Matrice Symétrique Voici une démonstration que les valeurs propres

Matrice Symétrique
Voici une démonstration que les valeurs propres d’un matrice symétrique à
valeurs réelles sont réelles.
Révision des nombres complexes : Un nombre complexe z est un nombre
qu’on peut écrire sous la forme z = a+b i, où a et b sont des nombre
réels et√i2 =
√
2
−1. Le conjugué de z est z = a − b i et le module de z et |z| = a + b2 = z z.
N.B. Le module est un nombre réel non-négatif et il est égal à zéro seulement
si z = 0 = 0 + 0 i.
La conjugaison est linéaire dans le sense suivant : Soit z ∈ C, a ∈ R
et b ∈ R, alors a z + b = a z + b et z1 + z2 = z 1 + z 2 .
Soit A une matrice symétrique à valeurs réelles et soit v ∈ Cn un vecteur
propre de A, c’est-à-dire
Av = λv
et
v 6= 0,
où λ est un scalaire complexe. Nous allons démontrer que λ doit être un nombre
réel.
Démonstration : On a A v = λ v. Multiplions le côté gauche par A, on obtient :
A2 v = λ A v = λ2 v.
Multiplions le côté gauche par v 0 , c’est-à-dire le vecteur des conjugués. On obtient
v 0 A2 v = λ2 v 0 v.
Mais A2 = A0 A, puisque A est symétrique. En outre, v 0 v est la somme des carrés
des modules des composantes de v, alors v 0 v ≥ 0. Mais v 6= 0, donc v 0 v > 0.
Alors,
(A v)0 (A v)
(A v)0 (A v)
=
≥ 0.
λ2 =
v0 v
v0 v
Donc, λ est un nombre réel, puisque son carré est un nombre réel non-négatif.