Université de Tunis El Manar Faculté des Sciences de Tunis

Mastère d’Analyse Harmonique
Fonctions spéciales et groupes de Lie
Jean–Philippe Anker (Orléans)
Université de Tunis El Manar
Faculté des Sciences de Tunis
Département de Mathématiques
Examen écrit du 9 mai 2007
Ce sujet est consacré au demi–plan de Poincaré, qui est un cas particulier du demi–espace
hyperbolique Rn+ présenté dans le cours. On traitera en priorité les questions 1 et 4.
On considère le groupe
G = SL(2, R) =
et le demi–plan
n
g=
a b
c d
o
∈ M(2, R) det g = ad−bc = 1
R2+ = { z = x+iy ∈ C | Im z = y > 0 } .
+b
1. Montrer que G opère sur R2+ par g.z = ac zz +
d .
Indication : On procédera comme suit :
(a) Vérifier que le dénominateur cz +d ne s’annule pas.
Im z
(b) Etablir la formule Im(g.z) = |cz+d|
2 .
(c) Vérifier que g1 .(g2 .z) = (g1 g2 ).z et que I.z = z .
(d) Conclure.
2. On considère les sous–groupes
:
suivants
de G
n
o
1 x N = nx =
x∈R ,
0 1
r
n
o
e2 0
r
A = ar =
r∈R ,
0 e− 2
n
o
cos θ2 sin 2θ K = SO(2) = kθ =
θ
∈
R
.
− sin θ2 cos θ2
(a) Montrer que le groupe G opère transitivement sur R2+ .
Indication : Calculer nx ar .i .
(b) Vérifier que K est le stabilisateur du point z = i .
Indication : Il y a deux points à vérifier :
• Tout kθ ∈ K fixe i .
• Réciproquement, si g ∈ G fixe i , alors g est de la forme k θ .
∼
(c) En déduire une bijection G/K −→ R2+ .
(d) En déduire également la décomposition G = NAK.
On munit le demi–plan R2+ de la métrique riemannienne
2
2
ds2 = dx y+2dy .
En d’autres termes, dans les coordonnées (x, y) , la structure riemannienne est donnée
1
par la matrice
0
y2
= y12 I .
(gij ) =
0 y12
3. Montrer l’invariance de cette métrique par le groupe G .
Indication : On procédera comme suit :
(a) Calculer la matrice jacobienne D(g, z) de l’application z 7−→ g.z de R2+ dans R2+
dans les trois cas suivants :


 nx ∈ N
g =
ar ∈ A


kθ ∈ K
(b) Vérifier dans chaque cas que
1
D(g, z) = | Im1z|2 I .
D(g, z)t | Im(g.z)|
2 I
(c) Conclure.
4. (a) Après en avoir rappelé la définition générale en coordonnées locales, calculer la
mesure riemannienne associée sur R2+ .
(b) Après en avoir rappelé la définition générale en coordonnées locales, établir l’expression suivante du laplacien associé sur R2+ :
∂2
∂2
.
∆ = y 2 ∂x
2 + ∂y 2
(c) Déterminer les fonctions propres de ∆ qui sont N –invariantes, c’est–à–dire qui ne
dépendent que de la coordonnée y .