Feuille d`exercices no 2 Polynômes - IECL

Université de Lorraine
Calculs et mathématiques - L1
UFR MIM
2013/2014
Feuille d’exercices no 2
Polynômes
Exercice 1 Les expressions suivantes sont-elles des polynômes ? Si oui, les mettre sous
forme canonique et préciser leur dergré :
x+3
x+
,
x+5
2
x + (x + 3) (x + 5) ,
x2 + 2x + 1
x
,
x+1
n
X
xi (x + 1) ,
(x + 1)3 ,
(x + 1)4
i=0
Exercice 2 Les problèmes suivants peuvent se ramener à l’étude de racines de polynômes.
Le montrer et expliciter le polynôme en question. On ne demande pas de résoudre l’équation !
– Trouver un réel x tel que x = 1/x
x+2
+ x+3
=0
– Trouver un réel x tel que x+1
x+2
1
– Trouver un complexe x tel que 1+ 1 = 1
1+x2
– Trouver deux complexes x et y tels que y = x2 et x3 + x5 = 1
– Trouver deux réels x et y tels que y = x4 − 1 et y 6 + x4 = 1
Exercice 3 Pour quelles valeurs de a le polynôme
P (X) = (X + 1)7 − X 7 − a
admet-il une racine multiple réelle ?
Exercice 4
– Montrer que le polynôme x + 1 ne divise pas le polynôme x4 + x + 1.
– Montrer que le polynôme x2 + 1 ne divise pas le polynôme x4 + x + 1.
– Montrer que le polynôme x3 + x − 2 ne divise pas le polynôme x4 + x + 1.
Exercice 5
– Un polynôme de degré 8 peut-il diviser un polynôme de degré 6 ?
– Donner un exemple de polynôme de degré 6 qui divise un polynôme de degré 8.
Exercice 6
– Le polynôme x2 − 3x + 2 divise le polynôme x3 − 4x2 + x + 2. Trouver le quotient.
– Le polynôme x2 + 1 divise le polynôme x4 + x3 − x − 1. Trouver le quotient.
Exercice 7
– Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x3 + 2x2 + 3 par
x2 − x − 1 sont x + 3 et 4x + 6 respectivement.
– Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x3 + x2 + x + 1 par
x2 + 1 sont x + 1 et 0 respectivement. En déduire que x2 − x − 1 divise x3 + 2x2 + 3.
– Vérifier que les quotients et restes de la division euclidienne de x4 + x3 − x2 − x + 1
par x2 − 4x + 1 sont x2 + 5x + 18 et 66x − 17 respectivement.
Exercice 8
– La relation : 3x2 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) + (3x2 − x4 ) implique t-elle que les quotients
et restes de la division euclidienne de 3x2 − 1 par (x2 + 1) sont x2 − 1 et 3x2 − x4
respectivement ?
– Que donne en fait la division euclidienne de 3x2 − 1 par (x2 + 1) ?
Exercice 9 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes :
3X 5 + 4X 2 + 1
3X 5 + 2X 4 − X 2 + 1
X4 − X3 + X − 2
X 6 + 2X 4 + X 3 + 1
X 5 − 7X 4 − X 2 − 9X + 9
par
par
par
par
par
X 2 + 2X + 3
X3 + X + 2
X 2 − 2X + 4
X3 + X2 + 1
X 2 − 5X + 4
Exercice 10 Décomposer dans R[X] et C[X] les polynômes suivants
X3 − 1 ,
X 12 − 1 ,
X4 + 1 ,
X6 + 1 ,
X9 + X6 + X3 + 1 .
Exercice 11 Division suivant les racines croissantes :
X 4 + X 3 − 2X + 1
X 6 + 2X 4 + X 3 + 1
par
par
X 2 + X + 2 à l’ordre 2 ,
X 3 + X 2 + 1 à l’ordre 4