T9. Correction du devoir surveillé de mathématiques no 10.

T9. Correction du devoir surveillé de mathématiques no 10.
Exercice 1
(11 points)
Florent a besoin d’économiser au moins 1 250 e pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d’effectuer
un dépôt chaque mois.
Il effectue une simulation de deux formules d’économies possibles :
Formule A : le 1er mois, il fait un dépôt de 150 e ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de
20 e.
Formule B : le 1er mois, il fait un dépôt de 130 e ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de
20 %.
On appelle An et Bn Ies montants respectifs du n-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule
A et la formule B. Ainsi, A1 = 150 et B1 = 130.
1. (a) Déterminer la nature de la suite (An ) et préciser son terme initial et sa raison.
Pour tout n > 1, An+1 = An + 20.
Donc (An ) est une suite arithmétique de raison r = 20.
Son premier terme est A1 = 150.
(b) Déterminer la nature de la suite (Bn ) et préciser son terme initial et sa raison.
20
Augmenter de 20 % revient à multiplier par c = 1 + t = 1 +
= 1.2.
100
Pour tout n > 1, Bn+1 = Bn × 1.2.
Donc (Bn ) est une suite géométrique de raison q = 1.2.
Son premier terme est B1 = 130.
2. Exprimer An et Bn en fonction de n.
Pour tout n > 1, An = A1 + (n − 1)r = 150 + (n − 1) × 20.
Pour tout n > 1, Bn = B1 × q n−1 = 130 × 1.2n−1 .
3. Florent souhaite acheter son scooter dans 6 mois.
(a) Quel sera le montant du 6e dépôt, arrondi à l’euro, pour chaque formule ?
A6 = 150 + (6 − 1) × 20 = 150 + 5 × 20 = 250.
B6 = 130 × 1.26−1 = 130 × 1.25 ≈ 323.48.
Avec la formule A le 6e dépôt sera de 250 euros, et avec la formule B il sera de 323.48 euros.
(b) Quelle somme Florent aura-t-il économisée au bout de six mois, arrondie à l’euro, avec
chaque formule ?
A1 + A6
×6
2
150 + 250
=
×6
2
= 1200
A1 + A2 + · · · + A6 =
1 − 1.26
1 − 1.2
1 − 1.26
= 130 ×
1 − 1.2
≈ 1290.89
B1 + B2 + · · · + B6 = B1 ×
En six mois, Florent aura économisé 1200 euros avec la formule A et, 1290.89 euros avec la
formule B.
(c) Quelle formule va-t-il retenir pour acheter son scooter ?
A1 + A2 + · · · + A6 = 1200 < 1250 .
B1 + B2 + · · · + B6 ≈ 1290.98 > 1250.
Seule la formule B permet à Florent d’économier suffisamment pour acheter son scooter
dans 6 mois.
Il retient la formule B.
1
Exercice 2
En 2009, le service comptable d’une entreprise estime qu’une machine vaut 22 000 euros.
On considère que sa valeur se déprécie de 15 % par an.
On note v0 = 22000 et vn la valeur de la machine estimée pour l’année 2009 + n.
1. Justifier que (vn ) est une suite géométrique, et préciser sa raison.
Effectuer une baisse de 15 % revient à multiplier par c = 1 + t = 1 − 0.15 = 0.85.
Donc vn+1 = vn × 0.85.
La suite (vn ) est géométrique de raison q=0.85.
2. Montrer que vn = 22000 × (0.85)n .
Pour tout n, vn = v0 × q n .
En remplaçant, pour tout entier n, vn = 22000 × (0.85)n .
3. Selon ce modèle, à partir de quelle année la machine aura-t-elle une valeur inférieure à 5 000
euros ?
On cherche la plus petie valeur de n à partir de laquelle vn 6 5000.
En s’aidant de la calculatrice, v9 ≈ 5095.57 > 5000, et v10 ≈ 4331.24 < 5000.
v0 correspond à 2009, donc v10 correspond à 2009 + 10 = 2019.
Selon ce modèle, la machine aura une valeur inférieure à 5000 euros à partir de 2019.
Exercice 3
Soit f la fonction définie sur I = [0; 8] par f (x) = 2e0.3x .
1. Calculer f ′ (x) et étudier son signe.
f ′ (x) = 2 × 0, 3e0,3x = 0, 6e0,3x .
Comme une exponentielle est toujours positive, e0,3x > 0.
Pour tout x ∈ [0; 8], f ′ (x) > 0. Donc f est croissante sur [0; 8].
2. Donner le tableau de variation de f sur [0; 8]. f (0) = 2, et f (8) = 2e2,4 ≈ 22.
x
0
8
f ′ (x)
+
≈ 22
f (x)
2
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs de f à l’aide de la calculatrice. Arrondir les valeurs
à 0.1.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f (x) 2 2, 7 3, 6 4, 9 6, 6 9, 0 12, 1 16, 3 22, 0
4. En déduire un encadrement de la solution α de l’équation f (x) = 15.
D’après le tableau de valeurs de f , la solution α de l’équation f (x) = 15 vérifie 6 < α < 7.
5. Déterminer par le calcul la valeur de α arrondie à 0.1 près.
f (x) = 15
2e0,3x = 15
e0,3x = 7, 5
0, 3x = ln(7, 5)
ln 7, 5
x =
0, 3
x ≈ 6, 7
α=
ln 7, 5
≈ 6, 7.
0, 3
2