈I
i∈I
Exercice 2.12 : Généralités sur les adhérences, II. Soit E un espace métrique, A et B deux
parties de E telles que A ∩ B = A ∩ B = ∅. Montrer que si A ∪ B est fermé, alors A et B sont
fermés.
Exercice 2.13 : Généralités sur les adhérences, III. Soit U une partie d’un espace métrique
X. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) U est un ouvert de X
(ii) Pour toute partie A de X, on a A ∩ U = A ∩ U
Exercice 2.14 : Points isolés. Soit E un espace métrique, A une partie de E sans point isolé.
Montrer que A n’a pas de point isolé.
Exercice 2.15 : Une difficulté sur les notions d’intérieur et d’adhérence. Soient X un espace
métrique, A une partie de X et B une partie de A. On munit A de la métrique induite par celle
de X.
a) Montrer que l’intérieur de B dans l’espace métrique A contient l’intérieur de B dans l’espace
métrique X.
b) On suppose que A est ouverte dans X. Montrer que l’intérieur de B dans l’espace métrique
A coincide avec l’intérieur de B dans l’espace métrique X.
4
2.3
Applications.
Exercice 2.16 : Le diamètre. Le diamètre δ(A) d’une partie A d’un espace métrique X est
défini par δ(∅) = 0 et, si A non vide, par δ(A) = sup{d(x, y), x, y ∈ A} ∈ R+ ∪ {+∞}
a) Soient A, B des parties de X. Etablir :
(i) δ(A) = 0 si et seulement si A contient au plus un point.
(ii) Si A ⊂ B , alors δ(A) 6 δ(B).
(iii) δ(A) = δ(A).
(iv) Si A ∩ B 6= ∅ alors δ(A ∪ B) 6 δ(A) + δ(B).
b) Soient A, B, C des parties non vides de X. Montrer les assertions suivantes :
(i)d(A, B) = d(A, B).
(ii)d(A, C) 6 d(A, B) + d(B, C) + δ(B).
(iii) d(A, B ∪ C) = min{d(A, B), d(A, C)}.
Exercice 2.17 : Sur la densité, I. Soient X un espace métrique, A une partie de X et B une
partie de A. On munit A de la métrique induite par celle de X. On suppose que A est dense
dans X et que B est dense dans A. Montrer que B est dense dans X.
Exercice 2.18 : Sur la densité, II. Soit E un espace métrique non vide, A une partie de E.
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
◦
(i) A 6= ∅.
(ii) Pour toute partie U de E, dense dans E, on a : A ∩ U 6= ∅.
Exercice 2.19 : Sur la densité, III. Soient un espace métrique X, un ouvert U et A une
partie dense de X. Montrer que U = A ∩ U .
Exercice 2.20 : La notion de frontière. Soit A une partie d’un espace métrique X. On note
F r(A) la frontière de A.
a) Montrer que F r(A) = ∅ si et seulement si A est ouverte et fermée dans X.
b) Montrer que si A est fermée, F r(A) est d’intérieur vide.
c) Démontrer que A est ouverte si et seulement si A ∩ F r(A)) = ∅.
d) Prouver que A est fermée si et seulement si F r(A) ⊂ A.
◦
e) Etablir : F r(A) ⊂ F r(A) , F r(F r(F r(A))) = F r(F r(A))
Exercice 2.21 : Un exercice classique. Soit (xn )n>1 une suite de réels positifs vérifiant, pour
tous n, p ∈ N∗ :
(n + p)xn+p 6 nxn + pxp
a) Montrer que, si k, n ∈ N∗ , on a xkn 6 xn (raisonner par récurrence sur k).
b) Soit l = inf {xn , n ∈ N∗ }. Prouver que la suite (xn )n converge vers l.
Exercice 2.22 : Résultats fins sur les suites convergentes.
strictement positifs de limite nulle.
5
Soit (xn )n une suite de réels
a) Soit S l’ensemble des n ∈ N tels que xm 6 xn pour tout m > n. Montrer que S est infini.
b) Soit T l’ensemble des n ∈ N tels que xm > xn pour tout m 6 n. Montrer que T est infini.
Exercice 2.23 : Un théorème de point fixe. Soit f, g ∈ C0 ([0, 1], [0, 1]) vérifiant f ◦ g = g ◦ f .
a) Soit S1 = {x ∈ [0, 1]; x 6 g(x)}. Montrer que S1 est non vide. Soit c1 la borne supérieure
de S1 . Prouver que c1 ∈ S1 . Comparer c1 et g(c1 ).
b) Montrer qu’il existe a ∈ [0, 1] tel que f (a) = g(a).
Exercice 2.24 : Un autre théorème de point fixe. Soit f ∈ C0 (R, R). Pour n ∈ N∗ , on note
fn l’itérée d’ordre n de f . On suppose qu’il existe a ∈ R tel que la suite (xn )n>1 , définie par
1
[f (a) + f2 (a) + · · · + fn (a)]
n
soit bornée. Prouver que f a au moins un point fixe.
xn =
Exercice 2.25 : Définitions alternatives de la continuité. Soit f ∈ F(X, Y ), où X, Y sont
des espaces métriques. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est continue.
(ii) Pour toute partie A de X, on a f (A) ⊂ f (A).
◦
(iii) Pour toute partie B de Y , on a f −1 (B) ⊂ [f −1 (B)]◦ .
(iv) Pour toute partie B de Y , on a f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
Exercice 2.26 : Séparabilité des fermés. Soient A, B des parties fermées, non vides, et
disjointes de l’espace métrique X.
a) Montrer que d(x, A) + d(x, B) > 0 pour tout x ∈ X.
Si x ∈ X, on pose :
d(x, A)
f (x) =
d(x, A) + d(x, B)
b) Montrer que f : X −→ R est continue, et que f (x) = 0 si x ∈ A et f (x) = 1 si x ∈ B.
c) En déduire qu’il existe des ouverts U et V de X tels que :
A⊂U , B ⊂V , U ∩V =∅
Exercice 2.27 : Topologies équivalentes et normes équivalentes. Pour x, y ∈ [0, 1], on pose :
d(x, y) =| x − y | , D(x, y) =|
√
x−
√
y|
a) Montrer que d et D sont des distances sur [0, 1], y définissant les mêmes ouverts.
b) existe-t-il k > 0 tel que D(x, y) 6 kd(x, y) pour tous x, y ∈ [0, 1] ?
Exercice 2.28 : Continuité et continuité uniforme I. Prouver que l’application de R dans R
définie par t −→ sin(t2 ) est continue, bornée, mais non uniformément continue.
Exercice 2.29 : Continuité et continuité uniforme II. Soit f ∈ C0 (R, R) admettant des limites
réelles l et L en −∞ et en +∞. Prouver que f est uniformément continue.
6
Exercice
2.30 : Continuité et suites a) Soit (pn , qn ) une suite dans Z × N∗ telle que la suite
p n
a une limite α ∈ R \ Q. Etablir :
qn
lim | pn | = lim qn = +∞
n
n
b) Etudier la continuité des applications suivantes :
(i) f ∈ C0 (R, R), avec f (x) = x si x ∈ R \ Q et f (x) = p sin( 1q ) si x = pq ∈ Q et
pgcd(p, q) = 1.
1
(ii) f ∈ C0 (R∗+ , R), avec f (x) = 0 si x ∈ R \ Q et f (x) = p+q
si x = pq ∈ Q et
pgcd(p, q) = 1.
pq
p
x
(iii) f ∈ C0 (R∗+ , R), avec f (x) = 1+x
2 si x ∈ R \ Q et f (x) = q+p2 +q 2 si x = q ∈ Q et
pgcd(p, q) = 1.
3
Espaces métriques compacts.
Par homéomorphisme on entend une bijection continue dont l’inverse est également continue.
Exercice 3.1 : Quelques compacts bien connus.
Soit X espace métrique.
1. Soient (xn )n∈N une suite convergente dans X et ` sa limite. Montrer que {`}∪{xn ; n ∈ N}
est une partie compacte de X.
2. Montrer qu’un espace métrique de cardinal fini est toujours compact.
3. A quelle condition un ensemble X muni de la métrique du Pb 3 feuille 1 est il compact ?
4. L’ensemble des applications de {0, 1} dans [0, 1] est-il compact ?
5. Montrer que l’ensemble des réels de [0, 1] dont l’écriture décimale ne comporte que des 0
et des 7 est compact.
Exercice 3.2 : Séparation des compacts.
Soient A et B des compacts non vides et disjoints de X. En raisonnant sur des recouvrements,
prouver qu’il existe des ouverts U et V de X tels que :
A ⊂ U , B ⊂ V , U ∩ V = ∅.
Exercice 3.3 : Suite décroissante de compacts, I.
Soient (An∈N )n∈N une suite décroissante de compacts de X, et A leur intersection. Soit U un
ouvert de X contenant A. Prouver qu’il existe n ∈ N tel que An∈N ⊂ U .
Exercice 3.4 : Suite décroissante de compacts, II.
Soient (An∈N )n∈N une suite décroissante de compacts de X et f ∈ C0 (X, Y ).
a) Établir :
f
T
T
An∈N =
f (An∈N ).
n>0
n>0
b) Ce résultat est-il encore vrai si les An∈N sont seulement supposés fermés ?
7
c) On suppose X compact et non vide. Soit g ∈ C0 (X, X). Prouver qu’il existe un compact
non vide B de X tel que g(B) = B.
Exercice 3.5 : Plongements d’un compact.
Soient f ∈ C0 (X × Y, Z), A et B des compacts de X et Y , et W un ouvert de Z.
On suppose que f (A × B) ⊂ W . Prouver qu’il existe des ouverts U et V de X et Y tels que :
A ⊂ U , B ⊂ V , f (U × V ) ⊂ W.
Exercice 3.6 : La fonction nulle.
On suppose X compact. Soit F une partie non vide de C0 (X, R) vérifiant les conditions suivantes :
(i) Si f, g ∈ F, alors f g ∈ F.
(ii) Pour tout x ∈ X, il existe fx ∈ F et Vx ∈ VX (x) tels que fx |Vx = 0.
Prouver que F contient l’application nulle sur X.
Exercice 3.7 : Une caractérisation des ouverts de Rn .
On suppose X compact. Soient f1 , . . . , fn∈N ∈ C0 (X, R). On suppose que, si x, y sont des points
distincts de X, il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que fi (x) 6= fi (y). Prouver que X est homéomorphe
à une partie de Rn .
Exercice 3.8 : Bornes sup. et inf.
On suppose X compact. Soit f ∈ C0 (X × Y, R). Pour y ∈ Y , on pose :
g(y) = sup{f (x, y); x ∈ X} , h(y) = inf{f (x, y); x ∈ X}.
Montrer que g et h définissent des applications continues de Y dans R.
Exercice 3.9 : Une caractérisation des fonctions continues.
Soit f : X → Y une application fermée (c’est à dire telle que l’image d’un fermé est un fermé). On suppose que,
pour tout y ∈ Y , f −1 (y) est un compact de X.
a) Soit B un compact de Y . Montrer que f −1 (B) est un compact de X.
b) On suppose Y compact. Montrer que f est continue.
Exercice 3.10 : Compacité locale et fonctions continues.
On suppose X localement compact. Soit f : X → Y une application continue et ouverte.
a) Prouver que f (X) est localement compact.
b) On suppose f surjective. Soit B un compact de Y . Montrer qu’il existe un compact A de X
tel que B = f (A).
Exercice 3.11 : Les compacts sont séparables.
Montrer que tout espace métrique compact contient une partie dénombrable dense.
Exercice 3.12 : Isométries I.
Une application f : X → Y est appelée une isométrie si d f (x), f (y) = d(x, y) pour tous
x, y ∈ X.
On suppose X compact. Soit u : X → X vérifiant, pour tous x, y ∈ X :
d(x, y) 6 d u(x), u(y) .
8
a) Soient x, y ∈ X. On pose x0 = x, y0 = y et, pour n ∈ N :
xn+1 = u(xn∈N ) , yn+1 = u(yn∈N ).
Prouver que (x, y) est une valeur d’adhérence de la suite (xn∈N , yn∈N ) n∈N dans X × X. En
déduire que u est une isométrie Astuce : appliquer lz résultat précédent au compact X × X .
b) Montrer que u(X) = X.
c) Si X n’est pas supposé compact, une isométrie de X dans lui-même est-elle nécessairement
surjective ?
d) On suppose que X et Y sont compacts et qu’il existe des isométries f : X → Y et g : Y → X.
Montrer que Y = f (X) et X = g(Y ).
Exercice 3.13 : Isométries II
On suppose X compact et, on note P ∗ (X) l’ensemble des parties non vides de X.
a) Soit T : X → P ∗ (X) une application telle que, pour tous x, y ∈ X et tous a ∈ T (x), b ∈ T (y),
on ait :
d(x, y) 6 d(a, b).
Montrer que, si x ∈ X, T (x) est réduit à un point. Prouver que T induit une isométrie de X
sur lui-même.
b) Soit u : X → X une surjection vérifiant d u(x), u(y) 6 d(x, y) pour tous x, y ∈ X. Montrer
que u est une isométrie.
Exercice 3.14 : Une distance sur l’ensemble des parties compactes.
On note K l’ensemble des parties compactes non vides de X. Si a ∈ X, ka désigne la partie {a}
de X (donc ka ∈ K). Pour A, B ∈ K, on pose :
θ(A, B) = sup{d(x, B); x ∈ A} , D(A, B) = sup{θ(A, B), θ(B, A)}.
a) Soient A, B, C ∈ K.
(i) Prouver que θ(A, B) ∈ R+ et, qu’il existe x0 ∈ A tel que θ(A, B) = d(x0 , B).
(ii) Montrer que θ(A, B) = 0 si et seulement si A ⊂ B.
(iii) Prouver que θ(A, C) 6 θ(A, B) + θ(B, C). En déduire que D est une distance sur K.
(iiii) Pour tout ε > 0, on appelle ε-saucisse de Minkowski d’un ensemble A l’union des boules de
rayon ε et centrées en un point de A. Montrer que pour tous compacts A, B, et tout η > θ(A, B),
A est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de B, et, réciproquement, B est inclus dans l’ηsaucisse de Minkowski de A.
(v) Montrer que pour tous compacts A, B, si A est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de B,
et, réciproquement, B est inclus dans l’η-saucisse de Minkowski de A, alors η > θ(A, B), .
Exercice 3.15 : Compacts d’un espace vectoriel.
Soient A, B des parties non vides de E. On note A + B l’ensemble des x + y, avec x ∈ A et
y ∈ B.
a) On suppose A ou B ouverte. Prouver que A + B l’est aussi.
b) Si A et B sont compactes, A + B l’est également.
c) Si A est compacte et B fermée, A + B est fermée.
d) Donner un exemple de deux parties fermées A, B de R2 telles que A + B ne soit pas fermée.
Exercice 3.16 : Compacts d’un espace vectoriel.
Soient A, B des parties compactes de E et S la réunion de tous les segments de droites joignant
un point de A et un point de B. Montrer que S est un compact de E.
9
Exercice 3.17 : Tiré en arrière et norme infinie.
On suppose X et Y compacts. Soit f ∈ C0 (X, Y ). Pour u ∈ C0 (X, R) et v ∈ C0 (Y, R), on pose :
kuk = sup{|u(x)|; x ∈ X} , kvk = sup{|v(y)|; y ∈ Y }.
On obtient ainsi des normes sur C0 (X, R) et C0 (Y, R). Soit :
ϕ : C(Y, R) → C0 (X, R) , v → v◦f.
Prouver que ϕ est linéaire, continue, et de norme 1.
Exercice 3.18 : Compacité des fonctions à dérivées bornées.
Soit I = [0, 1]. On munit C(I, I) de la métrique infinie, c’est à dire d(f, g) = supx∈I |f (x)−g(x)|.
a) C0 (I, I) est-il compact ?
b) (difficile) Montrer que l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée est toujours majorée
par 1 en valeur absolue est une partie compacte de C(I, I). Indication : prendre une suite fn et faire converger
fn ( 2k
m ) n∈N , pour tout k, m.
Exercice 3.19 : Hahn-Banach.
2
(pas simple non plus) Soient C et D deux convexes compacts de R . Montrer qu’il existe une droite
n’intersectant aucun des deux convexes et “séparant” ceux -ci (c’est à dire telle que les convexes
C et D ne soient pas du même côté de la droite).
Exercice 3.20 : English compact.
Is the empty set a compact set ?
4
Espaces métriques complets.
4.1
Complétude. Généralités.
Exercice 4.1 : Complétude et intersection Soient A et B des parties complètes de X. Montrer
que A ∪ B est une partie complète de X.
Exercice 4.2 : Complétude et intersections. On suppose X complet. Soient f ∈ C0 (X, Y ) et
(An )n une suite décroissante de fermés de X dont le diamètre tend vers 0. Etablir :
\ \
f
An =
f (An )
n>0
n>0
Exercice 4.3 : Définitions équivalentes de la complétude. Montrer que les conditions suivantes
sont équivalentes :
1.
2.
(i) X est complet
(ii) Pour toute suite décroissante (An )n de parties fermées non vides de X dont le
diamètre tend vers 0, l’intersection des An est non vide.
10
Exercice 4.4 : Complétude et homéomorphisme. Soit f : X → Y un homéomorphisme. On
suppose qu’il existe a ∈ R∗+ tel que, pour tous x, y ∈ X, on ait d(x, y) 6 a d f (x), f (y) .
Montrer que si X est complet, Y l’est aussi.
Exercice 4.5 : Généralisation de l’exercice précédent. Soit f : X → Y un homéomorphisme.
On suppose que f est une application uniformément continue. Montrer que si Y est complet,
X l’est aussi.
Exercice 4.6 : Contre-exemple à la réciproque de l’exercice précédent. Donner un exemple
d’espace métrique X, Y et d’une application f : X → Y vérifiant les conditions :
(i) f est un homéomorphisme de X sur Y et est une application unformément continue.
(ii) X est complet et Y ne l’est pas.
Exercice 4.7 : Une métrique exotique. Soit E = {a1 , a2 , a3 , . . .} un ensemble dénombrable
infini. On pose d(ap , ap ) = 0 et si p 6= q :
d(ap , aq ) = 1 +
1 1
+
p q
a) Prouver que d est une distance sur E et que l’espace métrique (E, d) est complet.
b) Soit f : E −→ E, an −→ an+1 . Montrer que f diminue strictement les distances mais que f
n’a aucun point fixe.
c) Construire une application u de E dans E, ayant un point fixe unique a, vérifiant d(u(x), u(y)) <
d(x, y) si x 6= y et telle que, pour x ∈ E \ {a} la suite (un (x))n∈N soit divergente.
Exercice 4.8 : Convergence uniforme et contre-exemple important. On munit l’espace vectoriel
des applications bornées de R dans lui-même de la norme de la convergence uniforme, k f k∞ =
sup{| f (x) |, x ∈ R}. Si n ∈ N, on note fn l’application de R dans lui-même, nulle sur
] − ∞, n − 1] et sur [n + 1, +∞[ et telle que :
fn (t) = t + 1 − n si n − 1 < t < n, fn (t) = −t + n + 1 si n 6 t < n + 1
a) Montrer qu’aucune suite extraite de la suite (fn )n n’est de Cauchy.
b) Que n’est pas la boule unité fermée de l’espace vectoriel des applications bornées de R dans
lui-même ?
Exercice 4.9 : Untra-métrique a) On suppose que la distance d sur X est ultramétrique.
Montrer qu’une suite (xn )n∈N dans X est de Cauchy si et seulement si d(xn , xn+1 ) tend vers 0
quand n tend vers +∞.
b) On reprend l’exemple d’espace ultramétrique (S, d) de l’exercice 5 du TD 1. Prouver que
(S, d) est complet.
d) On munit N de la métrique suivante : d(n, n) = 0 et d(n, m) = 1/2k où k est le plus grand
entierP
tel que 2k divise n − m. Montrer que l’on df́iniit ainsi une ultra-métrique et que la suite
un = ni=0 2i est de Cauchy.
11
4.2
Complétude et espaces de fonctions.
Exercice 4.10 : De la non-complétude des fonctions continues pour des “mauvaises” normes.
I Soit E l’espace vectoriel des fontions continues de [0, 1] dans R.
R1
a) Vérifier que N1 (f ) = 0 | f (t) | dt est une norme sur E.
b) Soit la suite de fonctions (fn )n∈N définies par

1

0 si x ∈ [0, 2 ]
fn (x) = n(x − 12 ) si x ∈] 12 , 12 + n1 ]


1 si x ∈] 12 + n1 , 1]
Vérifier que fn ∈ E. Tracer les courbes de fn et fm sur le même dessin, pour n 6 m et
représenter N1 (fn − fm ) comme une aire du plan. La calculer géométriquement et en déduire
que (fn )n∈N est une suite de Cauchy de E.
c) On suppose que la suite (fn )n∈N converge vers une fonction f dans E pour la norme N1 .
Z b
Z b
Montrer que pour tout [a, b] ⊂ [0, 1], on a lim
fn =
f.
n
a
a
En utilisant une primitive de f montrer que f = 0 sur [0, 12 [ et f = 1 sur ] 12 , 1].
En déduire que l’espace E muni de la norme N1 n’est pas complet.
Exercice 4.11 : De la non-complétude des fonctions continues pour des “mauvaises” normes
II. On garde l’espace E de l’exercice précédent.
R1
a) Montrer que < f, g >= 0 f (t)g(t)dt définit un produit scalaire sur E.
On notera N2 la norme euclidienne associée.
b) Soit la suite de fonctions (fn )n∈N définies par
(
n si x ∈ [0, n14 ]
fn (x) =
1
x− 4 si x ∈] n14 , 1]
Dessiner fn .
Pour n 6 m calculer N2 (fn − fm ) et en déduire que (fn ) est une suite de Cauchy dans E pour
N2 .
c) On suppose que la suite (fn )n∈N converge
vers une fonction f dans E pour la norme N2 .
R1
Montrer alors que pour tout ε > 0 , ε | fn (t) − f (t) |2 dt −→ 0 quand n −→ +∞.
1
d) En déduire que f (x) = x− 4 si x ∈]0, 1]. Montrer que E muni de N2 n’est pas un espace
complet.
Exercice 4.12 : De l’espace des suites bornés. On désigne par l∞ l’espace vectoriel des suites
bornées de nombres réels. Pour x = (xn )n∈N un élément de l∞ , on pose
12
N∞ (x) = sup | xn |
n
a) Montrer que N∞ est une norme sur l∞ .
(k)
b) Soit (x(k) )k une suite de Cauchy dans l’espace l∞ . On notera x(k) = (xn )n∈N .
(k)
Montrer que pour chaque n la suite (xn )k est une suite de Cauchy de nombres réels. On notera
yn la limite de cette suite.
Montrer que la suite y = (yn )n∈N est bornée.
Montrer enfin que la suite (x(k) )k converge vers y dans l∞ .
Qu’a-t-on montré ?
c) On désigne par c l’ensemble des suites convergentes de nombres réels. Montrer que c est un
fermé de l∞ .
d) Soit L : c −→ R l’application qui à toute suite convergente associe sa limite. Montrer que L
est continue et que c0 l’ensemble des suites de limite nulle est un hyperplan fermé de c.
e) On désigne par c00 l’ensemble des suites de nombres réels (xn )n∈N telles que {n/xn 6= 0} est
fini.
Déterminer l’adhérence de c00 dans l∞ .
f) Soit (Z, d) un espace métrique séparable cad contenant une partie dénombrable dense {zn , n ∈
N}.
On note f (z) la suite (d(z, zn ) − d(zn , z0 ))n∈N . Montrer que f (z) ∈ l∞ et que l’application
f : Z −→ l∞ ainsi définie est une isométrie.
g) On vient de montrer que si Z est un espace métrique séparable, on peut construire une
isométrie de Z sur un sous-espace métrique de l∞ . En un certain sens l∞ “contient” tous les
espaces métriques séparables. On montre dans cette question que l∞ n’est pas séparable.
Soit X l’ensemble des suites à valeurs dans {0, 1}. Montrer que d∞ (x, y) = 0 ou 1 si x et y sont
éléments de X.
On suppose qu’il existe un sous ensemble dénombrable dense D de l∞ . Construire une injection
de X dans D.
Conclure.
Exercice 4.13 : Fonctions sur des espaces complets. Soient (X, d) un espace métrique complet
et (Y, d0 ) un espace métrique. Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues de X dans Y . On
suppose que pour tout x ∈ X, la suite (fn (x))n∈N converge vers un point f (x).
a) Soit ε > 0. Pour n ∈ N, notons Fε,n = {x ∈ X , ∀p ∈ N , p > n =⇒ d0 (fp (x), fn (x))) 6 ε}.
Montrer que les Fε,n sont fermés dans X et que leur réunion est égale à X.
[ ◦
Fε,n .
Posons Uε =
n∈N
b) Montrer que Uε est un ouvert dense de X.
\
c) Soit x ∈
U 1 . Montrer que f est continue en x.
n+1
n∈N
13
d) Montrer que l’ensemble des points où f est continue est dense.
Exercice 4.14 : Equivalence de toutes les normes On suppose que toutes les normes sur un
espace vectoriel E sont équivalentes. Montrer que E est de dimension finie.
Exercice 4.15 : Formes linéaires non continues
On suppose E de dimension infinie.
a) Montrer qu’il existe une suite (xn )n∈N d’éléments linéairement indépendants de E et de limite
nulle.
b) Prouver qu’il existe une forme linéaire non continue sur E.
Exercice 4.16 : Intérieurs en dimension infinie. Soit P le sous-ensemble de lR1 constitué des
suites (xn )n∈N de lR1 vérifiant xn > 0 pour tout n.
a) Soit z ∈ lR1 . Prouver que z s’écrit z = x − y avec x, y ∈ P .
b) Montrer que P est d’intérieur vide dans lR1 .
Exercice 4.17 : Compacité dans des espaces de dimension infinie
B 0 (0, 1) de lC1 n’est pas compacte.
a) Montrer que la boule
b) Soit (yn )n∈N ∈ lC1 et A l’ensemble des (xn )n∈N ∈ lC1 telles que | xn | 6 | yn | pour tout n.
Montrer que A est un compact de lC1 .
5
Connexité.
Exercice 5.1 : Révisions. a) L’union de deux ensembles connexes est-elle connexe ? Qu’en
est-il si l’intersection de ces deux ensembles n’est pas vide ? L’intersection de deux ensembles
connexes est-elle connexe ?
b) Donner un exemple d’ensemble connexe non connexe par arc.
Exercice 5.2 : Hyperboı̈des à une et deux nappes. L’ensemble des (x, y, z) ∈ R3 tels que
x2 + y 2 − z 2 = 1 est-il connexe ? et pour x2 + y 2 − z 2 = −1 ?
Exercice 5.3 : Connexité et conditions initiales.
2x(t) sur R, avec la condiiton initiale x(1) = 1.
=
Résoudre l’équation différentielle t dx(t)
dt
Exercice 5.4 : Connexité et intersection ou union I. a) Soit (An )n une suite croissante de
parties connexes de X. Prouver que la réunion des An est connexe.
b) Soit (Bn )n une suite de parties connexes de X telle que Bn ∩ Bn+1 6= ∅ pour tout n ∈ N.
Montrer que la réunion des Bn est connexe.
c) On note D0 (resp. D1 ) la droite d’équation x = 0 (resp. x = 1) dans R2 . Si n ∈ N, Ln est la
droite d’équation y = n de R2 . On pose :
S Cn = D0 ∪ D1 ∪
Lp .
p>n
14
Prouver que (Cn )n est une suite décroissante de parties connexes de R2 , mais que l’intersection
des Cn n’est pas connexe.
Exercice 5.5 : Connexité et intersection ou union II. Soient A, B des parties de X.
a) On suppose que A et B sont fermées et que A ∩ B et A ∪ B sont connexes. Prouver que A
et B sont connexes. Est-ce encore vrai si A et B ne sont pas supposées fermées ?
b) On suppose que A et B sont connexes et que A ∩ B 6= ∅. Prouver que A ∪ B est connexe.
Exercice 5.6 : Topologie algébrique élémentaire I. On note U l’ensemble des nombres complexes de module 1.
a) Soit a ∈ U. Prouver que U\{a} est connexe par arcs.
b) Soit f : [0, 2π[ → U, t → eit . Montrer que f est une bijection continue de [0, 2π[ sur U.
Prouver que f n’est pas un homéomorphisme de [0, 2π[ sur U.
c) Existe t-il un homéomorphisme de [0, 2π[ sur U.
d) A est il homéomorphe à B ? et 8 à 6 (6 étant consideré comme fermé) ?
Exercice 5.7 : Topologie algébrique élémentaire II.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
a) Soit a ∈ Rn . Montrer que Rn \{a} est connexe par arcs.
b) Prouver que R et Rn ne sont pas homéomorphes.
Exercice 5.8 : Initiation au groupe fondamental. Difficile. On appelle lacet basé en x ∈ X
une application continue γ de [0, 2π] dans X telle que γ(2π) = γ(0) = x. Considérons l’espace
L des lacets à valeurs dans le plan complexe C privé de la boule B de centre 0 et de rayon 1/2
et basés au point (1, 0).
On munit L de la norme induite par la norme infinie sur C0 ([0, 2π], R2 ).
a) Soit γ ∈ L. Montrer qu’il existe une unique fonction g(t) continue de [0, 2π] dans R telle que
g(0) = 0 et
γ(t)
eig(t) =
.
|γ(t)|
b) Montrer que g(1)
∈ N. On appelle nγ cet entier.
2π
c) Montrer que l’application γ → nγ est continue.
d) Montrer que l’application γ → nγ est surjective.
d) L’ensemble L est-il connexe ?
Exercice 5.9 : Connexité et Frontière I.
◦
Soient A une partie de X et B une partie connexe de X vérifiant A ∩ B 6= ∅ et c (A)◦ ∩ B 6= ∅.
Montrer que B ∩ Fr(A) 6= ∅.
Exercice 5.10 : Connexité et Frontière II. Soient A, B des parties de X telles que A ∩ B = ∅,
et C une partie connexe de X vérifiant A ∩ C 6= ∅ et B ∩ C 6= ∅. Prouver que C ∩ Fr(A) 6= ∅
et C ∩ Fr(B) 6= ∅.
Exercice 5.11 : Connexité et images réciproques. a) Soient Cet (Ci)i∈I des parties connexes
S
de X telles que C ∩ Ci 6= ∅ pour tout i ∈ I. Montrer que C ∪
Ci est une partie connexe
i∈I
de X.
Dans la suite, on suppose X et Y connexes.
15
b)Soit A (resp. B) une partie de X (resp. Y ) distincte de X (resp. Y ). Prouver que c (A × B)
est une partie connexe de X × Y .
c) Soit f ∈ F(X × Y, Z). Pour x ∈ X, y ∈ Y , on note gx ∈ F(Y, Z) et hy ∈ F(X, Z) les
applications définies, pour (u, v) ∈ X × Y par gx (v) = f (x, v) et hy (u) = f (u, y).
On suppose que, pour tout x ∈ X et tout y ∈ Y , les applications gx et hy sont continues.
Prouver que f (X × Y ) est une partie connexe de Z.
Exercice 5.12 : Un résultat géométriquement naturel. Soit A une partie fermée de [0, 1]×[0, 1].
Pour x ∈ [0, 1], on pose :
Ix = {y ∈ [0, 1]; (x, y) ∈ A};
On suppose que, pour tout x ∈ [0, 1], Ix est un intervalle fermé non vide. Montrer qu’il existe
x ∈ [0, 1] tel que x ∈ Ix (on introduira A1 = {x ∈ [0, 1]; x < inf Ix } et A2 = {x ∈ [0, 1]; x >
sup Ix }).
Exercice 5.13 : Composantes connexes. Exemple I. On considère Q comme un sous-espace
métrique de R. Soit x ∈ Q. Montrer que la composante connexe de Q contenant x est réduite
à {x}.
Exercice 5.14 : Composantes connexes. Exemple II. Soit A une partie connexe, non vide,
ouverte et fermée de X. Prouver que A est une composante connexe de X.
Exercice 5.15 : Composantes connexes. Opérations élémentaires. Soient A un fermé de X
et U une composante connexe de c A. Montrer que A ∪ U est fermé.
Exercice 5.16 : Connexité par arcs : le peigne. a) Soit E = (Q × [0, 1]) ∪ (R × {0}). Montrer
que E est connexe par arcs.
b) Soit A l’ensemble des points de R2 qui ont au moins une coordonnée irrationnelle, et B
l’ensemble des points de R2 dont les deux coordonnées sont irrationnelles.
(i) Pour a, b ∈ R, soit Da,b = ({a} × R) ∪ (R × {b}). Montrer que Da,b est connexe par
arcs. En déduire que A est connexe par arcs.
(ii) Montrer que B n’est pas connexe.
Exercice 5.17 : Connexité par arcs : un contre-exemple.
Soit :
n
1o
2
.
A = (x, y) ∈ R ; x > 0 , y = sin
x
a) Déterminer A.
b) Prouver que A et A sont connexes.
c) Montrer que A est connexe par arcs, et que A n’est pas connexe par arcs.
Exercice 5.18 : Connexité par arcs des ouverts de Rn . Montrer qu’un ouvert connexe de E
est connexe par arcs.
Exercice 5.19 : Connexité des espaces matriciels. Dans ce qui suit, K est soit R soit C. On
note GLn (K) (resp. SLn (K)) l’ensemble des matrices M ∈ mn (K) qui vérifient det M 6= 0 (resp.
det M = 1). On pose :
−
GL+
n (R) = {M ∈ mn (R); det M > 0} , GLn (R) = {M ∈ mn (R); det M < 0}.
16
Soit (Eij )16i,j6n la base canonique de mn (K). Pour n > 2, λ ∈ K et i 6= j, on pose Bij (λ) =
In + λEij . On note S1 = {1} et, si n > 2, Sn est l’ensemble des matrices Bij (λ), avec i 6= j et
λ ∈ K. Soit Pn l’ensemble des produits des éléments de Sn .
a) On suppose n > 2. Soit A ∈ GLn (K). Prouver qu’il existe C ∈ Pn tel que la première ligne
de AC soit :
(1, 0, . . . , 0).
En déduire qu’il existe D ∈ Pn tel que :
A = [diag(1, . . . , 1, det A)]D.
b) Montrer que GLn (C), SLn (C) et SLn (R) sont connexes par arcs.
c) Prouver que GLn (R) n’est pas connexe.
−
d) Montrer que les composantes connexes de GLn (R) sont GL+
n (R) et GLn (R). Prouver que ces
composantes connexes sont connexes par arcs et homéomorphes.
Exercice 5.20 : Connexité et points fixes.
Soient [a, b] un intervalle fermé, borné de R et f ∈ C0 ([a, b], [a, b]).
a) Montrer que f possède au moins un point fixe.
b) On suppose que f est un homéomorphisme de [a, b] sur lui-même. Montrer que ou f (a) = a
et f (b) = b, ou f (a) = b et f (b) = a.
Exercice 5.21 : Images réciproques.
Soit f ∈ F(X, Y ) vérifiant les conditions suivantes :
(i) Pour toute partie connexe A de X, f (A) est une partie connexe de Y .
(ii) Pour tout y ∈ Y , f −1 (y) est une partie connexe de X.
Montrer que, pour tout y ∈ Y , f −1 (y) est un fermé de X.
Exercice 5.22 : Images réciproques.
Soit f ∈ F(X, Y ), continue, ouverte et surjective. On suppose que, pour tout y ∈ Y , f −1 (y)
est une partie connexe de X.
Soient B une partie de Y et A = f −1 (B). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) B est connexe.
(ii) A est connexe.
Exercice 5.23 : Quand une propriété est vraie sur un ouvert fermé.... Soit f : X → Y une
application continue. On suppose que X est connexe et que, pour tout x ∈ X, il existe un
voisinage Vx de x tel que f |Vx soit constante. Montrer que f est constante.
Exercice 5.24 : Exemple de cette méthode : dérivée nulle implique constant. Soit f une
fonction de R dans R dérivable en tout point et de dérivée nulle en tout point. Montrer que f
est constant. Indication. Soit ε > 0. Montrer que l’ensemble des x tels que |f (x) − f (0)| < ε|x| est à la fois ouvert et fermé.
Exercice 5.25 : Autre exemple de la même méthode. Soient a ∈ X et f ∈ F(X, R). On dit que
f admet un maximum (resp. minimum) relatif en a s’il existe V ∈ VX (x) tel que f (x) 6 f (a)
(resp. f (a) 6 f (x)) pour tout x ∈ V . On dit que f admet un extremum relatif en a si f admet
un maximum ou un minimum relatif en a.
Soient I un intervalle de R et f ∈ C0 (I, R) admettant un maximum relatif en tout point de I.
Prouver que f est constante.
17
Exercice 5.26 : Encore un autre exemple de la même méthode.
Soient a, b ∈ R et f ∈ C0 ([a, b], R).
a) Pour x ∈ [a, b], on pose :
g(x) = sup{f (t); a 6 t 6 x}.
Prouver que g est continue.
b) Soit c ∈ ]a, b[ en lequel f admet un maximum (resp. minimum) relatif. Prouver qu’il existe
ε > 0 tel que g soit constante sur [c, c + ε[ (resp. ]c − ε, c]).
Dans la suite, on suppose que f admet un extremum relatif en tout point de [a, b]. Soit m (resp.
M ) la borne inférieure (resp. supérieure) de g sur [a, b].
c) On suppose m < M . Soit λ ∈ ]m, M [. Prouver que Iλ = g −1 (λ) est un intervalle d’intérieur
non vide. En déduire que ]m, M [ s’injecte dans Q, donc que l’hypothèse m < M est absurde.
d) Montrer que f est constante.
6
Espaces de fonctions
(Note : j’ignore la provenance de ces exercices, que j’espère n’être pas protégés par quelque
copyright...)
Exercice 6.1 : Convergence simple versus convergence uniforme. Pour tout n ∈ N, on définit
fn : R → R par :
fn (t) =
fn (t) =
nt2
1+nt
nt3
1+nt2
si t > 0, et
sinon.
Étudier la convergence de la suite (fn )n∈N .
Exercice 6.2 : Convergence simple versus convergence uniforme, II. Soit (fn )n∈N une suite
d’éléments de C([a, b], R), dérivables sur ]a, b[. On suppose qu’il existe M ∈ R+ tel que |fn0 (t)| 6
M pour tout n ∈ N et t ∈]a, b[.
Montrer que si la suite (fn )n∈N converge simplement sur ]a, b[, elle converge uniformément.
Exercice 6.3 : Convergence simple versus convergence uniforme, III. On définit fn : [0, 1] → R
par fn (t) = nt(1 − t)n .
Étudier la convergence de la suite (fn )n∈N .
On pose gn = nfn et g = limgn . Comparer
Z 1
Z 1
g(t)dt
et lim
gn (t)dt
0
0
Exercice 6.4 : Uniform convergence of polynomial functions. Let (Pn )n∈N be a sequence of
real polynomial functions that converges uniformely on R. What can you say about the uniform
limit ?
Exercice 6.5 : Itérées. Soit f ∈ C(R, R) une fonction vérifiant
|f (t)| < |t|
∀t ∈ R.
Soit (fn )n∈N la suite de ces itérées. Montrer que fn converge uniformément sur [a, b] pour tout
a < b ∈ R, mais pas sur R.
18
Exercice 6.6 : Fonctions de fonctions convergeant uniformément. Soit (fn )n∈N une suite de
fonctions de I dans R qui convergent uniformément sur I. On pose
gn =
fn
.
1 + fn2
Montrer que la suite (gn )n∈N converge uniformément sur I.
Exercice 6.7 : Compacité. On suppose X compact. Soient A ∈ R+
∗ , f et (fn )n∈N des éléments
de C(X, Y ). On suppose vérifées les conditions suivantes
1. la suite (fn )n∈N converge simplement vers f ,
2. pour tous p, q ∈ N, et tous x ∈ X, on a d(f (x), fp+q (x)) 6 Ad(f (x), fp (x)).
Montrer que la suite (fn )n∈N converge uniformément sur f .
Exercice 6.8 : On munit E = C([0, 1], C) de la norme de la convergence uniforme. Si n ∈ N∗
et f ∈ E, on pose
Z Z
x1 + · · · + xn
un (f ) = ·
f(
)dx1 · · · dxn .
n
In
1. Montrer que l’application E → C, f → un (f ) est 1-Lipschitzienne.
2. Pour α ∈ R et f (t) = eiαt , calculer limn un (f )
3. Montrer que si f ∈ E, alors limn un (f ) = f ( 12 ).
Exercice 6.9 : Propriétés faibles.
1. Soient a, b ∈ R tels que a < b et f ∈ C([0, 1], R) vérifiant
Z b
f (t)tn dt = 0 ∀n ∈ N.
a
Prouver que f est nulle.
2. Soit g ∈ C([0, +∞[, R) ayant une limite réelle en +∞ et vérifiant
Z +∞
g(t)e−nt dt = 0 ∀n ∈ N.
0
Montrer que g est nulle.
3. Calculer pour tout n ∈ N la quantité :
Z
∞
Jn =
tn e−t eit dt.
0
√
√
On définit h ∈ C([0, +∞[, R) par h(t) = exp(− 4 t) sin( 4 t). Montrer que
Z +∞
h(t)tn dt = 0 ∀n ∈ N.
0
Exercice 6.10 : Idéaux. Soit X un compact métrique. On munit E = C(X, R) de la norme
de la convergence uniforme. Soit A un sous-espace vectoriel de E v{erifiant les conditions
suivantes : (i) si f, g ∈ A, alors f g ∈ A et (ii) pour tous x, y ∈ A distincts, il existe f ∈ A tel
que f (x) 6= f (y).
Montrer que Ā = E ou que Ā est un idéal maximal de E.
Exercice 6.11 : Caractérisations des sous-compacts de Rn . On suppose que X est compact
et qu’il existe n points distincts de X, soient a1 · · · , an , tels que les applicaitons ri (x) = d(x, ai )
séparent les points de X.
19
1. Soit f : X → R, x → r1 (x), · · · , rn (x) . Montrer que f est un homéomorphisme de X
sur f (X).
2. Soit A la sous-algèbre unitaire de C(X, R) engendrée par r1 , · · · , rn . L’espace C(X, R)
étant muni de la norme de la convergence uniforme, montrer que Ā = E.
3. Montrer que tout élément de E est limite uniforme d’applicatiosn lipschitziennes.
Exercice 6.12 :
On munit C 1 ([0, 1], R) de la norme
f →k f k∞ + k f 0 k∞ .
On note A (resp. B) la sous algèbre de E engendrée par (1, t2 , t3 , t4 , · · · , f n , · · · ) (resp. (1, t, t2 , t3 , t4 , · · · , f
1. Montrer que A et B séparent les points de [0, 1].
2. Montrer que B est dense dans E.
3. Montrer que A n’est pas dense dans E.
Exercice 6.13 : Fonctions sur un produit de compacts, et produit de fonctions. Soient X et
Y deux compacts. Soient f ∈ C(X × Y, R) et ε > 0. Montrer qu’il existe n ∈ N, u1 , · · · , un ∈
C(X, R), v1 , · · · , vn ∈ C(Y, R) tels que
|f (x, y) −
n
X
ui (x)vi (y)| < ε ∀x ∈ X, y ∈ Y.
i=1
7
Examens de 2004-2005-2006
Pour un certain nombre des examens et devoirs à la maison ci-dessus, des corrigés peuvent
ou pourront un jour être trouvés sur la page web de Camille Laurent-Gengoux http ://wwwmath.sp2mi.univ-poitiers.fr/∼laurent et/ou de Gérard Grélaud http ://www-math.sp2mi.univpoitiers.fr/∼grelaud.
7.1
Examen 14 décembre 2004/2005
Exercice (6 points)
Soient [a, b] un intervalle fermé borné de R et f ∈ C0 ([a, b], [a, b]) (fonctions continues de [a, b]
dans lui-même).
a) Montrer que f possède au moins un point fixe.
b) On suppose que f est un homéomorphisme de [a, b] sur lui-même. Montrer que, ou bien
f (a) = a et f (b) = b, ou bien f (a) = b et f (b) = a.
Problème (14 points) (La partie III est indépendante de I et II).
On note :
∞
P
– `1 l’espace de Banach des suites s = (xn )n∈N de nombres réels telles que la série
|xn | soit
n=0
convergente.
(
1
` =
(xn )n∈N ;
∞
X
)
|xn | < ∞
n=0
– `∞ l’espace vectoriel normé des suites bornées b = (bn )n∈N de nombres réels.
∞
` = (bn )n∈N ; sup |bn | < ∞
n∈N
20
– On désigne par c0 le sous espace vectoriel de `∞ constitué des suites dont la limite est nulle.
∞
P
– Si x = (xn )n∈N ∈ `1 la norme de x est Nx =
|xn |. La norme de b = (bn )n∈N ∈ `∞ est
n=0
N∞ b = supn∈N |bn |
– Pour tout n ∈ N, en = (δn,p )p∈N est la suite telle que δn,n = 1 et δn,p = 0 si n 6= p.
I – Une application linéaire continue.
I-1. Soient x = (xn )n∈N ∈ `1 et a = (an )n∈N ∈ `∞ . Montrer que (an xn )n∈N appartient à `1 . On
∞
P
pose φa (x) =
an xn . Justifier la convergence de cette série.
n=0
I-2. Montrer que l’application φa : x 7→ φa (x) de `1 dans R, définie à la question I-1, est linéaire
et continue.
Dans la suite on notera E = Lc (`1 , R) l’espace des applications linéaires continues de `1 dans
R (formes linéaires continues).
I-3. Montrer que pour tout a ∈ `∞ , on a Nφa = N∞ a et que φ : a 7→ φa est une isométrie
linéaire de `∞ dans E.
II – Surjectivité de φ.
On prouve dans cette partie du problème que φ est surjective.
II-1. Soit u ∈ E une forme linéaire continue sur `1 . On pose, pour n entier, an = u(en ). Montrer
que a = (an )n∈N appartient à `∞ . Trouver un majorant de N∞ a.
II-2. La suite a ∈ `∞ est toujours celle de la question II-1. Soit s = (xn )n∈N ∈ `1 . On pose
pour N ∈ N
N
X
sN =
xk ek
k=0
Calculer u(sN ), montrer que la suite (sN )N ∈N converge vers s dans `1 et en déduire que
u(s) =
∞
X
an x n
n=0
II-3. En conclure que φ est un isomorphisme linéaire isométrique de `∞ sur E et que `∞ est
un espace de Banach.
III – Séries de fonctions.
Soit a = (an )n∈N ∈ `1 .
III-1. Montrer que la série
∞
P
an einx est uniformément convergente pour x ∈ R. On note fa (x)
n=0
sa somme pour x ∈ R. Montrer que fa est continue et bornée.
III-2. Montrer que l’application linéaire a 7→ fa de `1 dans l’espace CB (R, C) des fonctions
continues bornées, muni de la norme uniforme, est continue. Quelle est la norme de cette
application ?
III-3. Trouver une condition sur a = (an )n∈N qui assure que fa est une fonction dérivable, et
donner alors une expression de la dérivée fa0 .
21
III-4. En notant toujours fa la somme de la série de fonctions du III-1, montrer que, pour
tout n ∈ N
Z 2π
1
an =
fa (t)e−int dt
2π 0
III-5. Dans cette question on munit `1 de la norme induite par celle de `∞ . Montrer que
2n e
P
k
l’application a 7→ fa n’est pas continue. (On pourra étudier la suite an =
.)
k=n k
7.2
Seconde session 2004/2005
Exercice 7.1 : (6 points) Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f une application
de E dans F . On note
Gr(f ) = {(x, y) ∈ E × F | y = f (x)}
le graphe de f .
1) Montrer que si f est continue, alors Gr(f ) est fermé dans E × F .
2) Prouver la réciproque lorsque f (E) est inclus dans un compact de F .
3) Donner un contre-exemple à la propriété précédente si f (E) n’est pas inclus dans un compact
de F .
Exercice 2 (5 points)
1) Montrer que tout espace métrique dont toute boule fermée est compacte est un espace
métrique complet. Donner, en justifiant la réponse, un exemple d’espace métrique ayant cette
propriété et un exemple pour lequel cette propriété n’est pas vérifiée.
2) Montrer que si toute boule fermée d’un espace métrique (E, d) est compacte, les sousensembles compacts de (E, d) sont les fermés bornés.
Problème (9 points)
Soient (X, d1 ) et (Y, d2 ) deux espaces métriques. Une application φ est une isométrie de X dans
Y si
∀(x, y) ∈ X × X
d2 (φ(x), φ(y)) = d1 (x, y)
1) On considère un ensemble quelconque E, un espace métrique (F, d) et une bijection φ de E
sur F . Montrer que l’application δ
∀(x, y) ∈ E × E
δ(x, y) = d(φ(x), φ(y))
est une distance sur E et que φ est une isométrie de (E, δ) sur (F, d).
2) Pour tout x réel, on pose
f (x) =
x
1 + |x|
Prouver que f est un homéomorphisme de R sur l’intervalle ouvert ] − 1, 1[.
3) On note {−∞, +∞} un ensemble à 2 éléments et R = R ∪ {−∞, +∞}. On prolonge f à
l’ensemble R en posant
f (x) = f (x) si x ∈ R, et f (−∞) = −1, f (+∞) = 1
22
Prouver que l’application δ définie par
δ(x, y) = f (x) − f (y)
est une distance sur R.
4) L’espace métrique R est-il compact ? complet ? connexe ?
7.3
Partiel 2005/2006.
Exercice 7.2 : Le diamètre. Le diamètre δ(A) d’une partie A d’un espace métrique X est
défini par δ(∅) = 0 et, si A non vide, par δ(A) = sup{d(x, y), x, y ∈ A} ∈ R+ ∪ {+∞}
a) Soient A, B des parties de X. Etablir :
(i) δ(A) = 0 si et seulement si A contient au plus un point.
(ii) Si A ⊂ B , alors δ(A) 6 δ(B).
(iii) δ(A) = δ(A).
(iv) Si A ∩ B 6= ∅ alors δ(A ∪ B) 6 δ(A) + δ(B).
Exercice 7.3 : Valeurs d’adhérence.
Soient (E, d) un espace métrique et (xn )n∈N une suite de E. On dit que a ∈ E est une valeur
d’adhérence de la suite (xn )n∈N s’il existe une suite extraite (xφ(n) )n∈N qui converge vers a. On
note L l’ensemble des valeurs d’adhérence de (xn )n∈N .
1. Déterminer L si la suite (xn )n∈N est convergente dans E.
2. Déterminer L pour les suites suivantes :
– (i) xn = n
– (ii) xn = (−1)n
n si n est pair
– (iii)xn =
0 si n est impair
3. On suppose que les suites extraites (x2n )n∈N et (x2n+1 )n∈N sont convergentes. A quelle
condition la suite (xn )n∈N est-elle convergente ? Dans le cas contraire, que vaut L ?
4. (difficile) On rappelle que Q étant dénombrable, il existe une bijection q → q(n) de N sur
Q. Déterminer l’ensemble des valeurs d’adhérence dans R de la suite xn = q(n).
Exercice 7.4 : Sur la compacité. Soit (X, d) un espace métrique compact et f : X → X une
application continue.
1. Soit g : X → R+ une application continue et l = infx∈X f (x). Existe t-il x ∈ X tel que
g(x) = l. Justifier.
2. Montrer que si f n’a pas de points fixes, alors il existe r ∈ R∗+ tel que ∀x ∈ X,
d(f (x), x) > r
(Indication : on introduira la fonction g(x) = d f (x), x )
3. Supposons maintenant que l’application f : X → X est strictement contractante, c’est à
dire que ∀x, y ∈ X avec x 6= y :
d f (x), f (y) < d(x, y).
– (i)Montrer que f admet un point fixe (Indication : considérer à nouveau la fonction
g(x) = d f (x), x ).
23
– (ii) Montrer que ce point fixe est unique.
Exercice 7.5 : Définitions alternatives de la continuité. Soit f ∈ F(X, Y ), où X, Y sont des
espaces métriques. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est continue.
(ii) Pour toute partie A de X, on a f (A) ⊂ f (A).
◦
(iii) Pour toute partie B de Y , on a f −1 (B) ⊂ [f −1 (B)]◦ .
(iv) Pour toute partie B de Y , on a f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
7.4
Devoir à la maison 2005/2006.
Exercice 7.6 : Complétude et série. Soit (E, k · k) un espace vectoriel normé, (xn )n∈N une
suite d’éléments de E. Soit (Sn )n∈N la suite dite suite des sommes partielles définie par ∀n ∈ N
Sn =
n
X
xi .
i=0
1. Montrer que si la suite (Sn )n∈N est de Cauchy, alors la suite (xn )n∈N tend vers 0 quand n
tend vers l’infini.
2. La réciproque à la question précédente est elle vraie en général ?
3. (Re ?)-Démontrer que si (E, k · k) est complet, alors toute série absolument convergente
est convergente.
P
On dit que la série de terme général xn est convergente siPla suite Sn = ni=0 xi admet une
limite dans E quand n tend vers l’infini. Si la série réelle ∞
i=0 k xi k est convergente, on dit
que la série de terme général xn est absolument convergente
1. Considérons E l’ensemble des application continues de [0, +∞[ dans R à support compact
(c’est à dire que pour tout f ∈ E, il existe R > 0 tel queR f est identiquement nulle sur
+∞
l’intervalle [R, +∞[). On munit E de la norme k f k= t=0 |f (t)|dt. Justifier que ceci
définit bien une norme sur E.
2. Considérons la suite (fn )n∈N d’élements de E donnée par

0
si x ∈ [0, n] ∩ [n + 1, +∞[

1
si
x ∈ [n, n + 12 ]
fn =
2 (x − n)
 1 n
(−x + n + 1) si
x ∈ [n + 21 , n + 1]
n2
Montrer que la série de terme général fn n’est pas convergente dans E (Indication : par
RM
l’absurde, soit f la limite de cette suite, montrer que t=0 |f (t) − Sn (t)|dt est nulle à partir
d’un certain rang).
3. Montrer que la série de terme général fn est absolument convergente. En déduire que E
n’est pas complet.
Le but des questions qui suivent est de démontrer que, réciproquement, si un espace vectoriel
normé est tel que toute série absolument convergente est convergente, alors cet espace est
complet.
A partir de maintenant (E, k · k) désigne un espace vectoriel normé tel que toute série absolument convergente est convergente dans E.
24
1. Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy de E. Montrer qu’il existe une suite extraite (xσ(n) ) de
la suite (xn )n∈N telle que k xσ(n) − xk k6 21n pour tout k > σ(n).
2. En déduire que la série de terme général xσ(n) − xσ(n+1) est absolument convergente.
3. En déduire que la suite (xn )n∈N est convergente dans E. Conclure.
2
Exercice 7.7 : Séries de carré sommable
P∞ 2 On désigne par L l’espace vectoriel des suites2
réelles u = (u
)n∈N telles que la série n=0 un est convergente. On introduit une norme sur L
pnP
2
par k u k=
n un . Commençons par démontrer que k · k est bien une norme.
1. Laissez de côté l’inégalité triangulaire et vérifiez que k · k satisfait tous les autres axiomes.
2. Montrer que l’application L2 × L2 → R donnée par
< u, v >=
∞
X
un vn
n=0
est
(a) bien définie,
(b) linéaire vis à vis de chacun des arguments et
(c) vérifie < u, u >=k u k2 (on appelle produit scalaire une telle application)
3. Soient u, v ∈ L2 . Montrer que l’application de R dans R définie par t →< u + tv, u + tv >
est un polynôme de degré 2 dont le discriminant est négatif ou nul.
4. Supposons que ce discriminant est nul. Montrer alors que u et v sont colinéaires.
5. Déduire des questions précédentes que < u, v >6k u kk v k et caractériser les cas d’égalité.
6. En déduire que k · k vérifie l’inégalité triangulaire et caractériser les cas d’égalité.
7. Dans quel cadre serait, plus généralement, valable le raisonnement précédent ?
Nous étudions maintenant (L2 , k · k) plus en détail.
1. En vous inspirant de l’exercice 3.12, montrer que (L2 , k · k) est un espace complet.
(k)
(k)
2. Soit (e(k) )k∈N la suite définie par en = 0 si n 6= k et ek = 1. Calculer la norme de chaque
élément de cette suite et la distance entre deux termes quelconques de celle-ci.
3. En déduire que la boule unité de L2 n’est pas compacte.
Exercice 7.8 : Connexité. On rappelle qu’une matrice carrée réelle de taille n est inversible
si et seulement si son déterminant est non nul.
1. Montrer que l’ensemble des matrices carrées réelles de taille n et inversibles est un ouvert.
Montrer que cet ouvert n’est pas connexe.
2. Plus difficile. Montrer que l’ensemble des matrices réelles de taille 2 inversibles et au
déterminant strictement positif est connexe par arc.
7.5
Seconde session 2005/2006.
Exercice 7.9 : Sur la compacité.
1) Les éléments d’une suite (xn )n∈N ∈ R qui converge vers l forment t-ils un ensemble
compact ? Est ce que {xn , n ∈ N} ∪ {l} est un ensemble compact ?
25
√
√
2) On admet que pour tout rationnel r, 2 + r 3 est irrationnel. Trouver un ensemble
compact de R de cardinal infini et composé uniquement d’irrationnels.
3) Trouver un ensemble compact de cardinal infini et composé uniquement de rationnels.
Exercice 7.10 : Isomorphismes. Les cercles, rectangles et disques de la suite sont supposés
munis de la topologie induite du fait de leur inclusion dans le plan euclidien.
1) Existe t-il une bijection continue entre un cercle et un rectangle ? Justifier.
2) Existe t-il une bijection continue entre un cercle et un disque ? Justifier.
3) difficile Montrer (au moins de façon intuitive) qu’une application continue et injective
d’un cercle dans lui-même est forcément surjective.
Exercice 7.11 : Complétude. Un espace métrique compact est-il complet ? Justifier. Donner, en le justifiant, un exemple d’espace métrique complet mais non compact. Donner, en le
justifiant, un exemple d’ensemble vectoriel normé de dimension infinie qui est complet, et un
exemple d’espace vectoriel normé de dimension infinie qui ne l’est pas.
Exercice 7.12 : Espaces vectoriels normés. Soit (E, k · · · k) un espace vectoriel normé. Soit
B la boule unité fermée, c’est à dire l’ensemble des éléments de E de norme inférieure ou égale
à 1. Soit F ⊂ E un sous-espace vectoriel fermé de E. On rappelle que la distance d’un point
x ∈ E à F est définie comme suit d(x, F ) = infy∈F d(x, y).
1) Montrer que pour tout x ∈ E, on a d(x, F ) 6k x k
2) En manipulant soigneusement les bornes inférieures, montrer que pour tout λ réel, on
a la relation d(λx, F ) = |λ|d(x, F ).
3) Montrer que pour tout y ∈ F , on a d(x + y, F ) = d(x, F ).
4) On suppose dorénavant que F 6= E. Montrer qu’il existe x ∈ B tel que d(x, F ) 6= 0.
5) Soit x ∈ F tel que d(x, F ) = α 6= 0. Montrer que pour tout ε > 0, il existe un y ∈ F
tel que k x − y k∈ [α, α(1 + ε)[.
6) Soit x0 =
x−y
kx−yk
(où y est comme dans la question précédente). Montrer que d(x0 , F ) >
1
.
1+ε
7) En déduire que pour tout espace vectoriel fermé de distinct de E, on a
supy∈B d(y, F ) = 1.
26