Université des Sciences et Technologies de Lille Deug MIAS 1`ere

Université des Sciences et Technologies de Lille
Deug MIAS 1ère année - Section 3
UE4 - Mathématiques
Examen, Session de Septembre 2004
Durée 3H
Documents et calculatrices interdites.
Barême indicatif : 1+4+4+4+5+2. Les exercices sont tous indépendants et peuvent
être traités dans un ordre arbitraire.
1. Exercice
On considère l’espace vectoriel
 
x1
H = { x2  ∈ R3
x3
tel que
x1 + x2 + 2x3 = 0}.
Construire une base de H. Quelle est la dimension de H?
2. Exercice
Soit φ : R3 → R4 l’application linéaire telle que


 
x1 + x2 + x3
x1  −x1 + x2 + x3 
φ  x2  = 
.
x1 − x2 + x3
x3
x1 + x2 − x3
2.1) Comment s’écrit la matrice de cette application (dans les bases naturelles de R3 et
de R4 )?
2.2) Quelle est la dimension du noyau de φ? L’application φ est-elle injective?
2.3) Quelle est la dimension de l’image de φ? L’application φ est-elle surjective?
3. Exercice
On travaille dans l’espace V = R2 . On note (e1 , e2 ) les vecteurs de la base canonique
de R2 .
3.1) Prouver que les vecteurs
1
2
u1 =
et u2 =
1
1
forment une base de R2 .
Comment s’écrit la matrice P = P(e1 ,e2 ) (u1 , u2 ) de changement de base de (u1 , u2 ) à
(e1 , e2 ) et la matrice de changement de base inverse Q = P(u1 ,u2 ) (e1 , e2 )?
3.2) Soit φ : R2 → R2 l’application linéaire telle que φ(u1 ) = u2 et φ(u2 ) = u1 . Comment
s’écrit la matrice de φ dans la base (u1 , u2 )? Dans la base (e1 , e2 )?
— Suite au verso —
BF, Courriel : [email protected]
1
4. Exercice
On pose
(
f (x) =
2e2x − 3ex + e−x
,
x
0,
pour x 6= 0,
pour x = 0.
4.1) Écrire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de l’expression 2e2x − 3ex + e−x .
4.2) Prouver que f est continue et dérivable en 0 en utilisant le résultat précédent.
4.3) Reprendre le résultat de la question 4.1 pour donner un développement limité de f (x)
en 0 à l’ordre 2 ; puis déterminer la position du graphe de f par rapport à sa tangente en
(0, f (0)) au voisinage de ce point.
5. Exercice
5.1) Soit a : R \ {−1, 0, 1} → R la fonction
a(t) =
1 1 + t2
·
.
t 1 − t2
Décomposer cette fraction en éléments simples. Déterminer une primitive de la fonction
t 7→ a(t) sur l’intervalle ]1, +∞[.
5.2) Quel est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle homogène
x0 (t) − a(t)x(t) = 0
sur l’intervalle ]1, +∞[?
5.3) Quel est l’ensemble des solutions de l’équation différentielle avec second membre
x0 (t) − a(t)x(t) = t
sur l’intervalle ]1, +∞[?
6. Exercice
Existe-t-il des solutions à valeurs réelles de l’équation différentielle
x00 (t) − 2x0 (t) + 2x(t) = 0
qui sont bornées sur R (en dehors de la solution nulle)? Justifier soigneusement la réponse.
2