Variables aléatoires - Episode II Exercice 1 Exercice 2

Vendredi 9 décembre 2011
Université Montesquieu
Bordeaux IV
Hervé Hocquard
Variables aléatoires - Episode II
Exercice 1
Robert élève des vaches limousines nourries exclusivement avec de l’herbe pour produire de la
viande de qualité supérieure. Cette année là, le scandale de la vache folle a fait chuter le cours
de la viande. N’ayant pas de crédit important à rembourser, il décide de ne vendre que les
veaux mâles et d’augmenter ainsi son cheptel en conservant les génisses. Il attend 5 naissances
dans son troupeau. Chaque naissance donne un veau mâle avec une probabilité p=1/2.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de veaux mâles parmi les 5
naissances.
1. Quelle est la loi de X ?
2. Calculer E(X) et V (X).
Le troupeau est constitué de 9 bêtes, et l’étable peut en contenir 12.
3. Calculer la probabilité pour que le troupeau avec les nouvelles génisses tienne dans l’étable.
4. Sachant que le troupeau tient dans l’étable, calculer la probabilité pour qu’il y ait eu un
nombre de veaux mâles strictement supérieur à 3.
Exercice 2
Une machine calibre des tomates. On estime, à la suite d’études statistiques, que le poids d’une
tomate calibrée prise au hasard peut être considéré comme une variable aléatoire qui suit une
loi normale de moyenne 150 g et d’écart-type 10 g.
1. Quelle est la probabilité qu’une tomate pèse plus de 170 g ? Entre 130 et 170 g ?
2. Un meilleur réglage de la machine permet de modifier l’écart-type. Comment faut-il régler la
machine pour que la probabilité que le poids d’une tomate prise au hasard soit compris entre
145 g et 155 g, soit de 0,95 ?
3. (Bonus) Ces tomates sont mises dans des caisses de 32 unités. Quel est le poids moyen d’une
caisse ?
1
Eléments de correction
Exercice 1
1. On a une série de 5 épreuves identiques et indépendantes ayant deux issues possibles avec
1
1
B(5 ; ).
une probabilité de succès de . Donc X
2
2
1
5
1 1
5
2. E(X) = 5 × = et V(X) = 5 × × = (d’après le cours...)
2
2
2 2
4
3. Soit T : ”le troupeau tient dans l’étable”.
On a alors :
P(T ) = P(X > 2) = 1 − P(X 6 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)
5 4 1
1
5
1
5
1
×
= 1−
×
−
×
0
2
2
2
1
1
1
= 1−1×
−5×
32
32
13
=
16
4. On remarque que si X > 3 alors le troupeau tient dans l’étable.
En d’autres termes (X > 3) ∩ T = (X > 3).
D’où :
P((X > 3) ∩ T )
P(X > 3)
=
P(T )
P(T )
P(X = 4) + P(X = 5)
=
P(T )
5
5
5
× 21 − 55 × 12
4
=
13
P(X > 3 / T ) =
16
3
=
13
2
Exercice 2
N (150, 102).
1. X
P(X > 170) = 1 − P(X 6 170)
X − 150
170 − 150
∗
avec X ∗ =
= 1−P X 6
10
10
= 1 − Π(2)
≈ 1 − 0, 9772
≈ 0, 0228
130 − 150
170 − 150
P(130 6 X 6 170) = P
6 X∗ 6
10
10
= 2Π(2) − 1
≈ 0, 9544
avec X ∗ =
N (0, 1)
X − 150
10
N (0, 1)
N (150, σ 2) et on cherche σ tel que :
X − 150
155 − 150
145 − 150
= 0, 95
6
6
P(145 6 X 6 155) = 0, 95 ⇐⇒ P
σ
σ
σ
5
⇐⇒ 2Π( ) − 1 = 0, 95
σ
5
⇐⇒ Π( ) = 0, 975 ≈ Π(1, 96)
σ
5
≈ 1, 96
⇐⇒
σ
⇐⇒ σ ≈ 2, 55
2. On a X
3. Soit Xi le poid de la ième tomate. Xi
32
X
N (150, 10).
Xi est une somme de variables aléatoires Xi indépendantes et suivant chacune une loi
i=1
normale,
E
32
X
i=1
32
X
i=1
!
Xi
Xi suit donc une loi normale de moyenne :
=
32
X
E(Xi ) = 32 × 150 = 4800 par linéarité de l’espérance.
i=1
Conclusion : Le poid moyen d’une caisse est de 4800 g (soit 4,8 Kg).
3