Contrôle continu Probabilités - IRMA
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Contrôle continu Probabilités - IRMA
Université de Strasbourg UE − Probabilités Mathématiques-Economie Niveau − L3, année − 2011-1012. Contrôle continu Probabilités Durée : 1h30. Les calculatrices et téléphones portables sont interdits. Exercice 1 − On rappelle que la fonction génératrice d’une variable aléatoire X discrète et positive est GX (s) = E(sX ), pour s ∈ [0, 1]. 1) Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Calculer la fonction génératrice de X. 2) Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivants des lois de Poisson de paramètres respectifs λ1 > 0 et λ2 > 0. Déduire de la question 1) la loi de X1 + X2 . Exercice 2 − Soit U1 , . . . , Un des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [0, 3] définies sur le même espace probabilisé (Ω, F, P). On pose Mn = max(U1 , . . . , Un ) et mn = min(U1 , . . . , Un ). 1) Montrer que Mn converge en probabilité vers 3 et que mn converge en probabilité vers zéro. 2) Après avoir remarqué que pour tout ε > 0, {(a, b) ∈ R2 tq |a + b| > ε} ⊂ {(a, b) ∈ R2 tq |a| > ε/2 ou |b| > ε/2}, montrer que Mn − mn converge en probabilité vers 3. Exercice 3 − Un sac contient 3 boules rouges R1 , R2 et R3 et deux boules noires N1 et N2 . On tire en une seule fois deux boules du sac. 1) Calculer le cardinal de l’espace Ω des réalisations possibles et donner toutes les réalisations possibles (un élément de Ω sera, par exemple, ω = (R2 , N1 )). 2) Comme tribu associée à Ω, on prend la tribu F engendrée par l’évènement E = {(N1 , N2 )}. Expliciter cette tribu F. 3) Sur l’espace probabilisable (Ω, F), on définit la fonction X : Ω 7→ {0, 1, 2} qui à tout élément de Ω associe le nombre de boules rouges. Cette fonction est-elle une variable aléatoire ? (justifier votre réponse). 4) Quelle est la plus petite tribu G qui rend X mesurable ? Exercice 4 − Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (Ω, F, P). On rappelle que si Y est une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans l’ensemble {y1 , . . . , yn }, alors ! Z n X 1 XdP I{Y = yi }. E(X|Y ) = P(Y = yi ) {Y =yi } i=1 TSVP Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p. On pose Sn = X1 + . . . + Xn et Tn = X2 + . . . + Xn . 1) Donner les lois de Sn et de Tn . Ces deux variables aléatoires sont elles indépendantes (justifier votre réponse). 2) Montrer que pour i = 1, . . . , n, Z X1 dP = p × P(Tn = i − 1). {Sn =i} 3) En déduire que E(X1 |Sn ) = 4) Montrer que l’on a bien E(E(X1 |Sn )) = E(X1 ). Sn . n