Optimisation Exercices d`application directe du cours Probl`eme

Université de Marne la Vallée
M1 IMIS
Optimisation
TD N◦ 1
Exercices d’application directe du cours
Exercice 1
Soit Sn l’ensemble des matrices réelles symétriques de dimension n × n, où n ∈ N ∗ .
1. Vérifier que Sn est un e.v. dont on précisera la dimension.
2. Montrer que l’application qui, à tout (A, B) ∈ (S n )2 associe tr(AB), définit un produit
scalaire sur Sn .
3. On définit Sn+ , le sous-ensemble de Sn formé des matrices semi-définies positives. Vérifier que
Sn+ est un cône. Est-il convexe ? Est-il fermé ?
4. Soit f une application affine d’un e.v. X vers un e.v. Y et C (resp. D) un convexe non vide
de X (resp. Y ). Montrer que f (C) et f −1 (D) sont des ensembles convexes.
5. Pour toutes matrices A et B de Sn , on note A B si A − B ∈ Sn+ . Soit p ∈ N∗ et
A1 , . . . , Ap , B des matrices de Sn . Déduire des questions précédentes que l’ensemble des
vecteurs (x1 , . . . , xp ) ∈ Rp tels que
p
X
x i Ai B
i=1
est un convexe de R .
p
Exercice 2
Soit (a, b) ∈ R2 avec a < b. On considère l’espace vectoriel X des fonctions réelles définies sur
[a, b] et continues sur cet intervalle.
1. Démontrer que l’application k · k, définie par
∀x ∈ X,
kxk =
Z
b
a
|x(t)| dt
est une norme sur cet espace.
2. Montrer que X n’est pas complet.
Problème
1. Pour tout (a, b) ∈ R2+ et pour tout λ ∈ R tel que 0 < λ < 1, montrer que
aλ b1−λ ≤ λa + (1 − λ)b
et que cette inégalité devient une égalité ssi a = b.
2. En déduire que, si x = (xn )n∈N ∈ `p et y = (yn )n∈N ∈ `q avec (p, q) ∈ R̄2 tels que 1 ≤ p ≤ ∞
1 1
et + = 1 alors
p q
∞
X
n=0
où
|xn yn | ≤ kxkp kykq
(inégalité de Hölder)
 ∞

 ( X |x |p )1/p
n
kxkp =
n=0


supn∈N |xn |
si 1 ≤ p < ∞
si p = ∞.
3. A quelle condition l’inégalité de Hölder se réduit-elle à une égalité ?
4. Commenter le cas p = 2.
5. Montrer que, si x = (xn )n∈N et y = (yn )n∈N sont deux suites quelconques et p ∈ R avec
p ≥ 1, on a pour tout n ∈ N,
(
n
X
k=0
|xk + yk |p )1/p ≤ (
n
X
k=0
|xk |p )1/p + (
n
X
k=0
|yk |p )1/p .
6. En déduire que, si x et y sont dans `p pour p ∈ R̄, 1 ≤ p ≤ ∞, alors x + y appartient à `p et
kx + ykp ≤ kxkp + kykp
(inégalité de Minkowski).
7. Quand p < ∞, à quelle condition cette inégalité devient-elle une égalité ?
8. Montrer que `p est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ ∞.
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