1 Convergence dominée 2 Convergence dominée

Travaux Dirigés d’Intégration
ENSEEIHT - Dépt. GEA
Octobre 2010 - Janvier 2011
Didier Henrion1 Frédéric Messine2
TD 2 - Intégration
1
Convergence dominée
On étudie les limites, quand n tend vers l’infini, des deux suites d’intégrales suivantes :
Z 1
2 2
In =
n2 x2 e−n x dx
0
et
Z
1
2 x2
n2 xe−n
Jn =
dx.
0
On pose fn (x) = n2 x2 e−n
2 x2
2 x2
et gn (x) = n2 xe−n
.
1. Vérifier que fn (x) et que gn (x) tendent vers 0 partout.
2. Vérifier que
|fn (x)| ≤
1
e
∀n ∈ N et ∀x ∈ [0, 1] .
3. En déduire par convergence dominée que
lim In = 0.
n→∞
4. Calculer Jn par un changement de variables, et vérifier que
1
lim Jn = .
n→∞
2
2
Convergence dominée
Soit g une fonction intégrable sur R+ . Montrer que
Z ∞
2
lim
e−n sin x g(x) dx = 0.
n→∞
1
2
0
LAAS-CNRS, Univ. Toulouse et Univ. Technique Tchèque de Prague. [email protected]
ENSEEIHT et IRIT-CNRS, Univ. Toulouse. [email protected]
1
3
Théorème de dérivabilité
On considère la fonction F définie par:
Z
F (t) =
+∞
e−xt
0
sin x
dx.
x
1. Montrer que pour t > 0, la fonction : x → e−xt
sin x
x
appartient à L1 (R+ ) .
2. Vérifier que F (t) est dérivable sur ]0, +∞[ avec
−1
1 + t2
F 0 (t) =
∀t > 0.
3. En déduire l’expression de F (t) pour t > 0.
4
Théorème de Fubini
On pose
+∞
Z
+∞
Z
e−xy sin 2y dxdy.
I=
1
0
1. Vérifier que
Z
+∞
+∞
Z
−xy
e
sin 2y dxdy < ∞.
I=
1
0
2. En déduire par application du théorème de Fubini que
Z ∞ −y
e sin 2y
dy = arctan 2.
y
0
5
Changement de variables et Fubini
On pose, pour a > 0 et b > 0 :
+∞
Z
xa−1 e−x dx
Γ (a) =
0
et
Z
B (a, b) =
1
y a−1 (1 − y)b−1 dy.
0
Ce sont respectivement les fonctions Gamma et Bêta d’Euler.
1. Montrer que ces fonctions sont bien définies pour a > 0 et b > 0, c’est-à-dire que les
fonctions qui interviennent sont intégrables.
2
+
2. Montrer que pour toute fonction positive f : R → R on a :
Z +∞
Z +∞ Z +∞
a−1 b−1
f (u + v) u v dudv = B (a, b)
xa+b−1 f (x) dx.
0
0
0
Indication : on effectuera le changement de variable
x=u+v
u
.
y = u+v
3. En déduire l’identité :
Γ (a) Γ (b) = Γ (a + b) B (a, b) .
3