Exercices pour MAT 1748

Exercices pour MAT 1748
Logique
(1) (a) Traduisez l’argument suivant en logique propositionnelle:
Les Maple Leafs seront contrariés si les Canadiens ou les Sénateurs gagnent
la coupe. Pour que les Maple Leafs remplacent leur gérant, il suffit qu’ils
soient contrariés ou qu’ils fassent faillite. Les Maple Leafs garderont leur
gérant seulement si ils font faillite. Les Maple Leafs ne sont pas contrariés.
Donc ils remplaceront leur gérant.
Utilisez les atomes suivants:
M : Les Canadiens gagnent la coupe.
O: Les Sénateurs gagnent la coupe.
C: Les Maple Leafs sont contrariés.
F : Les Maple Leafs font faillite.
G: Les Maple Leafs remplacent leur gérant.
Vous devez donner votre réponse sous forme d’argument.
(b) Déterminez si l’argument est valide ou non. Si vous dites qu’il n’est pas valide, donnez
un contrexemple.
(2) Utilisez la méthode de l’arbre de vérité pour trouver toutes les valuations de {A, B, C, D} qui
satisfont l’ensemble
E = A ⇒ (C ∨ D), (A ∨ D) ∨ B, ¬(D ∨ B) .
Dites aussi si l’ensemble E est satisfaisable ou non.
(3) L’argument
(X ∨ ¬ X) ⇒ (Y ∧ ¬ Y )
X ∧ ¬X
est-il valide ou invalide ?
(4) Supposons que les deux phrases suivantes sont vraies :
(1) J’aime Kita ou j’aime Gaston. (2) Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Peut-on déduire que j’aime Kita ? Peut-on déduire que j’aime Gaston ?
K ∨G
K⇒G
K
Pour répondre, considérez les arguments
et
K ∨G
K⇒G .
G
(5) Supposons que je suis un chevalier, et que quelqu’un me demande : Est-ce vrai que si vous
aimez Kita alors vous aimez Gaston ? Je réponds : Si c’est vrai, alors j’aime Kita. Peut-on
déduire que j’aime Kita ? Peut-on déduire que j’aime Gaston ?
1
2
(6) Supposons que je suis un chevalier ou un coquin, et que je prononce les deux phrases :
• J’aime Kita.
• Si j’aime Kita alors j’aime Gaston.
Suis-je chevalier ou coquin ?
(7) Vous rencontrez deux habitants de l’ı̂le, A et B, et A dit: Au moins un de nous deux est un
coquin. Quels sont les types de A et B?
(8) Vous rencontrez deux habitants de l’ı̂le, A et B, et A dit: Si je suis chevalier, alors mon ami
aussi est chevalier. Quels sont les types de A et B?
(9) Un habitant de l’ı̂le vous dit: Si je suis chevalier, alors je mangerai mon chapeau! Pouvezvous déterminer si cet habitant mangera son chapeau? Pouvez-vous déterminer le type de
cet habitant?
(10) Sur l’ı̂le des chevaliers et des coquins, un procès a lieu. Voici les témoignages de l’accusé B
et de son avocat A:
A: Mon client est un coquin mais il est innocent.
B: Mon avocat est un chevalier.
Pouvez-vous déterminer les types de A et B? Pouvez-vous décider si B est innocent ou
coupable? (Remarque : dans la phrase prononcée par A, le mot “mais” peut être remplacé
par “et”.)
Méthodes de preuves
(11) Soit a ∈ R. Montrez que si 0 < a < 1 alors a2 < a. (Suggestion : preuve directe).
(12) Soit a ∈ R. Montrez que si a5 est irrationnel, alors a est irrationnel. (Suggestion : preuve
indirecte).
(13) Soient a, b ∈ Z. Montrez que si ab est pair, alors au moins un des entiers a, b est pair.
(Suggestion : preuve indirecte).
(14) Si x, y ∈ R, on définit
(
x si x ≤ y,
min(x, y) =
y si x > y;
(
y si x ≤ y,
max(x, y) =
x si x > y.
3
Faites une preuve par séparation des cas pour montrer que min(x, y) + max(x, y) = x + y.
(15) Soient a < b des nombres rationnels. Montrez qu’il existe une infinité de nombres rationnels
x satisfaisant a < x < b. (Suggestion : preuve par contradiction.)
(16) Soit n ∈ Z. Montrez que n5 + 7 est pair si et seulement si n est impair. Suggestion : faites
une preuve directe de “n impair ⇒ n5 + 7 pair”, et une preuve indirecte de “n5 + 7 pair ⇒
n impair”.
(17) Sur l’ı̂le des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, et cette ı̂le est l’ı̂le de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est coquin, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ı̂le est l’ı̂le de Maya? Pouvez-vous déterminer le type de B?
(18) Sur l’ı̂le des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Au moins un de nous deux est un coquin, ou cette ı̂le est l’ı̂le de Maya.
B: Ce qu’a dit A est vrai.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Pouvez-vous dire si cette ı̂le est l’ı̂le de Maya? Pouvez-vous déterminer le type de B?
(19) Sur l’ı̂le des chevaliers et des coquins, les habitants A et B ont dit:
A: Si je suis chevalier, alors B est coquin ou cette ı̂le est l’ı̂le de Maya.
B: Si je suis coquin alors A est chevalier ou cette ı̂le est l’ı̂le de Maya.
(a) Prouvez que A est chevalier, au moyen d’une preuve par contradiction.
(b) Déterminez le type de B. Pouvez-vous dire si cette ı̂le est l’ı̂le de Maya?
Preuves par induction
(20) Montrer que pour tout entier n ≥ 1
12 + 22 + . . . + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
(21) Soit h > −1 un nombre réel. Montrer l’inégalité de Bernoulli: 1 + nh ≤ (1 + h)n pour tout
entier n ≥ 0.
(22) Montrer que pour tout entier impair n ≥ 1, n2 − 1 est divisible par 8.
4
(23) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, 4n+1 + 52n−1 est divisible par 21.
(24) Pour quelles valeurs de l’entier n ≥ 0 a-t-on 2n > n3 ? Justifier votre réponse.
(25) Considérer la suite numérique définie récursivement:
f0 = 1, f1 = 1, et fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 2.
√ n−2
1+ 5
Montrer que fn >
∀n ≥ 3.
2
(26) Montrer que n2 ≥ 2n + 3 ∀n ≥ 3.
(27) Montrer que 7n − 2n est divisible par 5 ∀n ≥ 0.
(28) Montrer que pour tout entier n ≥ 1
13 + 23 + . . . + n3 =
n2 (n + 1)2
.
4
(29) Montrer que pour tout entier n ≥ 1
1.1! + 2.2! + . . . + n.n! = (n + 1)! − 1.
(30) Considérer la suite numérique définie récursivement:
a0 = 2, a1 = 1, et an = an−1 + 2an ∀n ≥ 2.
Montrer que an = 2n + (−1)n ∀n ≥ 0.
(31) Considérer la suite numérique définie récursivement:
(
2
si n est impair
2
an = a( n )
si n est pair
2
(1) Donner les valeurs des termes a1 , . . . , a8 de la suite.
(2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an ≤ 2n ∀n ≥ 1.
(32) Montrer que chaque entier n ≥ 2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un
entier p ≥ 2 est dit premier si les seuls diviseurs de p sont 1 et p).
(33) Montrer que
Pn
i=1 (3i
2
− i) = n2 (n + 1) pour tout entier n ≥ 1.
5
Ensembles
Rappel : Si A et B sont des ensembles, on définit l’ensemble A4B par :
A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).
L’ensemble A4B est appelé la différence symétrique de A et B. Remarquez qu’on a aussi
A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
(34) Soient A = {1, 2, 3, 4, 5} et B = {1, 3, 4, 6, 9}. Trouvez
(1) A ∩ B (2) A ∪ B (3) A\B (4) B\A (5) A4B (6) (A4B) ∩ A (7) (A4B) ∪ B
(35) Soit A = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}.
Pour chacun des énoncés suivants, décider s’il est vrai ou faux.
(a) ∅ ⊆ A
(b) ∅ ∈ A
(c) {∅} ∈ A
(d) {∅} ⊆ A
(e) {∅, {∅}} ∈ A
(f ) {{∅, {∅}}} ∈ A
(g) {{∅}} ∈ A
(h) {{∅}} ⊆ A
(i) {{∅}, {∅, {∅}}} ⊆ A (j) {∅, {∅}, {{{∅}}}} ⊆ A (k) {∅, {{∅}}} ∈ P(A) (l) {{{{∅}}}} ⊆ P(A)
(36) Pour chacun des ensembles X suivants, trouvez ℘(X) et |X| :
(1) X = {a, b, {a, b}} (2) X = {∅, {∅}}
(37) Soient A, B et C des sous-ensembles d’un ensemble U . Pour tout sous-ensemble X de U , on
écrit X = U \ X. Utlilisez les propriétés des opérations sur les ensembles pour montrer que
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(A\B) ∩ B = (A\B).
(A\B) ∩ C = (C ∩ A) ∪ (C ∩ B)
(A\B)\C = (A\C)\(B\C)
A ∩ (B\A) = ∅
(B ∪ C)\A = (B\A) ∪ (C\A)
(38) Montrer que A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(39) Comme d’habitude, si a, b sont deux nombres réels alors [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} et
(a, b] = { x ∈ R | a < x ≤ b}. Trouver les ensembles suivants
(1) [−3, 6] ∩ (−2, 7] (2) (−5, 7] ∩ Z
(40) Montrer qu’on ne peut pas trouver deux sous-ensembles A et B de N tels que A × B =
{(0, 0), (1, 1)}.
6
(41) Est-il vrai que (A\B)\C = A\(B\C) pour tout choix de trois ensembles A, B, C ? Si oui,
montrez-le ; si non, donnez un contre-exemple.
(42) Si A et B sont deux ensembles finis tels que |A| = 6, |B| = 8 et |A ∩ B| = 3, trouvez la
cardinalité de ℘(A ∪ B).
(43) Lesquels des énoncés suivants sont des identités valides pour tout choix de sous-ensembles A,
B, C d’un ensemble U quelconque ? Justifiez votre réponse.
(a) Si A ∩ B = ∅, alors A = B (b) Si A\B = ∅, alors A = B
(c) Si A\B = ∅, alors A ⊆ B
(d) Si A ∪ B = ∅, alors A = B
(e) Si A4B = ∅, alors A = B (f) Si A × B = ∅, alors A = B
(g) Si A\B = ∅, alors A = B (h) Si A\B = A, alors A ⊆ B
(i) Si A ∪ B = A, alors B = ∅ (j) Si B ⊆ A, alors A ⊆ B
(44) Soit S = {x ∈ R | − x2 + x + 2 ≥ 0}. Quelle est la cardinalité de l’ensemble S ∩ Z ?
(45) Pour chaque nombre entier positif n, on définit l’ensemble
An = {x ∈ Z | x ≥ −n} = {−n, . . . , −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Trouver chacun des ensembles suivants:
∞
(1) A100 \A96 (2) ∪∞
n=1 An (3) ∩n=1 An
Fonctions
(46) Donner un exemple d’une fonction f : N −→ N qui soit:
(a) injective mais non surjective
(b) surjective mais non injective
(c) bijective mais n’est pas égale à la fonction identité
(d) ni injective, ni surjective
(47) Soit g : A −→ B, f : B −→ C deux fonctions.
(a) Si f et f ◦ g sont injectives, la fonction g est-elle nécessairement injective ?
(b) Si f et f ◦ g sont surjectives, la fonction g est-elle nécessairement surjective ?
(48) Soit f : A −→ B une fonction, S et T deux sous-ensembles de A. Montrer que:
(a) f (S ∪ T ) = f (S) ∪ f (T )
(b) f (S ∩ T ) ⊆ f (S) ∩ f (T )
7
(49) Soit f : Z × (Z\{0}) −→ Q définie par f (m, n) =
fonction f est-elle injective, surjective? Justifiez.
m
n
pour tout (m, n) ∈ Z × (Z\{0}). La
(50) Pour chacune des règles suivantes, déterminer s’il s’agit d’une fonction ou non. Si vous dites
que la règle est une fonction, déterminer si la fonction est injective et/ou surjective.
f1
(2) N −→ Z2
n 7→ n + 3
f4
(5) R × R −→ R
(x, y) 7→ x + y
(1) R −→ R 3
x 7→ −x + 1
(4) N −→ N
√
n 7→
n+1
f2
f5
f3
+∞)
(3) R −→ [0,
x 7→ 2x
f6
(6) R × R −→ R × N
(x, y) 7→ (2x, 0)
(51) Soit f : (0, +∞) −→ (0, +∞) la fonction définie par f (x) = 2x2 + 3.
(a) Déterminer si f est injective
(b) Trouver l’image de f . En déduire si la fonction est surjective.
√
(52) Si f : R −→ R, g : R −→ R sont données par f (x) = 3 x + 2 et g(x) = x3 − 2. Donner une
expression pour chacune des fonctions f ◦ g et g ◦ f . En déduire que f et g sont toutes les
deux bijectives.
(53) Soit A un ensemble contenant 4 éléments, B un ensemble contenant 6 éléments. Pour chacun
des énoncés suivants, décidez s’il est vrai ou faux. Justifier votre réponse.
(a) Il n’existe aucune fonction surjective de A dans B
(b) Il n’existe aucune fonction injective de P(A) dans P(B)
(c) Il n’existe aucune fonction injective de P(A) dans B
(d) Il n’existe aucune fonction surjective de A × B dans P(B)
(e) Il n’existe aucune fonction injective de P(P(A)) dans P(A × B)
(54) Si x est un nombre réel, on définit bxc comme étant le plus grand entier inférieur ou égal à x
et dxe comme étant le plus petit entier supérieur ou égal à x. Par exemple, b−1.2c = −2 et
d3.1e = 4. On considère les deux fonctions:
f : R −→ Z
,
x
7→ bxc
g : R −→ Z
x
7→ dxe
Déterminer si f et g sont injectives, surjectives.
(55) Soit f : A −→ B, g : B −→ C deux fonctions.
(a) Montrer que si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective et (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
(b) Donner un exemple où g ◦ f est bijective, mais ni f ni g n’est bijective.
8
Relations
(56) Soit A = {1, 2, 3, 4}. Pour chacune des relations suivantes sur A, déterminer s’il s’agit d’une
relation réflexive, symétrique, antisymétrique ou transitive. Justifier votre réponse.
R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
R3 = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
(57) Soit A = {a, b, c}. On considère les quatre relations suivantes sur A:
R1 = ∅, R2 = {(a, b), (b, c), (a, c))}, R3 = {(a, a), (b, c), (c, b)}, R4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}
Pour chacune de ces relations, déterminer s’il s’agit d’une relation réflexive, symétrique,
antisymétrique ou transitive. Justifier votre réponse.
(58) Pour chacune des relations suivantes sur Z, déterminer s’il s’agit d’une relation réflexive,
symétrique, antisymétrique ou transitive. Justifier votre réponse.
R1 = {(a, b) ∈ Z × Z | a < b} , R2 = {(a, b) ∈ Z × Z | 2b − a < 3}
(59) Pour chacune des relations suivantes sur Z, déterminer s’il s’agit d’une relation réflexive,
symétrique, ou transitive. Justifier votre réponse.
(a) x R1 y ⇔ x + y est impair
(b) x R2 y ⇔ xy est impair
(c) x R3 y ⇔ x + xy est pair
(60) Soit U un ensemble. Pour chacune des relations suivantes sur ℘(U ), déterminer s’il s’agit
d’une relation réflexive, symétrique, antisymétrique ou transitive. Justifier votre réponse.
(a) A R1 B ⇔ A ⊆ B
(b) A R2 B ⇔ A ∩ B = ∅
(c) A R3 B ⇔ A\B = ∅ (Indication. Montrer tout d’abord que A\B = ∅ ⇔ A ⊆ B)
(d) A R4 B ⇔ A ⊕ B = ∅ (Indication. Montrer tout d’abord que A ⊕ B = ∅ ⇔ A = B)
(61) Une relation binaire R sur un ensemble A est dite circulaire si la condition suivante est
satisfaite: (a, b) ∈ R et (b, c) ∈ R implique que (c, a) ∈ R
(a) Montrer que si R est réflexive et circulaire, alors elle est symétrique et transitive
(b) Montrer que si R est symétrique et transitive, alors elle est circulaire.
(62) (a) Soit A = {1, 2, 3}. Donner un exemple d’une relation binaire non vide sur A qui est
symétrique, transitive mais non réflexive.
9
(b) Soit A un ensemble contenant au moins deux éléments et soit R une relation binaire non
vide sur A. Par la partie (a), on sait alors que le théorème suivant est faux:
“Si R est symétrique et transitive, alors R est nécessairement réflexive”.
Quelle est alors l’erreur dans la preuve suivante : Soit a ∈ A. On choisit b ∈ A tel que
(a, b) ∈ R. Ceci est possible car R 6= ∅ et A contient deux éléments. Alors, (b, a) ∈ R
car R est symétrique. Maintenant, (a, b) ∈ R et (b, a) ∈ R nous donne que (a, a) ∈ R.
Alors R est réflexive.
Relations d’équivalence
(63) Sur l’ensemble A = {1, 13 ,
1 1
, ,
27 4
2, 92 , 49 , 5}, on considère la relation R suivante:
x
étant donnés x, y ∈ A, xRy ⇐⇒ il existe k ∈ Z satisfaisant = 3k .
y
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur A.
(2) Donner la partition de A définie par R.
3,
1
,
36
(64) Soit A l’ensemble des fonctions de Z vers R. Sur A, on définit la relation R suivante: si f , g
sont dans A, alors
f R g ⇐⇒ pour tout x ∈ Z on a f (x) − g(x) ∈ Z.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur A.
(2) Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont dans la classe d’équivalence de la fonction
f (x) = 2x + 3?
f1 (x) = −2x + 1, f2 (x) = 2x − 1, f3 (x) = 1, f4 (x) = 4x + 8, f5 (x) = 2x, f6 (x) = x2 + 2x + 3.
(65) Soit W = {(x, y) ∈ R2 | x 6= 0 et y 6= 0}. Sur W, in définit la relation R suivante:
étant donnés (x, y), (a, b) ∈ W, (x, y) R (a, b) ⇐⇒ xa > 0 et yb > 0.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur W.
(2) Combien d’éléments y-a-il dans l’ensemble quotient W/R?
(66) Soit
A=
1 0
0 1
1 0
2 4
2 1
0 1
0 0
,
,
,
,
,
0 0
3 6
3 2
0 0
0 0
On définit sur A la relation binaire R suivante:
A R B ⇔ det A = det B
a b
= ad − bc.
c d
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur A
(2) Donner la partition de A définie par R.
où det
10
(67) Rappelez-vous que si ~u = (x, y) et ~v = (x0 , y 0 ) sont deux vecteurs de R2 , le produit scalaire
~u · ~v de ~u et ~v est donné par ~u · ~v = xx0 + yy 0 . Fixons le vecteur ~u0 = (1, −1) ∈ R2 .
On définit sur R2 la relation R suivante:
étant donnés ~u, ~v ∈ R2 , ~u R ~v ⇐⇒ ~u · ~u0 = ~v · ~u0 .
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R2 .
(2) Donner une description géométrique de la classe d’équivalence du vecteur (1, 1) de R2 .
(68) On définit sur R la relation R suivante:
a R b ⇐⇒ il existe une nombre réel c > 0 tel que b = ac.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R.
(2) Donner la partition de R définie par R.
(69) Si a est un entier positif, on définit κ(n) comme étant le plus petit diviseur premier de n
(rappelez-vous que l’entier 1 n’est pas considéré comme un entier premier). Par exemple,
κ(6) = 2 et κ(9) = 3. Sur l’ensemble P = N\{0} des entiers positifs, on définit la relation R
suivante: a R b ⇔ κ(a) = κ(b). Par exemple, 6 R 12.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur P.
(2) Quelle est la classe d’équivalence de 2?
(70) Soit A l’ensemble de tous les mots binaires de longueur 3. On considère sur A la relation R
suivante:
Si x, y ∈ A,
xRy ⇔ x et y ont les mêmes deux derniers chiffres.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur A
(2) Donner la partition de A définie par cette relation d’équivalence.
(71) On considère sur l’ensemble R × R (produit cartésien de R avec lui-même) la relation R
suivante:
(x, y) R (a, b) ⇔ x2 + y 2 = a2 + b2 .
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R × R
(2) Donner une description géométrique de la classe d’équivalence de l’élément (0, 2). Donner
trois éléments de la classe d’équivalence de (0, 2) qui soient différents de (0, 2).
(72) On définit sur R∗ = R\{0} la relation R suivante: a R b ⇔ |a|b = a|b|. Ici |x| désigne la
valeur absolue de x.
(1) Montrer que R est une relation d’équivalence sur R∗ .
(2) Quelle est la classe d’équivalence de 1?
(73) L’ensemble P =
2
2
2
{(x, y) ∈ R | x < y} , {(x, y) ∈ R | x = y} , {(x, y) ∈ R | x > y}
il une partition de R2 ?
est-
11
(74) L’ensemble P =
n
o
1
1
[ (n+2)
,
)
n
∈
N
est-il une partition de [0, 1) ?
2 (n+1)2
(75) Existe-t-il une relation d’équivalence sur R telle que, pour chaque x ∈ R, la classe d’équivalence
de x est égale à
(a) l’intervalle bxc, bx + 1c ?
(b) l’intervalle bxc, bx + 1c ?
Dénombrement (principes de base)
(76) Combien de plaques d’immatriculation peut-on former en utilisant soit trois chiffres suivis
par trois lettres ou trois lettres suivies par trois chiffres?
(77) Un palindrome est une chaı̂ne binaire qui est égale à son renversement (le renversement du
mot x1 x2 . . . xn est xn . . . x2 x1 ). Par exemple, 11011 est un palindrome. Combien de mots
binaires de longueur n sont des palindromes? (Considérez les deux cas: n est pair et n est
impair.)
(78) Dans un certain pays, un code postal est de la forme ”Lettre Chiffre Lettre- Chiffre Lettre
Chiffre”. Combien de codes postaux sont possibles si les chiffres utilisés doivent être impairs
et si un caractère (chiffre ou lettre) ne peut pas être répété dans un le même code?
(79) A et B sont deux
(1) Le nombre de
(2) Le nombre de
(3) Le nombre de
(4) Le nombre de
(5) Le nombre de
ensembles finis avec |A| = 7, |B| = 4. Trouver:
fonctions possibles de A dans B.
fonctions possibles de B dans A.
fonctions injectives possibles de A dans B.
fonctions injectives possibles de B dans A.
fonctions surjectives possibles de B dans A.
(80) Quel est le nombre d’entiers entre 10000 et 99999 inclusivement qui ont exactement 5 chiffres
différents?
(81) Combien d’entiers naturels entre 7 et 2125 inclusivement:
(a) sont divisibles par 3 ou par 11?
(b) sont relativement premiers avec 33?
(c) sont divisibles par 3 mais non divisibles par 11?
(82) Combien de mots binaires de longueur 13 commencent par 0110 ou se terminent par 1000?
12
(83) Combien d’entiers x satisfaisant 1 ≤ x ≤ 250 sont divisibles soit par 4, soit par 6?
(84) Soit n ∈ N. Trouvez le nombre de mots binaires qui sont de longueur ≤ n.
(85) Combien de plaques d’immatriculation peut-on former en utilisant soit deux, soit trois lettres
suivies soit de deux, soit de trois chiffres?
(86) Un mot de passe doit contenir entre 6 et 9 caractères. Un caractère est soit une lettre
majuscule, soit une lettre miniscule, soit un chiffre. Chaque mot de passe doit contenir au
moins deux caractères différents. Combien de mots de passe sont possibles?
(87) Soit A = {A, B, C, . . . , Y, Z}. Combien de mots d’alphabet A et de longueur 6 contiennent
A et B ?
Principe des tiroirs de Dirichlet (ou principe des nids de pigeons)
(88) Montrez :
(a) Dans n’importe quel groupe de 729 personnes, on peut trouver au moins 29 personnes
dont le nom de famille commence par la même lettre.
(b) Si quatre salles contiennent un total de 729 personnes, alors au moins une salle contient
au moins 8 personnes dont le nom de famille commence par la même lettre.
(89) Soit A = {A, B, C, . . . , Y, Z}. Montrez :
(a) Dans n’importe quelle liste de 10 000 mots d’alphabet A et de longueurs ≥ 2, on peut
trouver au moins 15 mots qui commencent par les mêmes deux lettres (par exemple, ces 15
mots commencent tous par “BA”, ou tous par “EE”, etc.). Remarque : il est possible que le
même mot apparaisse plusieurs fois dans la liste.
(b) Si 10 000 mots d’alphabet A et de longueurs ≥ 2 sont écrits sur 3 pages, alors au moins
une page contient au moins 5 mots qui commencent par les mêmes deux lettres.
(90) Quelle est la plus petite valeur de l’entier n telle que l’énoncé suivant est vrai ?
Dans n’importe quel groupe de n personnes, on peut trouver au moins 12 personnes
dont le nom de famille commence par la même lettre.
(91) Montrez que pour tout choix de 5 entiers distincts choisis parmi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, deux
des entiers choisis ont leur somme égale à 9.
13
(92) Soient P1 = (x1 , y1 ), . . . , P5 = (x5 , y5 ), cinq points dans le plan cartésien. Supposons que tous
ces points ont des coordonnées entières (c’est à dire que xi , yi ∈ Z pour tout i = 1, . . . , 5).
Montrez qu’il existe i 6= j tels que le point milieu du segment Pi Pj a des coordonnées entières.
Dénombrement (permutations et combinaisons)
(93) Dans une classe, il y a 20 filles et 16 garçons. De combien de façons peut-on:
(i) aligner tous les étudiants pour prendre un photo?
(ii) choisir sept étudiants et les aligner pour prendre un photo?
(iii) aligner tous étudiants de sorte que les filles soient toutes à gauche et les garçons tous à
droite?
(94) Six personnes (parmi lesquelles se trouvent Marie et Pierre) demandent à un photographe de
les prendre en photo. De combien de façons le photographe peut-il aligner ces 6 personnes, si
(a) Marie doit être à côté de Pierre ?
(b) Marie ne doit pas être à côté de Pierre ?
(c) Marie doit être quelque part à la gauche de Pierre ?
(95) (a) Combien de mots différents peut-on former en permutant les lettres du mot COUVRE?
(b) Combien de ces mots sont tels que le U est immédiatement à droite de O?
(96) (a) Combien de mots binaires de longueur 7 contiennent exactement trois “0”?
(b) Combien de mots binaires de longueur 7 contiennent au plus trois “0”?
(c) Combien de mots binaires de longueur 7 contiennent au moins trois “0”?
(97) Soit S = {1, 2, . . . , 60} l’ensemble des premiers 60 entiers positifs.
(a) Combien de sous-ensembles A de S sont tels que |{5, 12, 19, 31, 45, 59} ∩ A| = 4?
(b) Combien de sous-ensembles A de S sont tels que |A| = 25 et |{5, 12, 19, 31, 45, 59}∩A| = 4?
(c) Combien de sous-ensembles A de S sont tels que |A| = 13 et {1, 2, 5, 11, 23, 49} ⊆ A?
(98) Dans ce problème, on utilise un paquet ordinaire de 52 cartes de jeu. Il y a 4 sortes de cartes:
coeur, trèfle, carreau et pique. Il y a 13 valeurs pour chaque sorte: 2, 3, 4, . . . , 10, J, Q,
K, A. Une main de poker est un ensemble de 5 cartes. Un triplet : trois cartes de la même
valeur. Une paire : deux cartes cartes de la même valeur.
(a) Combien existe-t-il de mains de poker?
(b) Combien de mains de poker sont formées de 5 cartes de la même sorte?
(c) Combien de mains de poker sont formées d’un triplet et d’une paire?
(d) Combien de mains de poker contiennent une suite de 5 valeurs consécutives ? Ici on
14
suppose que “A, 2, 3, 4, 5” sont consécutives et que “10, J, Q, K, A” sont consécutives, mais
par contre “ . . . , K, A, 2, . . . ” ne sont pas consécutives.
(99) Il y a 20 professeurs au total dans un département des mathématiques. Parmi ces professeurs,
8 sont spécialistes en algèbre, 5 en mathématiques discrètes, 4 en mathématiques appliquées
et 3 en statistiques. De combien de façons peut-on former un comité de 8 professeurs si:
(1) le comité a 2 professeurs de chaque spécialité?
(2) le comité a au moins 3 spécialistes en mathématiques discrètes?
(3) le comité a au moins un spécialiste en algèbre?
(4) le comité a excatement 2 spécialistes en mathématiques discrètes, mais professeur X (qui
est spécialiste en mathématiques discrètes) et professeur Y (qui est spécialiste en statistiques)
refusent d’être en même temps dans le comité?
Théorème du binôme de Newton
(100) Quel est le coefficient de x24 y 10 dans le développement de (2x3 −5y 2 )13 ? Quel est le coefficient
de x10 y 3 dans le même développement ?
(101) Quel est le coefficient de x14 y 12 dans le développement de (x2 y + xy 3 )8 ?
Théorie des graphes
(102) Existe-t-il un graphe simple avec la liste de degrés donnée ? Si oui, dessinez un tel graphe ; si
non, expliquez pourquoi.
(a) (2, 3, 3, 3, 3, 3, 3)
(b) (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)
(c) (0, 1, 1, 2, 2, 4, 6)
(103) Soit G un graphe ayant: 21 arêtes, 7 sommets de degré 1, 3 sommets de degré 2, 7 sommets
de degré 3, et tous les autres sommets sont de degré 4. Combien y-a-t-il de sommets de degré
4?
(104) Soit k > 0 un entier impair, et soit G un graphe simple dont tous les sommets ont degré k.
Prouvez que le nombre d’arêtes de G est un multiple de k.
15
(105) Lesquels des graphes suivants sont bipartis ? Pour chaque graphe biparti, donnez un 2coloriage ; pour chaque graphe non biparti, expliquez comment vous savez qu’il n’est pas
biparti.
s
@
@s
s
s
s
s
sP
s
PP
Ps
s P
s
@
@s
s
s
G
s
@
@s
sP
s
B P
P
Ps
s P
B BB B
B
B
B
s
s
B
s
Bs
sH
s
Z
Hs
s
Z
H
HHZ
H
HHs
s
HZ
HZ
Hs
s HZ
I
J
H
(106) (a) Le graphe G ci-dessous a-t-il un circuit d’Euler ?
(b) G a-t-il un chemin d’Euler ?
(c) Soit G0 le graphe obtenu de G en ajoutant une arête qui joint u à v. Répondez aux
questions (a) et (b) pour le graphe G0 .
us
@
@
G :
a
s
s
@
s
c
b
@
@
sd
@s
v
(107) Les graphes suivants sont-ils isomorphes?
Si vous répondez OUI, donnez un isomorphisme et prouvez qu’il s’agit bien d’un isomorphisme.
Si vous répondez NON, expliquez pourquoi les graphes ne sont pas isomorphes.
u4
u1
u
@
u
u5
u
@
@
@
(a)
et
@
u
u2
(b)
@
@u
u3
t
HH
HH
Ht
t t
H
H
H
H
H
H
t
t
t
t
H
H
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Ht
t H
t H
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H
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t v4
v1
u
u
u6
v5
u
@
@
@
@
@
@
@u
@u
u
@
@
v2
et
u
@
v3
v6
t
HH
HH
Ht
t
tH
H
J
Ht t
J
J
J
t
J
JtH
J
H
Jt
Ht
t
HH
H
HHt
(108) On définit un graphe simple G = (X, A) en stipulant que les sommets de G sont les sousensembles de {1, 2, . . . , 50} de cardinalité 3 (autrement dit: X = ℘3 {1, 2, . . . , 50}) et deux
sommets u, v ∈ X sont voisins si |u ∩ v| = 1.
(a) Trouvez le nombre de sommets de G, et montrez que le degré de chaque sommet est
3243. Trouvez le nombre d’arêtes dans ce graphe.
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(b) G est-il biparti ?
(c) G est-il connexe ?
(d) G admet-il un chemin d’Euler ?
(109) Voici le plan d’un immeuble :
Les lettres A,B,C,D,E,F,G,H représentent 8
lieux : H est l’extérieur, et A,B,C,D,E,F,G sont 7
salles dans l’immeuble. Il y a en tout 15 portes,
et 2 de ces 15 portes donnent sur l’extérieur.
H
(a) Existe-t-il un trajet qui commence et se termine au même lieu, et qui franchit chacune
des 15 portes exactement une fois chacune ?
(b) Existe-t-il un trajet qui commence et se termine en deux lieux différents, et qui franchit
chacune des 15 portes exactement une fois chacune ? Si un tel trajet existe, dites où il
commence et où il finit.
(c) Supposons maintenant que les deux portes qui donnent sur l’extérieur sont verrouillées,
et que vous êtes prisonnier à l’intérieur. Pouvez-vous parcourir un trajet qui franchit
chacune des 13 portes intérieures exactement une fois chacune ? Si un tel trajet existe,
dites où il commence et où il finit.