Mathématiques discr`etes Chapitre 1 : Manipulation de sommes

U.P.S.
I.U.T. A, Département d’Informatique
Année 2009-2010
Mathématiques discrètes
Chapitre 1 : Manipulation de sommes
Un ouvrage de référence : Jacques Vélu, Méthodes mathématiques pour l’informatique, Dunod éd.
Pour retrouver ce cours sur Moodle :
1. Définition du symbole Σ
Si a1 , a2 , . . . an sont des réels, on définit la notation suivante :
a1 + a2 + · · · + an =
n
X
ak .
k=1
Dans cette écriture, la lettre k est un indice muet. Cela signifie qu’on peut remplacer k par une autre
lettre sans changer la valeur obtenue (comme dans les intégrales). Par exemple :
n
X
k=1
ak =
n
X
j=1
aj =
n
X
ai = a1 + a2 + . . . + an .
i=1
Exemples 1
1+2+3+4+5=
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 =
2 + 4 + 6 + · · · + 2n =
Exercice de cours 1.
Ecrire à l’aide du symbole Σ les sommes suivantes :
A = 10 + 12 + 14 + 16 + · · · + 100,
B = 1 + 3 + 5 + · · · + 33.
2. Règles de calcul :
1) commutativité : si a1 , a2 , . . . an et b1 , b2 , . . . bn sont des réels :
n
n
n
X
X
X
(ai + bi ) =
ai +
bi .
i=1
i=1
1
i=1
justification :
Exemples 2
n
X
(k + k 2 ) =
k=1
100
X
p
j
( j+ )=
2
j=1
2) distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : si a1 , a2 , . . . an et λ sont des réels :
n
X
λai = λ
i=1
n
X
ai .
i=1
justification :
Exemples 3
100
X
j
j=1
m
X
2
=
4k 2 =
k=1
3) changement d’indice : si a1 , a2 , . . . an sont des réels on a par exemple
n
X
ai =
i=1
n
X
i=1
ai =
n−1
X
aj+1,
j=0
n
X
j=1
an+1−j ,
en posant j = i − 1
en posant j = n + 1 − i.
Il y a beaucoup d’autres changements d’indice possibles.
justification :
2
Exemples 4
m
X
4k =
j=0
k=1
10
X
X
2
k =
5
X
j=0
k=5
Exercice de cours 2. Calculer la somme
S=
n
X
(3k + 2)2
k=0
en fonction des quantités suivantes :
S0 =
n
X
1,
n
X
S1 =
S2 =
k,
k2 .
k=0
k=0
k=0
n
X
Exercice de cours 3. Calculer la somme
n
X
√
( k + 3)2
T =
k=0
en fonction des quantités suivantes :
S0 =
n
X
1,
′
S =
n
X
√
k,
S1 =
k.
k=0
k=0
k=0
n
X
Exercice de cours 4. Effectuer le changement d’indice proposé dans la somme suivante :
10
X
(k + 3)3 =
X
j=5
k=2
3. Sommes particulières :
4) si les ai sont constants, par exemple pour tout i, ai = 1 :
n
X
1 = n.
i=1
(c’est-à-dire le nombre de termes multiplié par la constante)
Exemple 5
50
X
k=1
3=
n
X
k=0
3
1=
5) progression géométrique : si q est un réel différent de 1 :
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
.
1−q
Exemples 6
4
X
2k =
k=0
100
X
1
=
k
2
k=0
Cette formule sera démontrée en TD.
Exercice de cours 5. On donne un entier positif n.
a) Calculer
n
X
Sn =
9.10k .
k=0
b) vérifier le résultat pour n = 5
Exercice de cours 6. (somme d’une progression arithmétique)
a) montrer que
n
X
n(n + 1)
.
k=
2
k=1
utiliser un changement de variable
b) calculer
n
X
(2k + 1).
k=1
c) vérifier le résultat obtenu pour n = 3 et pour n = 5.
Travaux Dirigés
Exercice 1.
a) ai = 2 pour 1 ≤ i ≤ n,
On veut vérifier la propriété 5) des sommes : somme b) ai = 3i pour 1 ≤ i ≤ n,
d’une progression géométrique.
c) ai = 2i + 4 pour 1 ≤ i ≤ n.
Soit q un réel différent de 1. On note
Exercice 3.
a) Calculer
n
X
n
k
X
S=
q .
qk .
k=0
k=1
Développer l’écriture de (1 − q)S, et en déduire la on discutera selon la valeur du réel q.
propriété 5). on pourra commencer à faire le travail b) On donne deux entiers m et n tels que m ≤ n.
en écrivant S “avec des pointillés”, puis s’inspirer Calculer
n
X
de la méthode pour travailler avec le symbole Σ.
qk .
Exercicen 2.
X
Calculer
ai avec
k=m
on discutera selon la valeur du réel q.
i=1
4