Sujet de partiel d`avril 2004

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques
DEUG MIAS 2ème année / U8 – Mathématiques Générales
Épreuve du 10 avril 2004
Durée : 4 heures. Sans document et sans calculatrice.
Avertissement : une attention particulière sera portée à la précision et à la rigueur de la
rédaction.
EXERCICE 1
Pour tout x = (x1 , x2 , x3 ) de R3 on pose Q(x) = x21 − x22 + x23 − x1 x3 − x2 x3 .
1. Montrer que Q est une forme quadratique sur R3 et expliciter sa forme polaire.
2. Déterminer la signature de Q.
3. Déterminer le noyau de Q.
4. Déterminer une base de R3 orthogonale pour Q.
EXERCICE 2
Soit X un sous-ensemble compact et convexe de RN .
On considère une application f : X −→ RN vérifiant les hypothèses suivantes :
(i) On a f (X) ⊂ X,
(ii) Pour tous x et y de X, on a kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk.
On se propose de montrer que f possède au moins un point fixe dans X, c’est-à-dire qu’il
existe au moins un point a de X vérifiant f (a) = a.
Soit b un point quelconque choisi dans X. Pour tout entier n ≥ 1, on définit une application
fn : X −→ RN en posant, pour tout x dans X,
fn (x) =
1
1−
n
f (x) +
1
f (b).
n
1. Montrer que les applications f et fn sont continues.
2. Montrer que l’on a fn (X) ⊂ X.
3. Dans cette question, on fixe n et on définit une suite (xp )p≥0 de points de X en posant
x0 = b et xp+1 = fn (xp ) pour tout p ≥ 0.
3a. Montrer que pour tout entier p ≥ 0, on a
kxp+1 − xp k ≤ αp kx1 − x0 k avec α = 1 −
1
.
n
3b. En déduire que l’on a, pour tous entiers p ≥ 0 et q ≥ 0,
kxp+q − xp k ≤
αp
kx1 − x0 k.
1−α
3c. Montrer que la suite (xp )p≥0 converge dans RN .
La limite de (xp )p≥0 dépend du paramètre n qui a été fixé au début de la question ; pour
cette raison, on la note an dans la suite de l’énoncé.
4. Montrer que quel que soit n, le point an appartient à X et vérifie fn (an ) = an .
5. En considérant une sous-suite convenable de (an )n≥1 , montrer que f admet un point
fixe.
EXERCICE 3
p
On munit le plan R2 de la norme euclidienne usuelle : k(x, y)k = x2 + y 2 . On désigne
par Log la fonction logarithme népérien. Étant donné un entier m ≥ 1, on considère la
m
fonction fm définie dans R2 par fm (x, y) = (x2 +y 2 )y pour (x, y) 6= (0, 0) et fm (0, 0) = 1.
1. Justifier que fm est différentiable dans R2 \ {(0, 0)} et calculer ses dérivées partielles
en tout point (x, y) de cet ouvert.
2. Soit (x, y) dans R2 \ {(0, 0)}. Montrer que pour k(x, y)k < 1, on a la majoration
m
y Log(x2 + y 2 ) ≤ −2k(x, y)km Log k(x, y)k.
et en déduire que y m Log(x2 + y 2 ) a une limite, que l’on précisera, lorsque (x, y) tend vers
(0, 0) dans R2 \ {(0, 0)}.
3. Montrer que pour tout entier m ≥ 1, la fonction fm est continue en (0, 0).
∂fm
(0, 0) existe et préciser sa
4. Montrer que pour tout entier m ≥ 1, la dérivée partielle
∂x
valeur.
∂fm
5. Montrer que la dérivée partielle
(0, 0) existe si et seulement si on a m ≥ 2. Préciser
∂y
alors sa valeur.
6. Pour quelles valeurs de m la fonction fm est-elle différentiable en (0, 0) ? Préciser alors
sa différentielle.
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