Projet 1. Simulation Monte Carlo du mouvement brownien Projet 2

Physique statistique et phénomènes du transport
2003–2004
Projet 1. Simulation Monte Carlo du mouvement brownien
Projet numérique. On se propose de modéliser le mouvement brownien, observé par exemple dans le
TP sur la mesure du nombre d’Avogadro, comme une marche aléatoire sur un réseau 2d. La simulation
peut se faire grâce à une méthode Monte Carlo (le TP 7 du module modélisation fera de référence).
Les paramètres microscopiques (pas de temps, pas du réseau) seront choisi de manière à reproduire les
caractéristiques du mouvement observé dans le TP Avogadro : en particulier il faudra obtenir la même
valeur pour le coefficient de diffusion.
Les trajectoires ainsi obtenues pourront en suite être mieux étudiées du point de vue statistique : on
vérifiera par exemple si la loi de distribution prévue pour les distances traversées par les particules à
temps donné est réalisée, quelle est l’allure de l’écart type de ces distances en fonction du temps, etc. Une
estimation de la précision de ces grandeurs statistiques en fonction du nombre de trajectoires utilisées
sera donnée : cette estimation fera l’occasion d’une collaboration avec le projet 2, qui s’intéressera des
mêmes questions statistiques, mais sur la base des mesures réelles.
Enfin, on pourra essayer de simuler une marche aléatoire avec biais, en choisissant deux probabilité p
et q (probabilités d’aller vers la gauche au vers la droite) différentes. Qu’est-ce que l’on obtient ? Comment
peut–on mesurer le coefficient de diffusion dans ce cas ?
Projet 2. Étude détaillée du mouvement de particules colloı̈dales
Projet expérimentale. Dans le TP Avogadro, nous avons visualisé le mouvement de diffusion de petites sphères de latex en solution dans l’eau. Dans l’hypothèse que le mouvement de ces particules soit
un mouvement brownien pur, nous avons dérivé le coefficient de diffusion par une simple mesure de
déplacements, et nous en avons déduit une estimation du nombre d’Avogadro NA . Cependant, la valeur
trouvée a été systématiquement inférieure à la valeur théorique. Cet effet pourrait être du simplement à
des imprécision dans les valeurs des différents paramètres utilisées dans le calcul, mais il pourrait aussi
venir du fait que les trajectoires observées ne peuvent pas être assimilées à celles prévues par le modèle
du mouvement brownien.
Le but de ce projet est de reprendre l’ensemble des images enregistrées au cours des séances de TP et
de les analyser avec des méthodes statistiques appropriées pour vérifier si les hypothèses du mouvement
brownien sont vérifiés. On pourra essayer de vérifier si la si la loi de distribution prévue pour les distances
traversées par les particules à temps donné est réalisée, quelle est l’allure de l’écart type en fonction
du temps etc. Une estimation de la précision de ces grandeur statistiques en fonction du nombre de
trajectoires utilisées sera nécessaire : cette estimation pourra être faite en collaboration avec le projet 1,
qui s’intéressera des mêmes questions statistiques pour un modèle numérique.
On peut envisager une nouvelle utilisation du matériel expérimental utilisé pour le TP, si elle se révèle
nécessaire.
Projet 3. Simulation de l’équation de Langevin
Projet numérique. L’équation de Langevin est une équation différentielle stochastique qui permet de
décrire (par exemple) le processus de diffusion d’une particule colloı̈dale soumise à l’action des forces de
collision avec les molécules du solvant. L’effet de ce forces est traduit par deux termes séparés (mais non
indépendants) : une force aléatoire gaussienne (bruit thermique) et une force de frottement visqueux.
On se propose de réaliser une simulation numérique de la trajectoire d’une particule colloı̈dale par
intégration de l’équation de Langevin. Il faudra utiliser une méthode d’intégration des équations différentielles ordinaires (le TP 2 du module modélisation sert de référence), mais introduire une force aléatoire,
dont la caractérisation statistique doit être choisi de façon à vérifier le théorème fluctuation–dissipation.
On pourra en suite introduire l’action d’une force extérieure constante, comme par exemple un champ
de pesanteur, et étudier la trajectoire de la particule dans ce cas. Comparer l’effet de forces d’intensité
différentes. Est-il possible d’obtenir la distribution d’équilibre (distribution en hauteur) d’un ensemble
de particules en solution sous l’action de la gravité, prévue par la loi de Boltzmann ?
Physique statistique et phénomènes du transport
2003–2004
Projet 4. Diffusion sous l’action d’une force extérieure :
sédimentation et ultracentrifugation.
Projet théorique. La loi de Boltzmann permet de calculer la variation de densité de l’atmosphère en
fonction de l’altitude, ou de particules de soluté dans une solution colloı̈dale en fonction de la hauteur.
Le même principe physique est à la base de la technique de l’ultracentrifugation, méthode de choix pour
la séparation des macromolécules (protéines, acides nucléiques) et la mesure des poids moléculaires.
On se propose de donner une description détaillée des mécanismes physiques qui interviennent dans
cette technique, à partir du bilan des forces agissant sur une molécule, de l’expression de la vitesse
limite (avec l’introduction de la constante de Svedberg), intervenant dans l’ultracentrifugation dynamique
(sédimentation), jusqu’à la détermination de la région occupée par les molécules dans l’ultracentrifugation
d’équilibre et aux conditions permettant de séparer des macromolécules de masses molaires différentes.
On s’intéressera aussi au problème, corrélé au précédent, de déterminer si la forme d’une molécule
est plus ou moins proche d’une forme sphérique : comment peut–on estimer les déviations de la forme
sphérique par ultracentrifugation ?
On pourra aussi décrire, à ce propos, une technique alternative aussi capable de séparer des molécules
de forme différente, l’électrophorèse. Sur quel principe se base cette technique ? Quelles sont les analogies
et les différences par rapport à l’ultracentrifugation ?
Bibliographie :
Bouyssy et al. Physique pour les sciences de la vie. Vol. 2. la matière (Physique Enseignement)
Benedek, Villars Physics with illustrative examples from medicine and biology (Physique Enseignement)
Cantor, Schimmel Biophysical chemistry (Biologie enseignement, chimie enseignement)
Projet 5. Marche aléatoire et polymères.
Projet théorique. Parmi les nombreuses applications possibles du modèle de la marche aléatoire (qui
vont de la description des phénomènes de diffusion à l’étude des systèmes de spins) un développement
très important de cette approche concerne l’étude de la conformation des chaı̂nes polymères en solution.
Dans cette étude, le polymère est modélisé comme une chaı̂ne de N bâtonnets de longueur identique, et la
structure globale du polymère peut donc être décrite en donnant le parcours formé par cette séquence de
segments dans l’espace. Une conformation est ainsi identifiable avec une trajectoire de marche aléatoire
particulière. Comme pour le cas de la diffusion de particules, cette trajectoire peut être définie soit sur
réseau, soit dans l’espace continu.
Le but de ce projet est de présenter l’application du modèle de la marche aléatoire à la physique
des polymères. En particulier, on donnera une définition des caracteristiques géometriques du polymère
comme la distance bout-à-bout, le rayon de giration ou le rayon hydrodynamique à partir du modèle de
la marche aléatoire. Ces définitions permettront d’introduire la notion de loi d’échelle, à partir desquelles,
on décrira notamment la transition “pelote-globule”.
Bibliographie :
Benedek, Villars Physics with illustrative examples from medicine and biology (Physique Enseignement)
De Gennes Scaling concepts in polymer physics (Physique Enseignement)
Gould, Tobochnik An introduction to computer simulation methods : applications to physical systems
(physique enseignement)
Oudet, Polymères : structure et propriétés, introduction (Physique Enseignement)
Projets de secours
- Diffusion anormale et DNA–walk
- mesure de nano–forces par la méthode des pinces optiques