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Année universitaire 2011/2012
DST DE PRINTEMPS
DISVE
Licence
PARCOURS : Pré L1
UE : MN2011
Epreuve : MN2011 Approfondissements Mathématiques
Date : 7 juin 2012
Heure : 8h30
Durée : 1h30
Documents non autorisés. Calculette Bordeaux 1 autorisée.
Epreuve de M. Roydor et M. Sambou
Les exercices proposés sont indépendants. Les réponses doivent être justifiées.
Exercice 1.
Soient a et b deux paramètres réels, et f la fonction définie sur R par :
(
ax2 + 1 si x ∈ ] − ∞, 1]
f (x) =
.
3x + b si x ∈ ]1, +∞[
1) Expliquer pourquoi f est continue sur R \ {1}.
2) À quelle condition sur a et b, la fonction f est continue au point x = 1 ?
3) Représenter graphiquement f pour a = 1 et b = 0.
Exercice 2.
Soient les suites (Un ) et (Vn ) définies pour tout n ≥ 0 respectivement par :
Un = 1 +
1
2n
1) Montrer que Un+1 − Un = −
et
Vn =
1
2n+1
n−1
.
n+1
pour tout n ≥ 0.
2) En déduire le sens de variation de la suite (Un ).
3) De même, quel est le sens de variation de la suite (Vn ) ? Justifier la réponse.
4) On pose Wn = Un − Vn .
a) Expliquer pourquoi lim Wn = 0.
n→+∞
b) Déduire de ce qui précède que (Un ) et (Vn ) sont adjacentes ; préciser leur limite commune.
Exercice 3.
1) On considère les points de l’espace A(1, 0, −1), B(2, 2, 3) et C(3, 1, −2).
−−→
−→
a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
−−→
−→
b) Calculer kABk et kACk.
c) Démontrer que le triangle ABC est rectangle, calculer son aire.
2) On cherche à déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
−−→
−→
−
a) Soit →
n (x, y, z) un vecteur normal au plan (ABC). Que valent les produits scalaires ~n · AB et ~n · AC ?
−−→
−→
b) Désormais, exprimer ~n · AB et ~n · AC en fonction des réels x, y et z. En déduire un vecteur normal
au plan (ABC).
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Exercice 4.
On travaille ici dans le plan. On considère la droite D d’équation cartésienne :
4x + y + 17 = 0.
1) Déterminer ~n le vecteur normal à D vérifiant k~nk = 1.
−−→
2) Notons O l’origine du plan et B le point de coordonnées B(0, −17). Calculer le produit scalaire BO ·~n.
En déduire la distance de O à la droite D.
3) Notons C le cercle de centre O et de rayon 4. Déterminer le nombre de points communs à C et D.
4) Pour x > 0, on appelle Cx le cercle de centre O et de rayon x. On note f (x) le nombre de points
communs à Cx et D. On définit ainsi une fonction f sur ]0, +∞[ à valeurs dans R. Tracer le graphe de f . La
fonction f est-elle continue sur ]0, +∞[ ? Justifiez.
Barême indicatif : Ex1 : 40 pts ; Ex2 : 60 pts ; Ex3 : 60 pts ; Ex4 : 40 pts
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